Analysis Häufung und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:01 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Emma_ |
| Aufgabe | Prof. Dr. C. B¨ohm
Dipl. Math. M. Amann
WS 2007/2008
WWU M¨unster
¨Ubungen zur Analysis I
Serie 7
Aufgabe 1. Seien a, b, c reelle Zahlen mit a < b < c und seien weiter f : [a, b] ! R und
g : [b, c] ! R stetige Funktionen. Zeigen Sie: Gilt f(b) = g(b), so ist die Funktion
h : [a, c] ! R ; x 7!
(
f(x) f¨ur x 2 [a, b]
g(x) f¨ur x 2 [b, c]
wohldefiniert und stetig.
Aufgabe 2. Ein H¨aufungspunkt einer nicht-leeren Teilmenge MC ist ein Punkt ¯x 2 C
mit folgender Eigenschaft: F¨ur alle > 0 existiert ein x 2 (M \ {¯x}) \ B(¯x).
a.) Zeigen Sie: Der Punkt ¯x 2 C ist H¨aufungspunkt von M genau dann, wenn eine
Folge (xn)n2N in M \ {¯x} existiert, die gegen ¯x konvergiert.
b.) Beweisen Sie: Enth¨alt M zus¨atzlich keinen seiner H¨aufungspunkte, dann ist jede
Funktion f : M ! C stetig.
c.) Zeigen Sie, dass die Funktion
f : Q ! R ; x 7!
(
0 f¨ur x < p2
1 f¨ur x > p2
stetig ist. Ist sie zu einer stetigen Funktion ¯ f : R ! R mit ¯ f|Q = f fortsetzbar?
Aufgabe 3.
a.) Sei DC eine nicht-leere Teilmenge der komplexen Zahlen und (fk)k2N0 eine Folge
von Funktionen von D nach C. F¨ur n 2 N0 sei sn :=
Pn
k=0 fk. Zeigen Sie: Existiert
eine konvergente Reihe
P
1k
=0 ak nicht-negativer reeller Zahlen und ein N 2 N0, so
dass |fk(z)| ak f¨ur alle k N und alle z 2 D gilt, dann konvergiert (sn)n2N0
gleichm¨aßig gegen
P
1k
=0 fk.
b.) Sei n 2 N0 und fn : R ! R wie folgt definiert: F¨ur m 2 Z und x 2
m
4n , m+1
4n
setzen
wir fn(x) :=
x− 2m+1
2·4n
. Skizzieren Sie die Folgenglieder f100 und f101. Zeigen Sie,
dass ein jedes fn wohldefiniert und stetig ist. Folgern Sie nun, dass f :=
P
1n=0
fn
eine stetige Funktion darstellt.
Aufgabe 4. Sei MC eine nicht-leere Teilmenge und sei weiter Z2 := {0, 1}R. Wir
bezeichnen mit H0(M,Z2) die Menge der stetigen Abbildungen f : M ! Z2. Die Menge
M heißt zusammenh¨angend, wenn H0(M,Z2) genau zwei Elemente besitzt. Zeigen Sie:
a.) Ist die Menge H0(M,Z2) endlich, so enth¨alt sie genau 2n Elemente f¨ur ein n 2 N.
Man nennt dann n die Zahl der Zusammenhangskomponenten von M.
b.) Die Menge C ist zusammenh¨angend, wohingegen [0, 1) [ (1, 2) genau zwei Zusammenhangskomponenten
besitzt.
c.) Die Menge Q \ [0, 1] besitzt unendlich viele Zusammenhangskomponenten.
Wir ordnen nun jeder Funktion f : M ! Z2 die Teilmenge Nf := {x 2 M | f(x) = 1} zu. Auf diese Weise ordnen wir H0(M,Z2) einer Teilmenge der Potenzmenge P(M) von
M zu, welche wir wieder mit H0(M,Z2) bezeichnen. Beweisen Sie:
d.) Es gilt H0(N,Z2) = P(N), wohingegen H0(Q,Z2) echte Teilmenge von P(Q) ist.
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Ich versteh es nicht, heute der totale Blackout.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG Emma
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> Ich versteh es nicht, heute der totale Blackout.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du ganz neu bei uns bist, solltest Du Dir einmal die Forenregeln durchlesen, insbesondere auch den Passus über die eigenen Lösungsansätze, welche wir von Dir erwarten.
Wir wollen Dir ja helfen, dazu müssen wir aber wissen, wie weit Du gekommen bist und an welchen Stellen Du Verständnisschwierigkeiten oder Rechenprobleme hast.
> der totale Blackout
Ich vermute, daß wir dagegen machtlos sind...
Ich würde Dir, um Dir den Beginn des Arbeitens etwas zu erleichtern, gerne die Aufgabenstellung etwas erklären - aber da hast Du Hürden eingebaut: das ist ein ziemlicher Salat geworden, ich kann es jedenfalls nicht glatt durchlesen.
Du solltest das Post nochmal überarbeiten.
Rufe den Beitrag auf und klicke dann "eigenen Beitrag bearbeiten" an.
Unterhalb des Eingabefensters findest Du Eingabehilfen für den Formeleditor, mit einem Klick auf "Vorschau" kannst Du Dir angucken, wie Dein Post beim Absenden aussehen würde.
Da Du sowieso bearbeiten mußt, möchte ich Dich noch auf eine andere Forenregel hinweisen: mach für jede neue Aufgabe bitteeine neue Frage auf - natürlich mit Lösungsansätzen.
Gruß v. Angela
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