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| Aufgabe | Es ist zu verifizieren: Es seien X, Y und Z Teilmengen einer Menge M. Dann gilt:
[mm] $X\subset Y\gdw X\cup Y=Y\gdw X\cap [/mm] Y=X$ |
Guten Tag, liebes Forum!
Zu meiner mangelnden mathematischen Vorbildung habe ich ja bereits in meinem Profil etwas erklärt. Ich hätte zunächst die Frage, ob ich wirklich alle 4 [mm] \Rightarrow [/mm] bzw. [mm] \Leftarrow [/mm] einzeln zeigen muss? Ich bin mir da nicht ganz sicher...
Bei weiteren Fragen würde ich mich dann nochmal melden.
Entschuldigen Sie bitte diese Frage, nur bin ich am Anfang wohl noch nicht auf "echte" Mathematik eingestellt.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Prinzipiell sind natürlich alle 4 Aussagen zu beweisen.
Du mußt aber nicht unbedingt alle 4 Aussagen einzeln zeigen, sondern kannst auch einen Ringschluß machen, z.B. so :
1. ==> 2. ==> 3. ==> 1.
LG Angela
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Liebe Angela,
Ich habe mich jetzt noch einmal mit den Aufgaben auseinandergesetzt. Vielleicht kann das ja jemand korrigieren.
Zuerst zeige ich [mm] $X\subset Y\gdw x\cup [/mm] Y=Y$.
[mm] X\subset [/mm] Y
[mm] \gdw\forall x\in X:x\in [/mm] Y
[mm] \gdw\forall x\in X:x\in [/mm] Y [mm] \land\red{\forall x\in Y: x\in Y}
[/mm]
[mm] \red{\gdw}\forall x\in \{x\in M:x\in X\lor x\in Y\}:x\in [/mm] Y
[mm] \gdw\forall x\in X\cup [/mm] Y: [mm] x\in [/mm] Y
[mm] \gdw X\cup Y\subset [/mm] Y
[mm] \gdw X\cup Y\subset [/mm] Y [mm] \land \red{Y\subset X\cup Y}
[/mm]
[mm] \gdw X\cup [/mm] Y=Y
Überall bei den rot markierten Stellen bin ich mir unsicher, ob ich noch näher begründen muss.
Anstatt [mm] X\subset Y\gdw X\cap [/mm] Y=X zu zeigen, zeige ich: [mm] \neg(X\subset Y)\gdw\neg(X\cap [/mm] Y=X) . Wenn ich mich nicht täusche, bedeutet das doch das gleiche, oder?
[mm] \neg(x\subset [/mm] Y)
[mm] \gdw\neg\forall x\in [/mm] X: [mm] x\in [/mm] Y
[mm] \gdw\existis x\in X:\neg x\in [/mm] Y
[mm] \gdw\existis x\in X:\neg(x\in X\land x\in [/mm] Y)
[mm] \red{\gdw}\existis x\in X:\neg x\in\{x\in M:x\in X\land x\in Y\}
[/mm]
[mm] \gdw\existis x\in X:x\notin X\cap [/mm] Y
[mm] \gdw\neg X\subset X\cap [/mm] Y
[mm] \gdw\neg(X\subset X\cap Y\land X\cap Y\subset [/mm] X)
[mm] \gdw\neg(X\cap [/mm] Y=X)
Mir ist noch die Frage gekommen, wie ich mir sicher sein kann (formal herleiten), dass [mm] X=\{x\in M:x\in X\}
[/mm]
Ganz lieben Dank für die Hilfe.
mfg
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> Zuerst zeige ich [mm]X\subset Y\gdw x\cup Y=Y[/mm].
Hallo,
Du solltest Dir zunäcst klarmachen, daß hierfür zwei Richtungen zu zeigen, nämlich
A.
[mm]X\subset Y\Rightarrow X\cup Y=Y[/mm]
B.
[mm] X\cup Y=Y\Rightarrow X\subset [/mm] Y.
Diese beiden Richtungen solltest Du tunlichst getrennt bearbeiten,
weil man nicht so leicht Fehler macht und die eigene Argumentation besser durchschauen kann.
Falls sich am Ende herausstellt, daß man die Beweisführung wirklich exakt "umdrehen" kann, kann man's immer noch mit Äquivalenzpfeilen aufschreiben.
Als nächstes solltest Du für A. und B. notieren, was die Voraussetzung ist, und was Du zeigen möchtest.
Teilmengenbeziehungen zeigt man am besten elementweise:
wenn man unter irgendwelchen Voraussetzungen [mm] C\subseteq [/mm] D zeigen möchte, muß man in einer Argumentaqtionskette zeigen, daß aus [mm] c\in [/mm] C folgt, daß auch [mm] c\in [/mm] D richtig ist.
Das elementweise Zeigen ist bequemer und übersichtlicher als das Rumwurschteln mit Quantoren.
Mengengleichheit:
wenn man unter irgendwelchen Voraussetzungen C=D zeigen möchte, muß man zeigen, daß [mm] C\subseteq [/mm] D und [mm] D\subseteq [/mm] C gelten.
So, nun bauen wir mal ein Gerüst für die obn zu zeigenden Behauptung:
Behauptung:
[mm]X\subset Y\gdw X\cup Y=Y[/mm]
Dafür zu zeigen
A.
[mm]X\subset Y\Rightarrow X\cup Y=Y[/mm]
B.
[mm] X\cup Y=Y\Rightarrow X\subseteq [/mm] Y
Beweis
zu A.
Voraussetzung: [mm] X\subseteq [/mm] Y
Unter dieser Voraussetzung zu zeigen:
1.
[mm] X\cup Y\subseteq [/mm] Y,
dh. [mm] x\in X\cup [/mm] Y ==> [mm] x\in [/mm] Y
2. [mm] Y\subseteq X\cup [/mm] Y,
dh. [mm] x\in [/mm] Y ==> [mm] x\in X\cup [/mm] Y
[Nun steht der Plan für den Beweis A., und es kann endlich losgehen.]
A1.
Es gelte also [mm] X\subseteq [/mm] Y und es sei
[mm] x\in X\cup [/mm] Y
==>
[mm] x\in [/mm] X und ...
==>
... ... ...
A2.
Es gelte [mm] X\subseteq [/mm] Y und es sei
[mm] x\in [/mm] Y
==> ... ... ...
==> [mm] x\in X\cup [/mm] Y
(Die Aussage A2. ist nicht so bahnbrechend, sondern eine Selbstverständlichkeit.)
zu B.
Voraussetzung:
[mm] X\cup [/mm] Y=Y
zu zeigen:
[mm] X\subseteq [/mm] Y,
dh. [mm] x\in [/mm] X ==> [mm] x\in [/mm] Y.
Sei also
[mm] x\in [/mm] X ==> ... ... ... ... ...
>
> [mm]X\subset[/mm] Y
> [mm]\gdw\forall x\in X:x\in[/mm] Y
Ja.
> [mm]\gdw\forall x\in X:x\in[/mm] Y [mm]\land\red{\forall x\in Y: x\in Y}[/mm]
Nein, diese Aussage stimmt nicht.
Du behauptest hier, daß aus der Teilmengenbeziehung die Gleichheit folgt.
Ich beende daher an dieser Stelle die Korrektur.
> Anstatt [mm]X\subset Y\gdw X\cap[/mm] Y=X zu zeigen, zeige ich:
> [mm]\neg(X\subset Y)\gdw\neg(X\cap[/mm] Y=X) . Wenn ich mich nicht
> täusche, bedeutet das doch das gleiche, oder?
Ja.
Den Beweis mag ich mir jetzt nicht mehr anschauen, das viele "nicht" ist mir gerade im Moment zu anstrengend, und man müßte ja auch bei jedem Schritt beide Richtungen prüfen.
>
> [mm]\neg(X\subset[/mm] Y)
> [mm]\gdw\neg\forall x\in[/mm] X: [mm]x\in[/mm] Y
> [mm]\gdw\exists x\in X:\neg x\in[/mm] Y
> [mm]\gdw\exists x\in X:\neg(x\in X\land x\in[/mm] Y)
> [mm]\red{\gdw}\exists x\in X:\neg x\in\{x\in M:x\in X\land x\in Y\}[/mm]
>
> [mm]\gdw\exists x\in X:x\notin X\cap[/mm] Y
> xxx [mm]\gdw\neg X\subset X\cap[/mm] Y
> xxx [mm]\gdw\neg(X\subset X\cap Y\land X\cap Y\subset[/mm] X)
> [mm]\gdw\neg(X\cap[/mm] Y=X)
Schau Dir mal die angekreuzten Zeilen an.
Hier siehst Du, weshalb Du besser beide Richtungen getrennt zeigen solltest:
aus [mm] $\neg X\subset X\cap$ [/mm] Y folgt in der Tat, daß [mm] $\neg(X\subset X\cap Y\land X\cap Y\subset$ [/mm] X),
aber die umgekehrte Richtung ist falsch.
>
> Mir ist noch die Frage gekommen, wie ich mir sicher sein
> kann (formal herleiten), dass [mm]X=\{x\in M:x\in X\}[/mm]
So sonderlich schlau wird man daraus jedenfalls nicht...
Nach Voraussetzung ist X eine Teilmenge von M.
Du schreibst das oben, daß in X alle Elemente aus M sind, die auch in X sind. Stimmt ja. Ist nur nicht sehr erhellend.
LG Angela
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Hallo Angela,
vielen lieben Dank für die Hilfe.
Sehe ich es richtig, dass deine Methode mit dem [mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$ deshalb funktioniert, weil [mm] $(x\in X\Rightarrow E(x))\gdw(\forall x\in [/mm] X:E(x))$? Dazu habe ich noch einen anderen Thread laufen. Wenn mir das noch klar wird (bis jetzt weiß ich noch nicht, wie sich das begründen ließe), könnte ich dann für
[mm] $X\subset Y\Rightarrow X\cup [/mm] Y=Y$ schreiben:
[mm] $X\subset [/mm] Y$
[mm] $\gdw \forall x\in X:x\in [/mm] Y$
[mm] $\gdw (x\in X\Rightarrow x\in [/mm] Y)$
[mm] $\Rightarrow (x\in X\cup Y\gdw x\in\{x\in M:x\in X\lor x\in Y\}\red{\gdw} x\in X\lor x\in Y\Rightarrow x\in [/mm] Y)$
[mm] $\gdw\forall x\in X\cup Y:x\in [/mm] Y$
[mm] $\gdw X\cup Y\subset [/mm] Y$
An sich ist mir die Aussage mittlerweile völlig klar. Ich habe nur dauern Angst, dass ich nicht streng nach Definition argumentiere, weil ich noch nicht so viel Erfahrung habe, dass ich weiß was erlaubt ist und was nicht.
Liebe Grüße
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> Hallo Angela,
>
> vielen lieben Dank für die Hilfe.
>
> Sehe ich es richtig, dass deine Methode mit dem [mm]x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]
> deshalb funktioniert, weil [mm](x\in X\Rightarrow E(x))\gdw(\forall x\in X:E(x))[/mm]?
Hallo,
meine "Methode" beruht vor allem auf der Definition der Teilmenge:
"A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element, welches in A ist, auch in B ist."
Wenn ich also zeigen kann, daß daraus, daß ein Element in A ist, zwingend folgt, daß es auch in B ist, habe ich die Teilmengenbeziehung gezeigt.
Du solltest Symbole, so nützlich sie sind, nicht überbewerten.
Wenn Du Symbole nicht überbewertest, sondern Deinen gesunden Menschenverstand auch in der Mathematik nicht ausschaltest, dann wird Dir die Äquivalenz von 1.[mm](x\in X\Rightarrow E(x)) und 2.(\forall x\in X:E(x))[/mm] sofort klar sein:
1. Wenn x in X ist, hat x die Eigenschaft E(x)
2. Alle x aus X haben die Eigenschaft E(x)
> Dazu habe ich noch einen anderen Thread laufen. Wenn mir
> das noch klar wird (bis jetzt weiß ich noch nicht, wie
> sich das begründen ließe), könnte ich dann für
>
> [mm]X\subset Y\Rightarrow X\cup Y=Y[/mm] schreiben:
> [mm]X\subset Y[/mm]
> [mm]\gdw \forall x\in X:x\in Y[/mm]
> [mm]\gdw (x\in X\Rightarrow x\in Y)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (x\in X\cup Y\gdw x\in\{x\in M:x\in X\lor x\in Y\}\red{\gdw} (x\in X\lor x\in Y)\Rightarrow x\in Y)[/mm]
>
> [mm]\gdw\forall x\in X\cup Y:x\in Y[/mm]
> [mm]\gdw X\cup Y\subset Y[/mm]
Ich habe nichts Falsches entdeckt.
Es ist halt etwas aufgeplustert.
Du hast jetzt gezeigt, daß aus [mm] X\subset [/mm] Y folgt, daß [mm] X\cup Y\subseteq [/mm] Y.
> An sich ist mir die Aussage mittlerweile völlig klar. Ich
> habe nur dauern Angst, dass ich nicht streng nach
> Definition argumentiere,
Das wäre wirklich schlecht!
Ich glaube aber, Du unterliegst dem Irrtum, daß in Beweisen keine Worte vorkommen dürfen.
Es können und dürfen und sollen aber Worte vorkommen.
"Daher gilt" ist um keinen Deut unmathematischer als irgendein Pfeil.
LG Angela
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Hallo,
>
> > Hallo Angela,
> >
> > vielen lieben Dank für die Hilfe.
> >
> > Sehe ich es richtig, dass deine Methode mit dem [mm]x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]
> > deshalb funktioniert, weil [mm](x\in X\Rightarrow E(x))\gdw(\forall x\in X:E(x))[/mm]?
>
> Hallo,
>
> meine "Methode" beruht vor allem auf der Definition der
> Teilmenge:
>
> "A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element, welches in
> A ist, auch in B ist."
>
> Wenn ich also zeigen kann, daß daraus, daß ein Element in
> A ist, zwingend folgt, daß es auch in B ist, habe ich die
> Teilmengenbeziehung gezeigt.
>
> Du solltest Symbole, so nützlich sie sind, nicht
> überbewerten.
> Wenn Du Symbole nicht überbewertest, sondern Deinen
> gesunden Menschenverstand auch in der Mathematik nicht
> ausschaltest, dann wird Dir die Äquivalenz von 1.[mm](x\in X\Rightarrow E(x)) und 2.(\forall x\in X:E(x))[/mm]
> sofort klar sein:
>
> 1. Wenn x in X ist, hat x die Eigenschaft E(x)
> 2. Alle x aus X haben die Eigenschaft E(x)
>
>
>
>
>
>
> > Dazu habe ich noch einen anderen Thread laufen. Wenn mir
> > das noch klar wird (bis jetzt weiß ich noch nicht, wie
> > sich das begründen ließe), könnte ich dann für
> >
> > [mm]X\subset Y\Rightarrow X\cup Y=Y[/mm] schreiben:
> > [mm]X\subset Y[/mm]
> > [mm]\gdw \forall x\in X:x\in Y[/mm]
> > [mm]\gdw (x\in X\Rightarrow x\in Y)[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow (x\in X\cup Y\gdw x\in\{x\in M:x\in X\lor x\in Y\}\red{\gdw} (x\in X\lor x\in Y)\Rightarrow x\in Y)[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw\forall x\in X\cup Y:x\in Y[/mm]
> > [mm]\gdw X\cup Y\subset Y[/mm]
>
> Ich habe nichts Falsches entdeckt.
> Es ist halt etwas aufgeplustert.
> Du hast jetzt gezeigt, daß aus [mm]X\subset[/mm] Y folgt, daß
> [mm]X\cup Y\subseteq[/mm] Y.
>
>
> > An sich ist mir die Aussage mittlerweile völlig klar. Ich
> > habe nur dauern Angst, dass ich nicht streng nach
> > Definition argumentiere,
>
> Das wäre wirklich schlecht!
>
> Ich glaube aber, Du unterliegst dem Irrtum, daß in
> Beweisen keine Worte vorkommen dürfen.
> Es können und dürfen und sollen aber Worte vorkommen.
> "Daher gilt" ist um keinen Deut unmathematischer als
> irgendein Pfeil.
Du hast Recht - das habe ich wirklich geglaubt. Ich werde versuchen, mir das verwenden von Wörtern anzugewöhnen, wenn es das ganze übersichtlicher macht. Gerade verwirrt mich das aber noch ganz schön, ich hätte die Bitte, dass du (oder auch jemand anderes) nochmal über den nächsten Teil-Beweis ohne Wörter rübergucken könnte, weil ich mich noch nicht ganz sicher fühle.
Ich möchte jetzt zeigen, dass [mm] X\cup{}Y=Y\implies{}X\subset{}Y [/mm] .
[mm] X\cup{}Y=Y
[/mm]
[mm] \Rightarrow{}X\cup{}Y\subset{}Y
[/mm]
[mm] \gdw{}\forall{}x\in{}X\cup{}Y:x\in{}Y
[/mm]
[mm] \gdw{}(x\in{}X\cup{}Y\impliesx\in{}Y)
[/mm]
[mm] \Rightarrow(x\in{}X\implies{}x\in{}X\lor{}x\in{}Y\implies{}x\in{}Y)
[/mm]
[mm] \gdw\forall{}x\in{}X:x\in{}Y
[/mm]
[mm] \gdw{}X\subset{}Y
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe, aber ich glaube, mir wird langsam klar, wie beweisen in etwa funktioniert.
Liebe Grüße
> LG Angela
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Ich möchte jetzt zeigen, dass
> [mm]X\cup{}Y=Y\implies{}X\subset{}Y[/mm] .
>
> [mm]X\cup{}Y=Y[/mm]
> [mm]\Rightarrow{}X\cup{}Y\subset{}Y[/mm]
> [mm]\gdw{}\forall{}x\in{}X\cup{}Y:x\in{}Y[/mm]
> [mm]\gdw{}(x\in{}X\cup{}Y\implies x\in{}Y)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow(x\in{}X\implies{}x\in{}X\lor{}x\in{}Y\implies{}x\in{}Y)[/mm]
> [mm]\gdw\forall{}x\in{}X:x\in{}Y[/mm]
> [mm]\gdw{}X\subset{}Y[/mm]
Alles in Ordnung! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In Worten würde ich es so formulieren:
Sei [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig vorgegeben. Somit insbesondere [mm] $x\in [/mm] X$ oder [mm] $x\in [/mm] Y$. Also [mm] $x\in X\cup [/mm] Y$. Wegen [mm] $X\cup [/mm] Y=Y$ somit [mm] $x\in [/mm] Y$.
Da [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig vorgegeben war, gilt für alle [mm] $x\in [/mm] X$, dass auch [mm] $x\in [/mm] Y$. Also [mm] $X\subseteq [/mm] Y$.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, doch noch einmal ich zur Absicherung:
[mm] $X\subset Y\\$
[/mm]
[mm] $\gdw\forall x\in X:x\in Y\\$
[/mm]
[mm] $\gdw\forall x\in X:x\in X\land x\in Y\\$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall x\in X:x\in X\cap Y\\$
[/mm]
[mm] $\gdw X\subset X\cap [/mm] Y$
Wenn ich schon weiß, dass Allgemein [mm] $X\cap{}Y\subset{}X\gdw{}\forall x\in X\cap Y:x\in X\gdw (x\in X:x\in X\land x\in Y\implies x\in [/mm] X)$, was offensichtlich (?) gilt, dann reicht es hierbei (oben) doch, wenn ich [mm] \gdw [/mm] nicht noch aufspalte in [mm] \Rightarrow\land\Leftarrow [/mm] , richtig? Oder habe ich hier doch irgendwo übersehen, dass ein Pfeil nur in eine Richtung gilt?
Besten Dank für die Hilfe,
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Mathematik-Liebhaber,
> Hallo, doch noch einmal ich zur Absicherung:
>
> [mm]X\subset Y\\[/mm]
> [mm]\gdw\forall x\in X:x\in Y\\[/mm]
> [mm]\gdw\forall x\in X:x\in X\land x\in Y\\[/mm]
>
> [mm]\gdw \forall x\in X:x\in X\cap Y\\[/mm]
> [mm]\gdw X\subset X\cap Y[/mm]
Richtig!
>
> Wenn ich schon weiß, dass Allgemein
> [mm]X\cap{}Y\subset{}X\gdw{}\forall x\in X\cap Y:x\in X\gdw (x\in X:x\in X\land x\in Y\implies x\in X)[/mm],
> was offensichtlich (?) gilt.
Hier weiß ich jetzt nicht, wie ich die letzte Äquivalenz lesen soll.
>dann reicht es hierbei (oben)
> doch, wenn ich [mm]\gdw[/mm] nicht noch aufspalte in
> [mm]\Rightarrow\land\Leftarrow[/mm] , richtig? Oder habe ich hier
> doch irgendwo übersehen, dass ein Pfeil nur in eine
> Richtung gilt?
Nein!
liebe Grüße,
Wolfgang
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> Hallo Mathematik-Liebhaber,
>
> > Hallo, doch noch einmal ich zur Absicherung:
> >
> > [mm]X\subset Y\\[/mm]
> > [mm]\gdw\forall x\in X:x\in Y\\[/mm]
> >
> [mm]\gdw\forall x\in X:x\in X\land x\in Y\\[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \forall x\in X:x\in X\cap Y\\[/mm]
> > [mm]\gdw X\subset X\cap Y[/mm]
>
> Richtig!
>
> >
> > Wenn ich schon weiß, dass Allgemein
> > [mm]X\cap{}Y\subset{}X\gdw{}\forall x\in X\cap Y:x\in X\gdw (x\in X:x\in X\land x\in Y\implies x\in X)[/mm],
> > was offensichtlich (?) gilt.
>
> Hier weiß ich jetzt nicht, wie ich die letzte Äquivalenz
> lesen soll.
Die Angegebene Implikation habe ich als offensichtlich angesehen und dann die Äquivalenz zu [mm] X\cap{}Y\subset{}X [/mm] gezeigt.
> >dann reicht es hierbei (oben)
> > doch, wenn ich [mm]\gdw[/mm] nicht noch aufspalte in
> > [mm]\Rightarrow\land\Leftarrow[/mm] , richtig? Oder habe ich hier
> > doch irgendwo übersehen, dass ein Pfeil nur in eine
> > Richtung gilt?
>
> Nein!
Gut, vielen Dank!
> liebe Grüße,
> Wolfgang
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