Anfängerproblem Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 22.08.2010 | | Autor: | Nico. |
| Aufgabe | | [mm] t(x)=\integral_{0}^{x_{1}}{\bruch{1}{v_{o}*\wurzel{1-\bruch{x}{x_{1}}}} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
da ich noch total der Anfänger im Rechen mit Integralen bin, bitte ich euch nochmal um Hilfe.
Als erstes habe ich den Konstanten Faktor nach vorne gebracht.
[mm] t(x)=\bruch{1}{v_{o}}*\integral_{0}^{x_{1}}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{x}{x_{1}}}} dx}
[/mm]
Durch das [mm] x_{1} [/mm] weiß ich nun gar nicht wie ich Anfangen soll.
Gruß Nico
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 22.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Wege
1. du weisst dass [mm] \wurzel{1-ax} [/mm] abgeleitet [mm] -a*/\wurzel{1-ax} [/mm] ist und siehst so das Ergebnis,
2. du setzest [mm] z=-x/x_1, dz=-1/x_1*dx, [/mm] dx=-x_1dz und integrierst nach dz
beides ist besser zu sehen. wenn du statt Wurzel hoch 1/2 schreibst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 23.08.2010 | | Autor: | Nico. |
Vielen Dank Leduart für die schnelle Hilfe.
Da ich noch am Anfang meiner Integierkünste bin scheidet leider Weg 1 aus.
Daher möchte ich euch meine Lösungweg nach Weg 2 zeigen mit der bitte
mich zu schrittweise korregieren falls ich ein Fehler habe. Danke
[mm] t(x)=\bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{x}{x_{1}}}} dx} \gdw \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}(1-\bruch{x}{x_{1}})^{-\bruch{1}{2}}*dx
[/mm]
z= [mm] -\bruch{x}{x_{1}} [/mm]
[mm] dz=\bruch{-1}{x_{1}}*dx \gdw dx=-x_{1}*dz
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}(1+z)^{-\bruch{1}{2}}*(-\bruch{-1}{x_{1}})*dz
[/mm]
[mm] \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}2(z+1)^{\bruch{1}{2}}*(-\bruch{1}{x_{1}})*dz
[/mm]
[mm] \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}-\bruch{2}{x_{1}}*(1-\bruch{x}{x_{1}})^{\bruch{1}{2}}*dx
[/mm]
Gruß Nico
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Hallo!
> Daher möchte ich euch meine Lösungweg nach Weg 2 zeigen
> mit der bitte
> mich zu schrittweise korregieren falls ich ein Fehler habe.
> Danke
>
> [mm]t(x)=\bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}{\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{x}{x_{1}}}} dx} \gdw \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}(1-\bruch{x}{x_{1}})^{-\bruch{1}{2}}*dx[/mm]
Es muss wohl lauten [mm] $t(x_{1}) [/mm] = ...$, und außerdem sollte in der Mitte kein Äquivalenzzeichen ( [mm] \gdw [/mm] ) stehen, sondern ein Gleichheitszeichen ( = ). Ist dir klar, warum?
> z= [mm]-\bruch{x}{x_{1}}[/mm]
Es reicht $z = [mm] \frac{x}{x_1}$ [/mm] aus als Substitution. Aber okay.
> [mm]dz=\bruch{-1}{x_{1}}*dx \gdw dx=-x_{1}*dz[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw \bruch{1}{v_{o}}\cdot{}\integral_{0}^{x_{1}}(1+z)^{-\bruch{1}{2}}*(-\bruch{-1}{x_{1}})*dz[/mm]
Hier ist jetzt etwas schiefgelaufen. (Auch hier wieder Gleichheitszeichen am Anfang: Gleichheitszeichen zwischen Termen, Äquivalenzzeichen zwischen Aussagen (also zum Beispiel Gleichungen)). Richtig ist nach dieser Substitution das Integral:
$= [mm] \frac{1}{v_o}*\int_{0}^{\red{-1}}(1+z)^{-1/2}*\red{(-x_1)} [/mm] dz$
Nun einfach nach der Potenzregel integrieren.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> > Richtig ist nach dieser
> > Substitution das Integral:
> >
> > [mm]= \frac{1}{v_o}*\int_{0}^{\red{-1}}(1+z)^{-1/2}*\red{(-x_1)} dz[/mm]
>
> >
> > Nun einfach nach der Potenzregel integrieren.
> >
>
> Die Grenze [mm]x_{1}[/mm] war schon richtig 
Nein!
Wenn du eine Substitution z = z(x) durchführst beim Integral, verändern sich auch die Grenzen:
NeueGrenze = z(AlteGrenze)
Deswegen muss als obere Grenze "-1" stehen.
> =
> [mm]\frac{1}{v_o}*\int_{0}^{\green{x_{1}}}(1+z)^{-1/2}*\red{(-x_1)}[/mm]
> dz
>
> [mm]=\frac{1}{v_o}*\int_{0}^{\green{x_{1}}}2*(1+z)^{1/2}*{(-x_1)}[/mm]
> dz
Du hast richtig integriert, aber wieso schreibst du dann das Integral noch hin? Richtig muss es so lauten:
$= [mm] \frac{1}{v_o}*\int_{0}^{\red{-1}}(1+z)^{-1/2}*\red{(-x_1)} [/mm] dz$
$= [mm] \frac{1}{v_o}*\left[2*(1+z)^{1/2}*(-x_1)\right]_{0}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{2*x_1}{v_{o}}$.
[/mm]
Damit kannst du das Integral ausrechnen, ohne eine Rücksubstitution zu machen!
Was du im Folgenden machst, ist eine Rücksubstitution. Dabei verändern sich auch die Grenzen wieder zurück (deswegen stimmt dein Endergebnis):
> [mm]=\frac{1}{v_o}*[-2x_{x_{1}}*(1-\bruch{x}{x_{1}})^{1/2}]_{0}^{x_{1}}[/mm]
>
> Wäre die Lösung so richtig?
Das ist so, wie es jetzt dasteht, richtig. Die Zwischenschritte kannst du so allerdings nicht aufschreiben!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 28.08.2010 | | Autor: | Nico. |
Vielen Dank jetzt klappt's
Gruß Nico
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