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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben und bestimmen Sie das max Existenzintervall der Lösungen
a) y'(x)= 3y(x) + exp(x) [mm] \dot [/mm] sin(x)
y(0)= [mm] \bruch{2}{5} [/mm] |
Hallo,
komme grade mit dieser aufgabe gar nicht zurecht...
ist schon was länger her , dass ich solche differentialgleichungen lösen musste deshalb hoffe ich auch, dass mir jemand ein bisschen helfen kann
also bei der gleichung y'(x)= 3y(x) + exp(x) [mm] \dot [/mm] sin(x) weiß ich einfach nicht wie ich heran gehen soll...das is ja quasi eine DGL der form y'(x)= y(x) + h(x) [mm] \dot [/mm] g(x)
muss ich hier etwa alle y auf eine seite bringen oder wie kann ich hier am besten zuerst mal vorgehen?
wäre über einen kleinen tipp echt dankbar
gruß,
kekschen
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> Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben und bestimmen
> Sie das max Existenzintervall der Lösungen
> a) y'(x)= 3y(x) + exp(x) [mm]\dot[/mm] sin(x)
> y(0)= [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> Hallo,
>
> komme grade mit dieser aufgabe gar nicht zurecht...
> ist schon was länger her , dass ich solche
> differentialgleichungen lösen musste deshalb hoffe ich
> auch, dass mir jemand ein bisschen helfen kann
>
> also bei der gleichung y'(x)= 3y(x) + exp(x) [mm]\dot[/mm] sin(x)
> weiß ich einfach nicht wie ich heran gehen soll...das is
> ja quasi eine DGL der form y'(x)= y(x) + h(x) [mm]\dot[/mm] g(x)
> muss ich hier etwa alle y auf eine seite bringen oder wie
> kann ich hier am besten zuerst mal vorgehen?
genau, erstmal alles mit y nach links und dann erstmal die homogene gleichung lösen:
y'-3y=0
danach kannst du dir gedanken über den störansatz machen
>
> wäre über einen kleinen tipp echt dankbar
>
> gruß,
> kekschen
gruß tee
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ach okay
so dann hab ich jetzt angefangen die homogene gleichung zu lösen:
y'(x)= 3y(x)
[mm] \bruch{dy}{dx}= [/mm] 3y(x)
[mm] \bruch{dy}{y(x)}=3dx
[/mm]
integriert...
ln|y|=3x+c
y=exp(3x+c) = exp(3x) [mm] \dot [/mm] exp(c)
--> y= exp(3x) [mm] \dot [/mm] c
ableiten
y'= 3exp(3x) [mm] \dot [/mm] c + exp(3x) [mm] \dot [/mm] c'(x)
einsetzen in die dgl
3exp(3x) [mm] \dot [/mm] c + exp(3x) [mm] \dot [/mm] c'(x) = exp(3x) [mm] \dot [/mm] c + exp(x) [mm] \dot [/mm] sin(x)
[mm] \gdw [/mm] exp(3x) [mm] \dot [/mm] c'(x)=exp(x) [mm] \dot [/mm] sin(x)
c'(x)= exp(-2x) [mm] \dot [/mm] sin(x)
ist das bis hierhin richtig?
jetzt müsste ich dann ja wieder das c'(x) integrieren aber ich komme da nicht wirklich weiter...kann mir vllt jemand da nen tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
soweit alles richtig.
Jetzt zweimal partielle Integration.
Gruß Sax.
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okay dann hab ich jetzt mal mit der partiellen integration begonnen:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) \dot exp(-2x) dx} [/mm] = -cos(x) [mm] \dot [/mm] exp(-2x) - [mm] \integral_{a}^{b}{cos(x)\dot 2exp(-2x) dx}
[/mm]
dann wieder partielle integration:
-cos(x) [mm] \dot [/mm] exp(-2x) - [mm] \integral_{a}^{b}{cos(x) \dot 2exp(-2x) dx} [/mm]
= -cos(x) [mm] \dot [/mm] exp(-2x) - 2* [mm] \integral_{a}^{b}{cos(x) \dot exp(-2x) dx} [/mm]
= -cos(x) [mm] \dot [/mm] exp(-2x) -2sin(x) [mm] \dot [/mm] exp(-2x) + 4* [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)\dot exp(-2x) dx} [/mm]
is das so jetzt richtig?
wenn ja was muss ich danach machen?
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Hallo,
> okay dann hab ich jetzt mal mit der partiellen integration
> begonnen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x) \dot exp(-2x) dx}[/mm] = -cos(x) [mm]\dot[/mm]
> exp(-2x) - [mm]\integral_{a}^{b}{cos(x)\dot 2exp(-2x) dx}[/mm]
> dann
> wieder partielle integration:
>
> -cos(x) [mm]\dot[/mm] exp(-2x) - [mm]\integral_{a}^{b}{cos(x) \dot 2exp(-2x) dx}[/mm]
> = -cos(x) [mm]\dot[/mm] exp(-2x) - 2* [mm]\integral_{a}^{b}{cos(x) \dot exp(-2x) dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = -cos(x) [mm]\dot[/mm] exp(-2x) -2sin(x) [mm]\dot[/mm] exp(-2x) [mm] \red{+} [/mm] 4* [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)\dot exp(-2x) dx}[/mm]
>
> is das so jetzt richtig?
Beinahne, das [mm] $\red{+}$ [/mm] muss ein [mm] $\red{-}$ [/mm] sein, du rechnest ja von oben [mm] $-2\cdot{}\int\ldots$ [/mm] und integrierst das Integral partiell, bekommst da also 2 Summanden, mache also eine große Minusklammer darum
Nun stelle diese Gleichung nach [mm] $c(x)=\int{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}$ [/mm] um, und löse nach dem Integral auf.
Du bekommst: [mm] $5\cdot{}\int{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}=\ldots$
[/mm]
Das durch 5 teilen und dann hast du $c(x)$
> wenn ja was muss ich danach machen?
Das soeben berechnete $c(x)$ einsetzen!
Gruß
schachuzipus
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danke schonmal für deine antwort aber iwie hab ichs noch nicht ganz verstanden
also ich hab ja jetzt für das c(x)= -exp(-2x)*(cos(x)+2sin(x)) + [mm] 4*\integral_{a}^{b}{sin(x)\dot exp(-2x) dx} [/mm] heraus
aber wie kommst du denn dann auf [mm] 5\cdot{}\int{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}?
[/mm]
kannste mir das vllt noch ein bisschen erklären?
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Hallo Kampfkekschen!
Beachte auch dass Dich schachuzipus auf den Vorzeichenfehler vor dem neuen Integral hingewiesen hat.
Damit hast Du also folgende Gleichung:
[mm]\integral{\sin(x)*\exp(-2x) \ dx} \ = \ \text{irgendwas} \ -4*\integral{\sin(x)*\exp(-2x) \ dx}[/mm]
Wenn Du nun auf beiden Seiten [mm]+4*\integral{\sin(x)*\exp(-2x) \ dx}[/mm] rechnest, erhältst Du:
[mm]5*\integral{\sin(x)*\exp(-2x) \ dx} \ = \ \text{irgendwas}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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stimmt hab vergessen dieses zu berücksichtigen
ach kann ich [mm] \integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx} [/mm] = [mm] \text{irgendwas} -4\cdot{}\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx} [/mm] gleichsetzen weil ich weiß kann das für c(x) gilt [mm] c(x)=\int{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx} [/mm] ?
[mm] 5\cdot{}\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx} [/mm] = -exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))
--> [mm] \integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx} [/mm] = [mm] \bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}
[/mm]
c(x)= [mm] \bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}
[/mm]
und das kommt dann in y=exp(3x) * c oder ?
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Hallo nochmal,
> stimmt hab vergessen dieses zu berücksichtigen
> ach kann ich [mm]\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm] = [mm]\text{irgendwas} -4\cdot{}\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm]
> gleichsetzen weil ich weiß kann das für c(x) gilt
> [mm]c(x)=\int{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm] ?
Ja!
>
> [mm]5\cdot{}\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm] =
> -exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))
> --> [mm]\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}[/mm]
> c(x)= [mm]\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}[/mm]
Ja!
> und das kommt dann in y=exp(3x) * c oder ?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Do 21.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> --> [mm]\integral{\sin(x)\cdot{}\exp(-2x) \ dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}[/mm]
> c(x)= [mm]\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}[/mm]
> und das kommt dann in y=exp(3x) * c oder ?
Vergiss die Integrationskonstante nicht, dein Anfangswert wird sonst wahrscheinlich (besser : höchstwahrscheinlich, genauer : 100%ig, weil ich die Lösung kenne) nicht getoffen.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Do 21.10.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
ich sitze an der gleichen Aufabe :)
Was meinst du genau mit der Integrationskonstate, soll das dann so aussehen:
y(x)= [mm] exp(3x)*\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}+c_1
[/mm]
Jetzt [mm] y(0)=\bruch{2}{5} [/mm] einsetzen, dann kommt man auf:
[mm] \bruch{2}{5}=-\bruch{1}{5}+c_1
[/mm]
=> [mm] c_1=\bruch{3}{5}
[/mm]
oder war das jetzt kompletter Blödsinn?!
Wie geht es dann weiter? Oder war es das und man muss nur noch die Existenzbereiche finden?
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Hallo Peon,
> Hallo,
>
> ich sitze an der gleichen Aufabe :)
> Was meinst du genau mit der Integrationskonstate, soll das
> dann so aussehen:
> y(x)= [mm]exp(3x)*\bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}+c_1[/mm]
So soll das aussehen:
[mm]y(x)= exp(3x)*\left( \ \bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}+c_1 \ \right)[/mm]
>
> Jetzt [mm]y(0)=\bruch{2}{5}[/mm] einsetzen, dann kommt man auf:
> [mm]\bruch{2}{5}=-\bruch{1}{5}+c_1[/mm]
> => [mm]c_1=\bruch{3}{5}[/mm]
> oder war das jetzt kompletter Blödsinn?!
Nein, Blödsinn war das keiner.
> Wie geht es dann weiter? Oder war es das und man muss nur
> noch die Existenzbereiche finden?
Nun, die Lösung hinschreiben, die die Anfangswertaufgabe löst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 21.10.2010 | | Autor: | Peon |
Also ist y(x)= [mm] exp(3x)\cdot{}\left( \ \bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}+\bruch{3}{5} \ \right) [/mm] meine Lösung und dazu muss ich dann noch den Existenzbereich bestimmen?!
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> Also ist y(x)= [mm]exp(3x)\cdot{}\left( \ \bruch{-exp(-2x)(cos(x)+2sin(x))}{5}+\bruch{3}{5} \ \right)[/mm]
> meine Lösung und dazu muss ich dann noch den
> Existenzbereich bestimmen?!
gruß tee
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Peon |
Beim Aufschreiben der Aufgabe sind mir zwei Sachen eingefallen:
1. Ist hier [mm] y(x)\equiv0 [/mm] auch eine Lösung?
2. Wenn ich den ln|y| habe, muss ich dann im nächste Schritt nicht mit [mm] \pm [/mm] weiterrechnen oder warum kann man das hier u.U. weglassen?
Danke
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> Beim Aufschreiben der Aufgabe sind mir zwei Sachen
> eingefallen:
> 1. Ist hier [mm]y(x)\equiv0[/mm] auch eine Lösung?
naja setz es doch oben ein.
dann hast du stehen
[mm] 0=3*0+e^x*sin(x)
[/mm]
was wie man sieht nur für alle [mm] k\pi [/mm] der fall ist. im sinne einer dgl sind solche punkte aber wohl nicht ausreichend
> 2. Wenn ich den ln|y| habe, muss ich dann im nächste
> Schritt nicht mit [mm]\pm[/mm] weiterrechnen oder warum kann man das
> hier u.U. weglassen?
naja, weggelassen hast du es nicht direkt
du hast aus [mm] e^c [/mm] c gemacht...
[mm] e^c [/mm] hat den wertebereich [mm] ]0,\infty[ [/mm] das c aber ganz [mm] \IR
[/mm]
mit dem [mm] \pm [/mm] vor dem [mm] e^c [/mm] ist diese umformung dann doch legitim
> Danke
gruß tee
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