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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mo 11.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Überführen Sie mittels Laplace-Transformation das Anfangswertproblem
y''+4y'+4y=5sin(t)
y(0)=0
y'(0)=-1
in den Bildbereich und berechnen Sie die Bildfunktion der Lösungsfunktion. |
Hallo,
ich habe bitte eine Frage zu der Problematik.
Aus diesem Grund würde ich einfach mal meinen Rechenweg posten.
[mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+6}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)}
[/mm]
Ist das erst einmal korrekt?
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Hallo,
> $ [mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1} [/mm] $
zu
> $ [mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+6}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)} [/mm] $
ist nicht richtig
Gruss
DBb
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Di 12.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Zuerst einmal vielen Dank.
Ich habe da wirklich einen Fehler gemacht.
[mm] s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1}
[/mm]
Das sollte doch stimmen, oder?
[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]+1=\bruch{5}{s^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-1
[/mm]
[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-\bruch{s^{2}+1}{s^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5-s^{2}-1}{s^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{-s^{2}+4}{s^{2}+1}
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)}
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 12.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Zuerst einmal vielen Dank.
> Ich habe da wirklich einen Fehler gemacht.
>
> [mm]s^{2}Y(s)+1+4sY(s)+4Y(s)=\bruch{5}{s^{2}+1}[/mm]
>
> Das sollte doch stimmen, oder?
>
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]+1=\bruch{5}{s^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-1[/mm]
>
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5}{s^{2}+1}-\bruch{s^{2}+1}{s^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{5-s^{2}-1}{s^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)[s^{2}+4s+4]=\bruch{-s^{2}+4}{s^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s^{2}+4s+4)}[/mm]
>
> [mm]Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}[/mm]
Das stimmt. Du kannst noch kürzen, denn [mm] $-s^2+4=(s+2)(-s+2)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Di 12.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Sorry, aber das mit dem kürzen versteh ich gerade leider nicht so richtig.
Denn im Nenner steht doch (s+2)
Wie bekomme ich denn da den Vorzeichenwechsel hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Di 12.09.2017 | | Autor: | fred97 |
Mühsam .....
$ [mm] Y(s)=\bruch{-s^{2}+4}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}= \bruch{(s+2)(-s+2)}{(s^{2}+1)(s+2)(s+2)}= \bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 12.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Stimmt, das habe ich leider erst auf den 2.Blick gesehen.
Also könnte ich meinen Lösungsansatz wie folgt beschreiben..
[mm] \bruch{A}{s^{2}+1}+\bruch{B}{s+2}
[/mm]
?
Nur da erhalte ich ein Problem.
[mm] \bruch{A}{s^{2}+1}+\bruch{B}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}
[/mm]
[mm] A(s+2)+B(s^{2}+1)=-s+2
[/mm]
(für [mm] s^{2}) [/mm] B=0
(für [mm] s^{1}) [/mm] A=-1
(für [mm] s^{0}) [/mm] 2A+B=2
Das stimmt ja nicht ganz...
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Hallo
[mm] \bruch{Bs+C}{s^2+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^2+1)*(s+2)}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 12.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, ganz vielen Dank erst einmal.
Also
[mm] \bruch{Bs+C}{s^{2}+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}
[/mm]
[mm] \bruch{(Bs+C)(s+2)+A(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s+2)}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}
[/mm]
[mm] As^{2}+A+Bs^{2}+2Bs+Cs+2C=-s+2
[/mm]
(für [mm] s^{2}) [/mm] A+B=0
(für [mm] s^{1}) [/mm] 2B+C=-1
(für [mm] s^{0}) [/mm] A+2C=2
[mm] A=\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] B=-\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] C=\bruch{3}{5}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:35 Mi 13.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ganz vielen Dank erst einmal.
>
> Also
>
> [mm]\bruch{Bs+C}{s^{2}+1}+\bruch{A}{s+2}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(Bs+C)(s+2)+A(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s+2)}=\bruch{-s+2}{(s^{2}+1)(s+2)}[/mm]
>
> [mm]As^{2}+A+Bs^{2}+2Bs+Cs+2C=-s+2[/mm]
>
> (für [mm]s^{2})[/mm] A+B=0
>
> (für [mm]s^{1})[/mm] 2B+C=-1
>
> (für [mm]s^{0})[/mm] A+2C=2
>
> [mm]A=\bruch{4}{5}[/mm]
>
> [mm]B=-\bruch{4}{5}[/mm]
>
> [mm]C=\bruch{3}{5}[/mm]
Alles richtig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Mi 13.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Also bedeutet das...
[mm] =\bruch{\bruch{4}{5}}{s+2}+\bruch{-(\bruch{4}{5})s+\bruch{3}{5}}{(s^{2}+1)}
[/mm]
ist die Antwort?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mi 13.09.2017 | | Autor: | chrisno |
> Also bedeutet das...
>
> [mm]=\bruch{\bruch{4}{5}}{s+2}+\bruch{-(\bruch{4}{5})s+\bruch{3}{5}}{(s^{2}+1)}[/mm]
>
> ist die Antwort?
>
ja
nun meine Kritik an Deinem Beiträgen:
Du machst es mir unnötig schwer. Ich muss ein zweites Fenster aufmachen und in dem durch den Thread scrollen. Das liegt daran, dass Du den Term vor dem Gleichheitszeichen weggelassen hast. Dazu noch die Werte von A, B und C, dann wäre deutlich einfacher, das zu kontrollieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Mi 13.09.2017 | | Autor: | Ice-Man |
Ich habe dann bitte noch eine Frage zu den Variabeln.
Denn leider ist diese Thematik schon ein wenig länger her.
Woher weis ich das ich im ersten Bruch mit Bs+C rechnen muss und im zweiten Bruch nur mit A?
Ich würde mir das so erklären weil ich im Nenner des ersten Bruchs eine Quadratische Gleichung habe.
Aber ich bin mir leider nicht sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 13.09.2017 | | Autor: | chrisno |
> Ich habe dann bitte noch eine Frage zu den Variabeln.
> Denn leider ist diese Thematik schon ein wenig länger
> her.
>
> Woher weis ich das ich im ersten Bruch mit Bs+C rechnen
> muss und im zweiten Bruch nur mit A?
>
> Ich würde mir das so erklären weil ich im Nenner des
> ersten Bruchs eine Quadratische Gleichung habe.
>
> Aber ich bin mir leider nicht sicher.
Der Begriff Gleichung für einen Term im Nenner ist nicht richtig. Ansonsten aber liegst Du richtig:
bei
https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
steht das in der Einleitung, also noch vor dem Inhaltsverzeichnis.
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Partialbruchzerlegung