Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Fr 15.01.2010 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y'' = [mm] e^{y} [/mm] * [mm] (3+e^{y})
[/mm]
y(0) = ln(2)
y'(0) = 5 |
Hallo!
Ich stehe wieder einmal vor einem für mich unlösbaren Problem. Ich habe diese Differentialgleichung und soll das Anfangswertproblem lösen. Leider weis ich nicht einmal wie ich da anfangen soll, da ich ja y'' gegeben habe. Alle Bsp. die ich zu diesem Thema gefunden haben sind mit y' gegeben. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben welche Schritte ich machen muss, um dieses Bsp. zu lösen.
Vielen Dank für eure Antworten.
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
> y'' = [mm]e^{y}[/mm] * [mm](3+e^{y})[/mm]
> y(0) = ln(2)
> y'(0) = 5
> Hallo!
>
> Ich stehe wieder einmal vor einem für mich unlösbaren
> Problem. Ich habe diese Differentialgleichung und soll das
> Anfangswertproblem lösen. Leider weis ich nicht einmal wie
> ich da anfangen soll, da ich ja y'' gegeben habe. Alle Bsp.
> die ich zu diesem Thema gefunden haben sind mit y' gegeben.
> Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben welche Schritte
> ich machen muss, um dieses Bsp. zu lösen.
Substituiere zuerst
[mm]y'=p\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]y''=p'\left( \ y\left(x\right) \ \right) * y'\left(x\right)=p'*p[/mm]
Setze dies jetzt in die DGL ein.
Und bestimme die Lösung für p, wobei man hier
gleich die Anfangsbedingungen einsetzen kann.
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Fr 15.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Hallo MathePower!
Danke für deine Antwort, ich werde das einmal versuchen.
mfg
pioneer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pioneer |
> Substituiere zuerst
>
> [mm]y'=p\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]y''=p'\left( \ y\left(x\right) \ \right) * y'\left(x\right)=p'*p[/mm]
>
Warum muss ich gerade diese Substitution vornehmen?
>
> Setze dies jetzt in die DGL ein.
>
> Und bestimme die Lösung für p, wobei man hier
> gleich die Anfangsbedingungen einsetzen kann.
>
p' * p = [mm] e^{ln(2)} [/mm] * (3 + [mm] e^{ln(2)})
[/mm]
Stimmt das so?
Wenn ja, muss was muss ich für p' einsetzen damit ich p erhalte?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> > Substituiere zuerst
> >
> > [mm]y'=p\left( \ y\left(x\right) \ \right)[/mm]
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]y''=p'\left( \ y\left(x\right) \ \right) * y'\left(x\right)=p'*p[/mm]
> >
> Warum muss ich gerade diese Substitution vornehmen?
Weil dies eine DGL ohne und y' ist.
>
> >
> > Setze dies jetzt in die DGL ein.
> >
> > Und bestimme die Lösung für p, wobei man hier
> > gleich die Anfangsbedingungen einsetzen kann.
> >
> p' * p = [mm]e^{ln(2)}[/mm] * (3 + [mm]e^{ln(2)})[/mm]
> Stimmt das so?
> Wenn ja, muss was muss ich für p' einsetzen damit ich p
> erhalte?
Zunächst mußt Du die DGL
[mm]p*p'=e^{y}*\left(3+e^{y}\right)[/mm]
lösen, bevor Du die Anfangsbedingungen einsetzen kannst.
>
> mfg
> pioneer
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Das heißt ich muss das p als Lösung bekommen?
p = [mm] \integral_{unb.}^{unb.}{(e^{y} * (3+e^{y})) / p dx}
[/mm]
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Das heißt ich muss das p als Lösung bekommen?
>
> p = [mm]\integral_{unb.}^{unb.}{(e^{y} * (3+e^{y})) / p dx}[/mm]
>
Die DGL
[mm]p*p'=e^{y}*\left(3+e^{y}\right)[/mm]
ist äquivalent zu
[mm]p \ dx = e^{y}*\left(3+e^{y}\right) \ dy[/mm]
Das heisst, Du suchst zunächst mal je eine Stammfunktion
zu p bzw. [mm]e^{y}*\left(3+e^{y}\right)[/mm]
Die setzt Du gleich.
Mit den gegebenen Anfangsbedingungen ermittelst
Du die Integrationskonstante.
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Muss ich vor dem Integrieren von p rücksubstituieren?
Wenn ich die rechte Seite integriere erhalte ich [mm] 3*e^{y}+0,5*e^{y}^{2}+C
[/mm]
mfg
pioneer
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Hallo pandabaer,
> Muss ich vor dem Integrieren von p rücksubstituieren?
Nein, Du integrierst hier beide Seiten
und bestimmst dann die Konstante C.
> Wenn ich die rechte Seite integriere erhalte ich
> [mm]3*e^{y}+0,5*e^{y}^{2}+C[/mm]
Stimmt. [pk]
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Hallo MathePower!
Vielen Dank für deine Gedult.
> Nein, Du integrierst hier beide Seiten
> und bestimmst dann die Konstante C.
Vielleicht ist meine Frage jetzt wirklich sehr blöd aber was ist das Integral von p?
mfg
pioneer
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Hallo pionier,
> Hallo MathePower!
>
> Vielen Dank für deine Gedult.
>
> > Nein, Du integrierst hier beide Seiten
> > und bestimmst dann die Konstante C.
>
> Vielleicht ist meine Frage jetzt wirklich sehr blöd aber
> was ist das Integral von p?
Siehe Potenzregel - Integration.
>
> mfg
> pioneer
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Hallo!
Wenn ich das Integral von p berechnen möchte, dann muss ich doch für p wieder y' einsetzen (rücksubstituieren) und y' ist das Integral von meiner gegebenen Gleichung y''. Ich weiß, dass es etwas unmoralisch ist, aber ich möchte dich bitten mir die Lösung zu sagen, da ich dieses Beispiel morgen abgeben muss, und es ziemlich wichtig für meine Note ist.
Mit freundlichen Grüßen
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo!
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> Wenn ich das Integral von p berechnen möchte, dann muss
> ich doch für p wieder y' einsetzen (rücksubstituieren)
> und y' ist das Integral von meiner gegebenen Gleichung y''.
> Ich weiß, dass es etwas unmoralisch ist, aber ich möchte
> dich bitten mir die Lösung zu sagen, da ich dieses
> Beispiel morgen abgeben muss, und es ziemlich wichtig für
> meine Note ist.
Wir haben folgendes Integral:
[mm]\integral_{}^{}{p \ dp}[/mm]
Hier integrierst Du nach p.
Dann ist [mm]\bruch{p^{2}}{2}[/mm] eine Stammfunktion von p.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Und nun muss ich p rücksubstituieren, oder? Also p = y' und y' = integral (y'').
Stimmt das so?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Und nun muss ich p rücksubstituieren, oder? Also p = y'
> und y' = integral (y'').
Bevor Du das machst ist es ratsam zuerst
die Integratioskonstante zu bestimmen.
Zur Erinnerung:
[mm]\bruch{p^{2}}{2}=\integral_{}^{}{e^{y}*\left(3+e^{y}\right) \ dy}[/mm]
Aus dem rechtsstehenden Integral wird die Stammfunktion gebildet,
und daraus die Integrationskonstante bestimmt.
Hier sind dann als Anfangsbedingungen
[mm]p_{0}=p\left(y_{0}\right)=y'(0)=5, \ y_{0}=y\left(0\right)=\ln\left(2\right)[/mm]
einzusetzen.
Erst dann kannst Du weiterrechnen.
> Stimmt das so?
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Und nun muss ich nur mehr die Gleichung aus der Angebe auf beiden Seiten integrieren:
y' = [mm] 3*e^{y}+0,5*(e^{y})^{2}+C
[/mm]
und setze für y' = 5, für y = ln(2) und für C = 8,5 ein.
Stimmt das dann so?
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Hallo pioneer,
> Und nun muss ich nur mehr die Gleichung aus der Angebe auf
> beiden Seiten integrieren:
>
> y' = [mm]3*e^{y}+0,5*(e^{y})^{2}+C[/mm]
>
> und setze für y' = 5, für y = ln(2) und für C = 8,5
> ein.
>
> Stimmt das dann so?
Hier steht doch:
[mm]\bruch{y'^{2}}{2} = 3*e^{y}+0,5*(e^{y})^{2}+C[/mm]
Daher ergibt sich mit den oben angegebenen Bedingungen ein anders C.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Für C erhalte ich unter der oben angegebenen Bedingung 8,5 . Ist das schon meine Lösung?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Für C erhalte ich unter der oben angegebenen Bedingung 8,5
> . Ist das schon meine Lösung?
Nein.
Das richtige C ist erstmal die Integrationskonstante.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 17.01.2010 | | Autor: | pioneer |
OK, ich glaube ich lass es bleiben, vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> OK, ich glaube ich lass es bleiben, vielen Dank nochmals
> für deine Hilfe.
Wer wird denn hier aufgeben?
Die Integrationskonstante ergibt sich zu [mm]C=\bruch{9}{2}[/mm]
Damit hast Du auf der rechten Seite, nach der Multiplikation mit 2,
ein vollständiges Quadrat stehen.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mo 18.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Hallo!
Entschuldige wirklich, dass ich so oft nachfrage, aber ich habe zu diesem Beispiel leider überhaupt kein ähnliches Beispiel anhand dessen ich es durchrechnen kann.
Warum ist C = [mm] \bruch{9}{2}?
[/mm]
Ich dachte ich muss [mm] \bruch{p^{2}}{2} [/mm] = [mm] 3*e^{y}+\bruch{1}{2}*(e^{y})^{2} [/mm] + C
auf C umformen und für p = 5 und y = ln(2) lösen.
Wenn ich dann C habe, wie gehe ich weiter vor?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo!
>
> Entschuldige wirklich, dass ich so oft nachfrage, aber ich
> habe zu diesem Beispiel leider überhaupt kein ähnliches
> Beispiel anhand dessen ich es durchrechnen kann.
> Warum ist C = [mm]\bruch{9}{2}?[/mm]
> Ich dachte ich muss [mm]\bruch{p^{2}}{2}[/mm] =
> [mm]3*e^{y}+\bruch{1}{2}*(e^{y})^{2}[/mm] + C
> auf C umformen und für p = 5 und y = ln(2) lösen.
Wenn Du das einsetzt, kommt dieser Wert für C heraus.
>
> Wenn ich dann C habe, wie gehe ich weiter vor?
Setze zunächst das C ein, und multipliziere mit 2 durch:
[mm]p^{2}=6*e^{y}+(e^{y})^{2} + 2C = (e^{y})^{2}+6*e^{y}+ 2C[/mm]
Die rechte Seite Stellt nun ein vollständiges Quadrat dar.
Dann hast Du
[mm]p=\pm\left(e^{y}+3\right)[/mm]
Ersetze nun p:
[mm]y'=\pm\left(e^{y}+3\right)[/mm]
Das richtige Vorzeichen bekommst Du durch die Anfangsbedingungen.
Jetzt diese DGL durch Trennung der Variablen lösen.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | pioneer |
C = [mm] \bruch{9}{2} [/mm] ist mir schon klar. Wieder einmal ein Rechenfehler. Muss ich nun mit der Aus der quadratischen Gleichung die beiden Lösungen bestimmen?
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> C = [mm]\bruch{9}{2}[/mm] ist mir schon klar. Wieder einmal ein
> Rechenfehler. Muss ich nun mit der Aus der quadratischen
> Gleichung die beiden Lösungen bestimmen?
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen bestimmst Du nun die richtige Lösung.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 So 17.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich würde es anderst lösen, bin mir aber nicht ganz sicher.
y'' = [mm] e^{y} [/mm] * [mm] (3+e^{y}) [/mm] = [mm] e^{y}*3 [/mm] + [mm] e^{2*y},
[/mm]
y'' = 0 wäre ja der homogene Teil. Du löst diese Homogone Gleichung, was dir eine Teillösung gibt. Die Gleichung hat aber einen inhomogenen Teil. Und zwar kann man den in zwei Funktionen sehen nämlich [mm] e^{y}*3 [/mm] und [mm] e^{2*y}. [/mm] Bei diesen must du jeweils einen Ansatz finden. Bei der ersten Funktion, also [mm] e^{y}*3 [/mm] ist der Ansatz [mm] "koeffizient"*e^{y} [/mm] und bei der zweiten Funktion ist der Ansatz [mm] "koeffizient"*e^{2*y}. [/mm] Diese Ansätze kannst du jeweils in die Ursprüüngliche Gleichung einsetzen.
Anschliessend musst du noch einen Koeffizientenvergleich machen, und dann solltest du die richtigen Lösungen gefunden haben. Diese werden anschliessend einfach addiert...
Ist das falsch, ja oder nein???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 So 17.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke...ich habe das y als x gesehen, war mir gar nicht bewusst...
Qsxqsx
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Riccatische DGL