Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Sa 25.06.2011 | | Autor: | rammy |
| Aufgabe | In meinen Lernunterlagen steht folgender Satz:
(Existenz- und Eindeutigkeitssatz): Ist ein AWP (Anfangswertproblem) mit y'=f(x)g(y) und [mm] y(x_0)=y_0 [/mm] gegeben und sind f und g im jeweiligen Intervall, also f in I und g in J stetig und [mm] g(y)\not=0, [/mm] so existiert eine Lösung des AWP in einer Umgebung von [mm] x_0. [/mm] Die Lösung ergibt sich aus...
durch Auflösen nach y. (mit ... ist die Trennung der Variablen gemeint). |
Meine Frage ist nun:
Wenn ich ein AWP gegeben habe mit [mm] y'=\wurzel{|y|} [/mm] und [mm] y(x_0)=y_0, [/mm] ist die Lösung nicht eindeutig oder? Ich kann zwar Lösung zusammensetzen, welche in ganz IR dann existieren, aber für das AWP selbst gibt es keine eindeutige Lösung oder?
Liege ich mit meinen Annahmen falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> In meinen Lernunterlagen steht folgender Satz:
> (Existenz- und Eindeutigkeitssatz): Ist ein AWP
> (Anfangswertproblem) mit y'=f(x)g(y) und [mm]y(x_0)=y_0[/mm] gegeben
> und sind f und g im jeweiligen Intervall, also f in I und g
> in J stetig und [mm]g(y)\not=0,[/mm] so existiert eine Lösung des
> AWP in einer Umgebung von [mm]x_0.[/mm] Die Lösung ergibt sich
> aus...
>
> durch Auflösen nach y. (mit ... ist die Trennung der
> Variablen gemeint).
> Meine Frage ist nun:
>
> Wenn ich ein AWP gegeben habe mit [mm]y'=\wurzel{|y|}[/mm] und
> [mm]y(x_0)=y_0,[/mm] ist die Lösung nicht eindeutig oder? Ich kann
> zwar Lösung zusammensetzen, welche in ganz IR dann
> existieren, aber für das AWP selbst gibt es keine
> eindeutige Lösung oder?
>
> Liege ich mit meinen Annahmen falsch?
Nein, Du liegst richtig ! Schau mal in
W.Walter: Gew. Differentialgleichungen
(Seite 14)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Sa 25.06.2011 | | Autor: | rammy |
Ah, danke.
Ich habe nur Probleme bei der Argumentation, wieso es keine Lösung fürs AWP gibt, wie kann ich da am besten argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Lösungen gibt es durchaus !
AWP : (*) [mm] y'=\wurzel{|y|}, [/mm] y(0)=0
Setze [mm] y_1(x)=x^2/4, [/mm] für x>0 und [mm] y_1(x)=0 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0
Setze [mm] y_2(x)=x^2/4, [/mm] für x>0 und [mm] y_2(x)=0 [/mm] für -1 [mm] \lex \le [/mm] 0 und [mm] y_2(x)=\bruch{-(x+1)^2}{4} [/mm] für x<-1
Dann sind [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] zwei Lösungen des AWPs.
FRED
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