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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mi 19.09.2007 | | Autor: | claire06 |
| Aufgabe | Ihre Lebensversicherung zahlt Ihnen im Zeitpunkt t=0 einen Geldbetrag i.H.v. C0 aus, den Sie in voller Höhe auf einem Konto mit jährlich nachschüssiger Zinsabrechnung anlegen. Sie planen, in den nächsten T Jahren jeweils einen konstanten Betrag am Jahresende von diesem Konto zu entnehmen, so dass das Konto nach der letzten Entnahme einen Kontostand von 0 aufweist.
C0= 250.000
Anlagedauer = T = 15
Zinswechsel ab T' = 10
Zins bis T' = r' = 0,04
Zins ab T' = r'' = 0,06
Berechnen Sie die Höhe des jährlichen Entnahmebetrags e |
Hallo liebe Leute,
mir macht mal wieder die Rentenrechnung zu schaffen. Bei dieser Aufgabe komme ich nicht dahinter, wie es funktioniert.
Die Annuität errechnet sich aus der Multiplikation des Anlagebetrages mit dem Annuitätenfaktor. In dieser Aufgabe habe ich ja mehrere Annuitätenfaktoren und mir ist nicht klar, wie ich mit ihnen rechnen muss.
Der zweite Gedanke war, dass der ANF ja immer der Kehrwert des RBF ist. Vielleicht kann man die mir bekannte Formel zur Berechnung des RBF bei wechselnden Periodenzinsen ja umdrehen, aber was kommt dann über den Bruchstrich?
[mm] \bruch{?}{e\*\bruch{1-(1+r')^{-T'}}{r'}+e\*\bruch{1-(1+r'')^{-T+T'}}{r''}\*(1+r')^{-T'}}
[/mm]
Kann mir jemand den richtigen Weg zeigen?
Das richtige Ergebnis lautet: 22.817,26
Viele Grüße
Claire
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Hallo Claire, Hallo Zusammen,
> Ihre Lebensversicherung zahlt Ihnen im Zeitpunkt t=0 einen
> Geldbetrag i.H.v. C0 aus, den Sie in voller Höhe auf einem
> Konto mit jährlich nachschüssiger Zinsabrechnung anlegen.
> Sie planen, in den nächsten T Jahren jeweils einen
> konstanten Betrag am Jahresende von diesem Konto zu
> entnehmen, so dass das Konto nach der letzten Entnahme
> einen Kontostand von 0 aufweist.
>
> C0= 250.000
> Anlagedauer = T = 15
> Zinswechsel ab T' = 10
> Zins bis T' = r' = 0,04
> Zins ab T' = r'' = 0,06
>
> Berechnen Sie die Höhe des jährlichen Entnahmebetrags e
In meinen Notizen steht: "Der Kapitalwert spiegelt die Finanzierungskosten für ein Projekt wieder." In diesem Falle hast du ja auch eine Art Projekt, das dir die 250000 vermindert. Am Ende sollten also die Finanzierungskosten 250000 betragen, denke ich. Also wäre mein Ansatz:
[mm]250000-\left(\sum_{i=0}^{9}{e*1.04^{-i}}+\sum_{i=10}^{14}{e*1.06^{-i}}\right)=250000-e\left(\sum_{i=0}^{9}{1.04^{-i}}+\sum_{i=10}^{14}{1.06^{-i}}\right)\stackrel{!}{=}0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow e = \frac{250000}{\summe_{i=0}^{9}{1.04^{-i}}+\summe_{i=10}^{14}{1.06^{-i}}}=22875.71[/mm]
Tja, und das stimmt leider nicht mit deinem Wert überein. Deshalb wollte ich fragen, ob jemand weiß wo der Fehler liegt? Ich denke mal der Ansatz ist richtig. Aber es gibt wohl ein Problem bei den Grenzen 0,9,10,14? Deshalb habe ich mir die Gleichung allgemeiner betrachtet:
[mm]\Leftrightarrow e = \frac{250000}{\sum_{i=a}^{b}{1.04^{-i}}+\sum_{i=c}^{d}{1.06^{-i}}}[/mm]
Folgendes "quick&dirty"-Python-Programm bestimmt bei welchen a,b,c,d annähernd 22817 rauskommt:
| 1: | #! /usr/bin/python
| | 2: |
| | 3: | def calcsum(m,n,q):
| | 4: | z = 0.0
| | 5: |
| | 6: | for k in range(m,n+1):
| | 7: | z = z + q**(-k)
| | 8: |
| | 9: | if z == 0:
| | 10: | return 250000
| | 11: | else:
| | 12: | return z
| | 13: |
| | 14: |
| | 15: | for a in range(16):
| | 16: | for b in range(16):
| | 17: | for c in range(16):
| | 18: | for d in range(16):
| | 19: | Ergebnis = 250000/(calcsum(a,b,1.04)+calcsum(c,d,1.06))
| | 20: | if 22810 < Ergebnis < 22820:
| | 21: | print a,b,c,d,Ergebnis |
Das Ergebnis ist:
0 9 2 4 22816.3789907
2 7 0 6 22814.7141962
2 13 11 14 22812.2873601
4 13 3 7 22811.1647535
7 11 2 12 22812.7426
7 15 6 14 22812.5695119
Aber bei der Lösung 0,9,2,4 ergeben für mich die Werte 2,4 keinen Sinn. Denn was bedeutet dann [mm]\textstyle\sum_{i=2}^4{e*1.06^{-i}}[/mm] !? Andererseits zeigt mein Programm, daß es für [mm]a,b,c,d \in \{0,1,2,\dotsc,15\}[/mm] keine Werte gibt, die den Wert der Musterlösung liefern würden vorausgesetzt mein Ansatz stimmt... Stimmt er denn?
Danke!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo claire06,
> Ihre Lebensversicherung zahlt Ihnen im Zeitpunkt t=0 einen
> Geldbetrag i.H.v. C0 aus, den Sie in voller Höhe auf einem
> Konto mit jährlich nachschüssiger Zinsabrechnung anlegen.
> Sie planen, in den nächsten T Jahren jeweils einen
> konstanten Betrag am Jahresende von diesem Konto zu
> entnehmen, so dass das Konto nach der letzten Entnahme
> einen Kontostand von 0 aufweist.
>
> C0= 250.000
> Anlagedauer = T = 15
> Zinswechsel ab T' = 10
> Zins bis T' = r' = 0,04
> Zins ab T' = r'' = 0,06
>
> Berechnen Sie die Höhe des jährlichen Entnahmebetrags e
> Hallo liebe Leute,
>
> mir macht mal wieder die Rentenrechnung zu schaffen. Bei
> dieser Aufgabe komme ich nicht dahinter, wie es
> funktioniert.
>
> Die Annuität errechnet sich aus der Multiplikation des
> Anlagebetrages mit dem Annuitätenfaktor. In dieser Aufgabe
> habe ich ja mehrere Annuitätenfaktoren und mir ist nicht
> klar, wie ich mit ihnen rechnen muss.
>
> Der zweite Gedanke war, dass der ANF ja immer der Kehrwert
> des RBF ist. Vielleicht kann man die mir bekannte Formel
> zur Berechnung des RBF bei wechselnden Periodenzinsen ja
> umdrehen, aber was kommt dann über den Bruchstrich?
>
> [mm]\bruch{?}{e\*\bruch{1-(1+r')^{-T'}}{r'}+e\*\bruch{1-(1+r'')^{-T+T'}}{r''}\*(1+r')^{-T'}}[/mm]
>
> Kann mir jemand den richtigen Weg zeigen?
>
> Das richtige Ergebnis lautet: 22.817,26
>
Hier wird eine konstante Rente gezahlt, wobei für die Raten verschieden Zinssätze gelten. Zu bestimmten sind die Raten. Es liegt Kapitalabbau vor. Die Sparkassenformel ist anzuwenden.
Lösung:
Die Gliederung in Teilrenten muss so erfolgen, dass in jeder Teilrente Ratenhöhe und Zinssatz konstant sind.
Bei der Zerlegung der Rente in Teilrenten ist also nach folgenden Prinzipien vorzugehen:
Die erste Teilrente beginnt mit der ersten Rate der Gesamtrente.
Eine Teilrente endet dann, wenn sich in der folgenden Periode Zinssatz oder Ratenhöhe ändert (auch Perioden ohne Ratenzahlung sind zugelassen).
Die letzte Teilrente endet mit der letzten Rate der Gesamtrente.
Mein Lösungsvorschlag daher:
[mm] 250.000*1,04^9 [/mm] * [mm] 1,06^6 [/mm] = [mm] R*\bruch{1,04^9 -1}{0,04}*1,06^6 [/mm] + [mm] R*\bruch{1,06^6 -1}{0,06}
[/mm]
R = 22.941,77
Die vorgegebene Lösung lautet jedoch anders. Ich komme nicht auf das Ergebnis. Was mache ich falsch?
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 23.09.2007 | | Autor: | claire06 |
Hallo nochmal und vielen Dank lieber Josef für deine Hilfe!
Ich habe noch viele weitere Klausuraufgaben durchgesehen und bei einem ähnlichen Fall wurde nach einem für mich sehr klaren und einfachen Prinzip vorgegangen. Aber auch dabei kam ich auf den Wert von Josef.
Nach weiterem Grübeln habe ich den Zinssatz von 4% noch auf die 10. Periode ausgeweitet und siehe da:
250.000 = [mm] a\* [/mm] RBF(10J.; 4%) + [mm] a\* [/mm] RBF(5J.; 6%) [mm] \*1,04^{-10}
[/mm]
= [mm] a\*(8,1109 [/mm] + [mm] 4,2124\*0,6756) [/mm]
= 10,956797a
a = 22816,89
Der Wert entspricht immer noch nicht genau dem gegebenen Ergebnis. Hier liegt aber nur eine Rundungsdifferenz vor.
Ist aber ganz schön missverständlich ausgedrückt mit dem Zinswechsel ab T' = 10...
Ich bin aber sehr froh, dass ich es mit eurer Hilfe nun doch endlich verstanden habe 
Viele Grüße
Claire
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 So 23.09.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo claire06,
>
> Nach weiterem Grübeln habe ich den Zinssatz von 4% noch auf
> die 10. Periode ausgeweitet und siehe da:
>
>
> 250.000 = $ a* $ RBF(10J.; 4%) + $ a* $ RBF(5J.; 6%) $ [mm] *1,04^{-10} [/mm] $
= $ a*(8,1109 $ + $ 4,2124*0,6756) $
= 10,956797a
> a = 22816,89
>
> Der Wert entspricht immer noch nicht genau dem gegebenen
> Ergebnis. Hier liegt aber nur eine Rundungsdifferenz vor.
>
> Ist aber ganz schön missverständlich ausgedrückt mit dem
> Zinswechsel ab T' = 10...
>
Viele Dank für deine Rückantwort. Du hast recht, ein Jahr später und das Lösungsergebnis wird so ermittelt. Bei genügenden Nachkommastellen ergeben sich dann keine Rundungsfehler.
250.000 [mm] *1,04^{10} *1,06^5 [/mm] = [mm] R*\bruch{1,04^{10} -1}{0,04} [/mm] * [mm] 1,06^5 [/mm] + [mm] R*\bruch{1,06^5 -1}{0,06} [/mm]
495.225,10 = R* 12,00610712 * 1,338225578 + R * 5,63709296
495.225,10 = R * 21,7039726
R = 22.817,26
Viele Grüße
Josef
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