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| Aufgabe | | Sei [mm] S^n=\{x\in\IR^{n+1}|x_1^2+...+x_{n+1}^2=1\} [/mm] die n-Sphäre. Zeige, dass zu jeder stetigen Funktion f: [mm] S^n\to\IR, n\ge [/mm] 1, ein Paar antipodaler Punkte x, -x [mm] \in S^n [/mm] existiert mit f(x)=f(-x) |
Hallo zusammen. Mir fehlt gerade ein entscheidenes Argument.. und zwar wenn ich mir diese Abbildung definiere:
g: [mm] S^n\to \IR [/mm] g(x)=f(x)-f(-x) (g stetig) wieso gibt es dann ein x aus [mm] S^n [/mm] s.d. g(x)=0 ist? Oder gibt es überhaupt mit Sicherheit ein solches x? Ich habe an den verallgemeinerten Zwischenwertsatz gedacht.. allerdings kann es doch vielleicht auch Abbildungen g geben, die nur von [mm] S^n [/mm] nach [mm] \IR_>0 [/mm] abbilden, oder nicht? Mir fällt nur leider kein Beispiel dazu ein, euch vielleicht?
Grüße kulli
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> Sei [mm]S^n=\{x\in\IR^{n+1}|x_1^2+...+x_{n+1}^2=1\}[/mm] die
> n-Sphäre. Zeige, dass zu jeder stetigen Funktion f:
> [mm]S^n\to\IR, n\ge[/mm] 1, ein Paar antipodaler Punkte x, -x [mm]\in S^n[/mm]
> existiert mit f(x)=f(-x)
> Hallo zusammen. Mir fehlt gerade ein entscheidenes
> Argument.. und zwar wenn ich mir diese Abbildung
> definiere:
>
> g: [mm]S^n\to \IR[/mm] g(x)=f(x)-f(-x) (g stetig) wieso gibt es dann
> ein x aus [mm]S^n[/mm] s.d. g(x)=0 ist? Oder gibt es überhaupt mit
> Sicherheit ein solches x? Ich habe an den verallgemeinerten
> Zwischenwertsatz gedacht.. allerdings kann es doch
> vielleicht auch Abbildungen g geben, die nur von [mm]S^n[/mm] nach
> [mm]\IR_>0[/mm] abbilden, oder nicht?
Hallo kulli,
Grundsätzlich gibt es natürlich schon stetige Abbildungen
von [mm] S^n [/mm] nach [mm] \IR_{>0} [/mm] , beispielsweise konstante Funktionen.
Doch die durch g(x):= f(x)-f(-x) definierte Abbildung
hat aber eine wichtige zusätzliche Eigenschaft, nämlich
g(-x)= -g(x) für alle x.
Wähle also ein beliebiges [mm] x\inS^n [/mm] .
Entweder ist g(x)= 0 , dann bist du fertig.
Andernfalls ist zum Beispiel g(x)>0 und g(-x)= -g(x)<0 .
Verbinde dann die Punkte x und (-x) durch einen stetigen,
in [mm] S^n [/mm] verlaufenden Weg [mm] \gamma [/mm] und betrachte die auf
[mm] \gamma [/mm] beschränkte Funktion [mm] g_{\gamma} [/mm] !
LG
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Aah! Eine Fallunterscheidung.. das hat mir gefehlt. Vielenk Dank, der Rest ist klar! 
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> Aah! Eine Fallunterscheidung.. das hat mir gefehlt. Vielen
> Dank, der Rest ist klar!
Die wesentliche Idee besteht eigentlich gar nicht in der
Fallunterscheidung, sondern darin, zunächst einmal die
Funktion g einzuführen (das hast du vorgeschlagen)
und dann die Eigenschaft zu benützen, dass von einem
beliebigen Punkt x der n-Sphäre stets ein stetiger, in
[mm] S^n [/mm] liegender Weg zu seinem Antipodenpunkt -x führt
(dies ist natürlich noch zu begründen !).
LG Al-Chw.
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> > Aah! Eine Fallunterscheidung.. das hat mir gefehlt. Vielen
> > Dank, der Rest ist klar!
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> Die wesentliche Idee besteht eigentlich gar nicht in der
> Fallunterscheidung, sondern darin, zunächst einmal die
> Funktion g einzuführen (das hast du vorgeschlagen)
> und dann die Eigenschaft zu benützen, dass von einem
> beliebigen Punkt x der n-Sphäre stets ein stetiger, in
> [mm]S^n[/mm] liegender Weg zu seinem Antipodenpunkt -x führt
> (dies ist natürlich noch zu begründen !).
>
> LG Al-Chw.
Hehe, glücklicherweise muss ich das in diesem Fall nicht begründen, da es schon in der Vorlesung getan wurde.
Mfg, kulli
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