Anwendung Satz von Picard Lind < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Sa 08.12.2012 | | Autor: | ops |
| Aufgabe | Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm] y^{'}(t) [/mm] = [mm] ty^2(t), y(t_{0}) [/mm] = [mm] y_{0}.
[/mm]
(a) Untersuchen Sie, ob es für alle Anfangswerte eine eindeutig bestimmte
Lösung des Anfangswertproblems gibt. |
Ich muss ja zeigen, dass [mm] f(y,t)=ty^2(t) [/mm] auf
D = {(t, y) ∈ [mm] R^{n+1} [/mm] : [mm] t_{0} [/mm] ≤ t ≤ [mm] t_{0} [/mm] + a, |y − [mm] y_{0}| [/mm] ≤ b}
stetig und bezüglich y Lipschitz-stetig ist, d.h.
|f(t, [mm] y_{1}) [/mm] − f(t, [mm] y_{2})| [/mm] ≤ L [mm] |y_{1} [/mm] − [mm] y_{2}| [/mm] ∀(t, [mm] y_{1}), (t,y_{2}) [/mm] ∈ D
Nun zur Frage: Wie finde ich das a und das b von meinem Quader D, denn das muss ich doch vorher bestimmen, um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen oder? Ich muss ja a und b so wählen, dass f auf dem Intervall D dann stetig ist. Aber um Aussagen über das f zu haben, brauche ich doch vorher das y oder?
Oder kann ich in diesem Fall das a und b beliebig wählen, da [mm] f(y,t)=ty^2, [/mm] wenn man y als unabhängige Varibale und nicht als Funktion von t sieht, stetig ist für alle a und b, da ja Polynom ist.
Ich habe auch irgendwo gelesen, dass wenn ich f bzgl. y ableite und diese partielle Ableitung stetig ist, dass daraus sofort die Lipschitz-Stetigkeit folgt. In meinem Fall ist ja [mm] df/dy=t*y^{'}(t) [/mm] und da kann ich nicht wirklich was über die Stetigkeit sagen, da ich das [mm] y^{'} [/mm] ja nicht kenne.
Oder muss ich das y als unabhängige Variable betrachen und nicht als Funktion von t, dann wäre [mm] df/dy=2*t*y^{} [/mm] und -wenn y als Variable betrachtet - die Ableitung stetig.
Ich stehe gerade wirklich auf dem Schlauch und hoffe das ein paar meiner Frage beantwortet werden können.
Mit freundlichem Gruß
ops
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Hallo,
du musst zeigen das die Funktion [mm] f:\IR^2\to \IR, f(y,t)=ty^2 [/mm] stetig und lokal lipschitz in y ist. y ist hier eine Variable, keine Funktion!
Dein Zugang ist dann richtig: f ist stetig da Polynom; und f ist stetig differenzierbar in y (es ist [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = 2ty) => f ist lokal lipschitz in y.
LG rafael
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