Anzahl von p - Sylowgruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $G$ eine Gruppe.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Sylowsätze für
i) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$
ii) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 56$
die Anzahl der $p$ - Sylowgruppen für alle $p$ Primteiler der Gruppenordnung.
b) Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur die trivialen Normalteiler [mm] $\{e_{G} \}$ [/mm] und $G$ enthält.
Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a), dass Gruppen $G$ der Ordnung
i) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$
ii) [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 56$
nicht einfach sind. |
Hallo Matheraum!
Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe (oben). Ich habe versucht, so weit es geht, einen anständigen Ansatz zu bekommen.
Ich komme leider bei der Bestimmung der Anzahl der $p$ - Sylowgruppen nicht weiter.
So weit bin ich bis jetzt gekommen:
a)
i)
Durch Primfaktorzerlegung ergibt sich $40 = [mm] 2^{3} \cdot [/mm] 5$.
Nach dem 3. Sylowsatz gilt:
[mm] $s_{2} \vert [/mm] 40$, d.h. [mm] $\exists k_{1} \in \mathbb{N}: [/mm] 40 = [mm] s_{2} \cdot k_{1}$
[/mm]
[mm] $s_{2} \equiv 1\; mod\; [/mm] 2$, d.h. $ [mm] s_{2} [/mm] = 2 [mm] \cdot s_{2} [/mm] + 1 $
[mm] $s_{5} \vert [/mm] 40$, d.h. [mm] $\exists k_{2} \in \mathbb{N}: [/mm] 40 = [mm] s_{5} \cdot k_{2}$
[/mm]
[mm] $s_{5} \equiv 1\; mod\; [/mm] 5$, d.h. $ [mm] s_{5} [/mm] = 5 [mm] \cdot s_{5} [/mm] + 1 $
Die Lösungen für die oberen zwei Gleichungen sind [mm] $s_{2} [/mm] = 5 $ und [mm] $s_{2} [/mm] = 1$.
Es gibt also entweder $5$ $2$ - Sylowgruppen oder nur eine $2$ - Sylowgruppe ? Oder können auch beide Fälle eintreten, wobei ich mich dann frage, wie soll das gehen ?
Wie kann man denn entscheiden, welcher Fall tatsächlich auftritt ?
Die Lösung für die unteren zwei Gleichungen ist [mm] $s_{5} [/mm] = 1 $.
Das heißt, es gibt nur eine $5$ - Sylowgruppe.
Die ii) wird ja dann analog gehen, wenn ich einmal verstanden habe, die man die Anzahl der $2$ - Sylowgruppen bestimmt.
Zu b)
In a) habe ich herausgefunden, dass die Gruppe $G$ mit [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$ eine einzige $3$ - Sylowgruppe besitzt.
Und ich weiß, dass wenn es nur eine $3$ - Sylowgruppe gibt, dann muss diese $3$ - Sylowgruppe ein Normalteiler von $G$ sein.
Aber dieser Normalteiler hat $3$ Elemente und kann also nicht ein trivialer Normalteiler sein.
Also ist $G$ mit [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] = 40$ nicht einfach.
Die ii) wird hier ebenfalls analog gehen.
Ich würde mich auf eine Antwort freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 11.05.2020 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe.
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> a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Sylowsätze für
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> i) [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
>
> ii) [mm]\vert G \vert = 56[/mm]
>
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> die Anzahl der [mm]p[/mm] - Sylowgruppen für alle [mm]p[/mm] Primteiler der
> Gruppenordnung.
>
>
> b) Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur die trivialen
> Normalteiler [mm]\{e_{G} \}[/mm] und [mm]G[/mm] enthält.
>
> Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a), dass
> Gruppen [mm]G[/mm] der Ordnung
>
>
> i) [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
>
> ii) [mm]\vert G \vert = 56[/mm]
>
>
> nicht einfach sind.
> Hallo Matheraum!
>
>
> Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe (oben). Ich habe
> versucht, so weit es geht, einen anständigen Ansatz zu
> bekommen.
>
> Ich komme leider bei der Bestimmung der Anzahl der [mm]p[/mm] -
> Sylowgruppen nicht weiter.
>
> So weit bin ich bis jetzt gekommen:
>
> a)
>
>
> i)
>
> Durch Primfaktorzerlegung ergibt sich [mm]40 = 2^{3} \cdot 5[/mm].
>
>
> Nach dem 3. Sylowsatz gilt:
>
>
> [mm]s_{2} \vert 40[/mm], d.h. [mm]\exists k_{1} \in \mathbb{N}: 40 = s_{2} \cdot k_{1}[/mm]
>
> [mm]s_{2} \equiv 1\; mod\; 2[/mm], d.h. [mm]s_{2} = 2 \cdot s_{2} + 1[/mm]
>
Du darfst hier keinesfalls [mm] $s_{2}$ [/mm] auf der rechten Seite der Gleichung verwenden.
>
> [mm]s_{5} \vert 40[/mm], d.h. [mm]\exists k_{2} \in \mathbb{N}: 40 = s_{5} \cdot k_{2}[/mm]
>
> [mm]s_{5} \equiv 1\; mod\; 5[/mm], d.h. [mm]s_{5} = 5 \cdot s_{5} + 1[/mm]
>
dito
>
> Die Lösungen für die oberen zwei Gleichungen sind [mm]s_{2} = 5[/mm]
> und [mm]s_{2} = 1[/mm].
>
> Es gibt also entweder [mm]5[/mm] [mm]2[/mm] - Sylowgruppen oder nur eine [mm]2[/mm] -
> Sylowgruppe ? Oder können auch beide Fälle eintreten,
> wobei ich mich dann frage, wie soll das gehen ?
Ja, es gibt Gruppen der Ordnung $40$, die genau eine $2$-Sylowgruppe besitzen; aber auch solche, die genau $5$ $2$-Sylowgruppen besitzen.
Kannst Du ein Beispiel für jeden der Fälle angeben? Dies ist bei dieser Aufgabe mit "bestimmen" gemeint. Beispielsweise hat im Fall $|G|=6$ die zyklische Gruppe [mm] $C_{6}$ [/mm] genau eine $2$-Sylowgruppe und die symmetrische Gruppe [mm] $S_{3}$ [/mm] genau $3$ $2$-Sylowgruppen.
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> Wie kann man denn entscheiden, welcher Fall tatsächlich
> auftritt ?
>
s.o.
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> Die Lösung für die unteren zwei Gleichungen ist [mm]s_{5} = 1 [/mm].
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> Das heißt, es gibt nur eine [mm]5[/mm] - Sylowgruppe.
>
Richtig.
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> Die ii) wird ja dann analog gehen, wenn ich einmal
> verstanden habe, die man die Anzahl der [mm]2[/mm] - Sylowgruppen
> bestimmt.
>
>
> Zu b)
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>
> In a) habe ich herausgefunden, dass die Gruppe [mm]G[/mm] mit [mm]\vert G \vert = 40[/mm]
> eine einzige [mm]3[/mm] - Sylowgruppe besitzt.
Vertippt?
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> Und ich weiß, dass wenn es nur eine [mm]3[/mm] - Sylowgruppe gibt,
> dann muss diese [mm]3[/mm] - Sylowgruppe ein Normalteiler von [mm]G[/mm]
> sein.
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> Aber dieser Normalteiler hat [mm]3[/mm] Elemente und kann also nicht
> ein trivialer Normalteiler sein.
>
> Also ist [mm]G[/mm] mit [mm]\vert G \vert = 40[/mm] nicht einfach.
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>
> Die ii) wird hier ebenfalls analog gehen.
>
Richtig.
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> Ich würde mich auf eine Antwort freuen!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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