Approximation von Eigenvektore < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A eine komplexe nxn-Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n}. [/mm] Außerdem gelte [mm] |\lambda_{1}|>|\lambda_{j}|. [/mm] Zeige, dass für "fast alle" Vektoren [mm] x\in\IC^{n} [/mm] die durch [mm] x_{k}=\lambda_{1}^{-k}A^{k}x [/mm] gegebene Folge gegen einen Eigenvektor y konvergiert, und beschreibe unter welchen Bedingungen dies genau der Fall ist. |
Hallo Leute,
ihr lest das Problem. Hat jemand eine Idee wie man da herangehen könnte. Ich probiere mich jetzt schon geraume Zeit daran und komme auf nichts Brauchbares. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 16.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Da A n verschiedene Eigenwerte besitzt, existiert eine Basis b1, ..., bn des [mm] C^n,
[/mm]
wobei bj Eigenvektor zum Eigenwert lambdaj ist.
Sei x in [mm] C^n. [/mm] Stelle x als Linearkombination diser Eigenvektoren dar und betrachte dann die mit diesem x gebildete Folge xk.
Du wirst sehen: diese Folge konvergiert. Du kannst dann auch ablesen, wann diese Folge gegen einen Eigenvektor konvergiert.
FRED
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Hallo Fred,
wie sieht denn diese Linearkombination aus. Hätte jetzt diese Idee:
[mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}.
[/mm]
Wenn ich die Summe dann etwas umschreibe, kann ich da sehr schnell was ablesen, aber ist die LK so richtig?
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du mit vi die obigen Basisvektoren meinst (von denen ich sprach), so mußt Du die rechte Seite von
$ [mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}. [/mm] $
noch durch lambda1 dividieren, dann erhälst Du die Folge xk aus der Aufgabe.
Was passiert jetzt für k gegen unendlich ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:21 Di 17.06.2008 | | Autor: | mathmetzsch |
Na ja, diese Umformung ist sicherlich erlaubt:
[mm] x_{k}=\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}v_{i}=\lambda_{1}^{k}(\alpha_{1}v_{1}+\summe_{i=2}^{n}\alpha_{i}v_{i}\bruch{\lambda_{i}^{k}}{\lambda_{1}^{k}}). [/mm] Für k gegen Unendlich konvergiert das gegen den Nullvektor, da [mm] \bruch{\lambda_{i}^{k}}{\lambda_{1}^{k}} [/mm] eine geometrische Folge ist.
Ist also der Startvektor [mm] x_{0} [/mm] allgemein gewählt [mm] (\alpha_{1}\not=0), [/mm] so konvergieren die Vektoren [mm] \bruch{x_{k}}{\lambda_{1}^{k}} [/mm] gegen [mm] \alpha_{1}v_{1}, [/mm] also bis auf Normierung gegen den Eigenvektor [mm] v_{1}.
[/mm]
Stimmt das so? Danke! Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
So in etwa. Beachte aber, dass Dein xk nicht das aus der Aufganenstellung ist.
FRED
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