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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Di 10.10.2006 | | Autor: | dsan |
| Aufgabe | Sei f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung.
Sei R eine Äquivalenzrelation auf X, definiert durch x~x' [mm] \gdw [/mm] f(x)=f(x').
Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich R.
Definiere eine injektive Abbildung F:A [mm] \to [/mm] Y. |
Hallo,
1) Wie sehen die Elemente einer Äquivalenzklassen aus ?
Handelt es sich bei A um { [mm] (x,x')\in [/mm] R } oder hab ich da was falsch verstanden.
2) Wie kann denn so eine Abblidung aussehen ?
Kann man eine Abbildung F: [mm] \to [/mm] Y , (x,x') [mm] \mapsto [/mm] F(x,x'):= x definieren die dann injektiv wäre, da ja jedes Element in genau einer Äquivalenzklasse liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 10.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also Äquivalenzrelation R unterteilt X in seine Äquivalenzklassen, diese bilden ein Partition (also sind disjunkt und vereinigt ergeben sie ganz X).
Eine Äquivalenzklasse beschreibt man normalerweise mit [x] , wobei [mm] $x\in [/mm] [ x]$ der Representant für [x] heißt.
Also [x] meint nicht mehr nur den Punkt x aus X, sondern die ganze Menge der zu x äquivalenten Punkte aus X (sie sind natürlich auch untereinander äquivalent nicht nur zu x, deshalb ist die Wahl des Representanten irrelevant)
Bei deiner Aufgabe sind also alle Elemente aus X äquivalent, die das gleiche Bild haben, also sind die Äquivalenzklassen gerade die Urbilder für jedes y aus dem Bild(f) ..
ein kleines Beispiel:
[mm] X=\IR^2 [/mm] und [mm] Y=\IR [/mm] und [mm] $f(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
also für jeden zweidimensionalen Vektor wird dessen Betrag abgebildet.
Welche Mengen in X haben jetzt also das gleiche Bild?
Das sind gerade die (über-abzählbar vielen) Kreise um den Nullpunkt.
also können wir als Äquivalenzklassen zum Beispiel $[(0,r)]$ wählen und damit meinen wir jeweils den Kreis, der durch (0,r) geht und (0,0) als Mittelpunkt hat.
Was wäre jetzt eine injektive Abbildung auf der Menge dieser Kreise nach [mm] \IR [/mm] ?
> F(x,x'):= x (bzw : F([x]):=x )
das geht also nicht, denn das Bild von F soll ja in Y liegen, nicht in X...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 10.10.2006 | | Autor: | dsan |
Hi DaMenge,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Hab leider immer noch meine Schwierigkeiten :
Sei [mm] (x,y)\in [/mm] [x].
Ist F([x]):= [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] eine injektive Funktion ? Es gilt doch [mm] F([x])=F([x'])\Rightarrow [/mm] [x]=[x'].
Ist F nicht injektiv weil alle [mm] (x,y)\in [/mm] [x] das gleiche Bild unter f haben unter F ?
vorab vielen Dank
Grüsse
dsan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 10.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Ist F([x]):= [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm] eine injektive Funktion ?
ja genau, setze einfach F([x])=f(x) , also jede Klasse auf das Bild des Representanten, dann gilt für unterschiedliche Klassen [x] udn [x'] nämlich, dass F([x]) und F([x']) auch unterschiedlich sind, denn sonst müsste ja f(x)=f(x') sein ,was aber nicht geht, weil x und x' in unterschiedlichen Klassen waren..
nochmals F soll ja nur auf den Klassen definiert sein, deshalb muss man sich überlegen ob zwei unterschiedliche klassen auch ein unterschiedliches Bild haben...
in meinem Beispiel würde dann aber F([x,y])=f(x,y) da stehen, denn die Klassen sind ja auf [mm] \IR^2 [/mm] definiert...
(aber nicht zu sehr ans Beispiel denken, auch ruhig allgemein mit X und Y)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 11.10.2006 | | Autor: | dsan |
Hi DaMenge,
vielen Dank für Deine Antwort, habs jetzt endlich geschnallt.
Hätte da noch eine Frage zur Aufgabe :
Muss man ganz allgemein für die Abbildung [mm] f:X\to [/mm] Y, [mm] x\mapsto [/mm] f(x) setzen (ohne eine spezielle Abbildungsdefinition, bzw. Bsp.), und dann F([x]):=f(x), [mm] x\in [/mm] [x] definieren ?
viele Grüße
dsan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Do 12.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja genau - in der Aufgabe geht es ja um den ganz allgemeinen Fall - da ist kein beispiel gemeint (das war nur, damit du dir unter den Äquivalenzklassen mal was bildlich vorstellen kannst)
Also man muss dann eine F([x]):=f(x) setzen und dann noch schnell begründen, warum F dann injektiv ist (siehe meine letzte Antwort^^)
viele grüße
DaMenge
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