Arctan Beweis < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Ich hätte folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter weis...
Man beweise:
2 arctan(x) + [mm] arcsin(\bruch{ 2x}{1+x^2}) [/mm] = [mm] \pi [/mm] ; x > 1
Anleitung: Man diff erenziere die Gleichungen
hmm... |
Ok wie schon in der Angabe steht hätte ich abgeleitet
Also f(x) = 2 arctan(x) + [mm] arcsin(\bruch{ 2x}{1+x^2})
[/mm]
f'(x) [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2}) [/mm] + [mm] (\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} [/mm] ) [mm] (\bruch{2*(1+x^2)-4^2}{(1+x^2)^2})
[/mm]
//Multipliziere die rechte Seite aus
[mm] =2(\bruch{1}{1+x^2}) [/mm] + [mm] \bruch{-2x^2 +2}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)^2}
[/mm]
//Fasse alles zusammen
[mm] =\bruch{2\sqrt{1-x^2}(1+x^2) + (-2x^2 +2)}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)^2}
[/mm]
Nur wie mache ich jetzt weiter....
Danke euch :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffen!
Bei der äußeren Ableitung des [mm]\arcsin[/mm] muusst Du schon das jeweils vollständige Argument einsetzen:
[mm]\left[ \ \arcsin\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right) \ \right] ' \ = \ \bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}*\text{innere Ableitung}[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Steffen!
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> Bei der äußeren Ableitung des [mm]\arcsin[/mm] muusst Du schon das
> jeweils vollständige Argument einsetzen:
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> [mm]\left[ \ \arcsin\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right) \ \right] ' \ = \ \bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}*\text{innere Ableitung}[/mm]
Ach richtig....
Ok demnach würde ich zu diesem kommen
Würden diese Umformuungen erlaubt sein:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}- \wurzel{\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{x^2 -1}{x^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+1}{x^2-1}
[/mm]
Dann würde doch folgen:
f'(x) $ [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2}) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x^2+1}{x^2-1} (\bruch{2\cdot{}(1+x^2)-4^2}{(1+x^2)^2}) [/mm] $
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> Gruß
> Loddar
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffen!
> Würden diese Umformuungen erlaubt sein:
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> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}- \wurzel{\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, natürlich nicht.
Es gilt im allgemeinen: [mm]\wurzel{a\pm b} \ \red{\not=} \ \wurzel{a}\pm\wurzel{b}[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Steffen!
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> > Würden diese Umformuungen erlaubt sein:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}- \wurzel{\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm]
>
> Nein, natürlich nicht.
>
> Es gilt im allgemeinen: [mm]\wurzel{a\pm b} \ \red{\not=} \ \wurzel{a}\pm\wurzel{b}[/mm]
Habe ich mich schon fast gedacht....
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{(1+x^2)^2 -4x^2}{(1+x^2)^2}} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}{\wurzel{(1+x^2)^2}} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}{(1+x^2)} } [/mm] = [mm] \bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}
[/mm]
Bin ich überhaupt am richtigen Weg?
>
>
> Gruß
> Loddar
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Hallo Steffen2361,
> > Hallo Steffen!
> >
> >
> > > Würden diese Umformuungen erlaubt sein:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}- \wurzel{\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm]
> >
> > Nein, natürlich nicht.
> >
> > Es gilt im allgemeinen: [mm]\wurzel{a\pm b} \ \red{\not=} \ \wurzel{a}\pm\wurzel{b}[/mm]
>
>
> Habe ich mich schon fast gedacht....
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-\left(\bruch{2x}{1+x^2}\right)^2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{(1+x^2)^2 -4x^2}{(1+x^2)^2}} }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}{\wurzel{(1+x^2)^2}} }[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}{(1+x^2)} }[/mm] =
> [mm]\bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Bin ich überhaupt am richtigen Weg?
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>
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
>
Gruss
MathePower
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aber wie mache ich nun weiter...
f'(x) $ [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2}) [/mm] $ + $ $ [mm] \bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}} [/mm] $ $ ) $ [mm] (\bruch{2\cdot{}(1+x^2)-4^2}{(1+x^2)^2}) [/mm] $
= f'(x) $ [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2}) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{(1+x^2)(-2x^2+2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}(1+x^2)^2)} [/mm] $
f'(x)= [mm] \bruch{2(\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2})(1+x^2)+(1+x^2)(-2x^2+2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}(1+x^2)^2)}
[/mm]
hmmm... da muss es doch irgendeinen Trick geben oder?
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Hallo
f'(x) [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2})+\bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}*(\bruch{2*(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2})
[/mm]
kümmern wir uns um den Radikand
[mm] (1+x^2)^2 -4x^2=1+2x^2+x^4-4x^2=1-2x^2+x^4=(1-x^2)^2
[/mm]
kümmern wir uns um den Term
[mm] 2*(1+x^2)-4x^2=2+2x^2-4x^2=2-2x^2
[/mm]
f'(x) [mm] =2(\bruch{1}{1+x^2})+\bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1-x^2)^2}}*(\bruch{2-2x^2}{(1+x^2)^2})
[/mm]
f'(x) [mm] =\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{1+x^2}{1-x^2}*\bruch{2-2x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
f'(x) [mm] =\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{1+x^2}{1-x^2}*\bruch{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}
[/mm]
f'(x) [mm] =\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2*(1+x^2)}{(1+x^2)^2}
[/mm]
nun den 1. Bruch mit [mm] 1+x^2 [/mm] erweitern oder im 2. Bruch [mm] 1+x^2 [/mm] kürzen, dann hast du es fast geschafft
Steffi
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> Hallo
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> f'(x)
> [mm]=2(\bruch{1}{1+x^2})+\bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1+x^2)^2 -4x^2}}*(\bruch{2*(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2})[/mm]
>
> kümmern wir uns um den Radikand
>
> [mm](1+x^2)^2 -4x^2=1+2x^2+x^4-4x^2=1-2x^2+x^4=(1-x^2)^2[/mm]
>
> kümmern wir uns um den Term
>
> [mm]2*(1+x^2)-4x^2=2+2x^2-4x^2=2-2x^2[/mm]
>
> f'(x)
> [mm]=2(\bruch{1}{1+x^2})+\bruch{(1+x^2)}{\wurzel{(1-x^2)^2}}*(\bruch{2-2x^2}{(1+x^2)^2})[/mm]
>
> f'(x)
> [mm]=\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{1+x^2}{1-x^2}*\bruch{2-2x^2}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> f'(x)
> [mm]=\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{1+x^2}{1-x^2}*\bruch{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> f'(x) [mm]=\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2*(1+x^2)}{(1+x^2)^2}[/mm]
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> nun den 1. Bruch mit [mm]1+x^2[/mm] erweitern oder im 2. Bruch [mm]1+x^2[/mm]
> kürzen, dann hast du es fast geschafft
Ok Also im Prinzip muss ich immer die Ableitung bilden und dann so weit wie möglich vereinfachen?
f'(x) [mm]=\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2*(1+x^2)}{(1+x^2)^2}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2}{(1+x^2)} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1+x^2}
[/mm]
Muss ich dies nun wieder integrieren, um auf mein gesuchtes [mm] \pi [/mm] zu kommen?
Also
[mm] \integral{\bruch{4}{(1+x^2}) dx} [/mm]
Substituieren
u = [mm] 1+x^2
[/mm]
u' := [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x [mm] \rightarrow [/mm] dx= [mm] \bruch{dx}{2x}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] \integral{\bruch{4}{u} \bruch{du}{2x}} [/mm] = [mm] 2\integral{\bruch{1}{ux} du} [/mm] = [mm] 2\integral{u^{-1}x^{-1} du} [/mm]
Aber hier komme ich nicht weiter denn:
[mm] 2\integral{u^{-1}x^{-1} du} =2\bruch{u^{0}}{0}x^{-1}
[/mm]
Und [mm] \bruch{u^{0}}{0} [/mm] ist doch nicht möglich, da Division durch 0...
>
> Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffen!
Der Trick mit dem Ableiten war, dass auf der linken Seite der Gleichung 0 herauskommen sollte.
Gruß
Loddar
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> Hallo Steffen!
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>
> Der Trick mit dem Ableiten war, dass auf der linken Seite
> der Gleichung 0 herauskommen sollte.
>
f'(x) = $ [mm] \bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2}{(1+x^2)} [/mm] $
hmmmm....wie kann ich da auf 0 kommen?
>
> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 08.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Steffen!
> >
> >
> > Der Trick mit dem Ableiten war, dass auf der linken Seite
> > der Gleichung 0 herauskommen sollte.
> >
>
>
> f'(x) = [mm]\bruch{2}{1+x^2}+\bruch{2}{(1+x^2)}[/mm]
Ich hab mir nicht alles durchgelesen, aber es kommt heraus: f'(x)=0 für alle x>1.
Du hast Dich also gewaltig verrechnet.
FRED
>
> hmmmm....wie kann ich da auf 0 kommen?
>
>
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem Ergebnis ist im 2 ten summanden ein Vorzeichenfehler,
richtig ist
f'(x) = $ [mm] \bruch{2}{1+x^2}-\bruch{2}{(1+x^2)} [/mm] $
Was kannst du aus f'=0 für alle x schließen?
wie kommst du dann auf den Funktionswert?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 08.03.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo leduart, besagter Fehler, es steht "minus" stammt ja von mir, mir war gestern schon klar, es muß die Null stehen, ich habe meine Blätter von gestern noch, leider finde ich meinen Fehler nicht, wer kann in meiner vorherigen Antwort, dort steht ja dann [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm] die falsche Stelle zeigen, danke Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
die Wurzel ist das problem, [mm] (1-x^2)^2=(x^2-1)^2
[/mm]
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 08.03.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo leduart und danke man übersieht eben immer wieder solche mathematischen "Kleinigkeiten" Steffi
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> Hallo
> in deinem Ergebnis ist im 2 ten summanden ein
> Vorzeichenfehler,
> richtig ist
> f'(x) = [mm]\bruch{2}{1+x^2}-\bruch{2}{(1+x^2)}[/mm]
> Was kannst du aus f'=0 für alle x schließen?
Das gilt doch für das Konstanzkriterium, sprich f(x) ist konstant
f(x) = k für [mm] k\in \IR
[/mm]
> wie kommst du dann auf den Funktionswert?
Auf den Wert komme ich, wenn ich ein Wert x (x>1) einsetze.
x= 2
f(2)=2 arctan(2) + $ [mm] arcsin(\bruch{ 4}{5}) [/mm] $ = [mm] \pi
[/mm]
Stiummt das so?
Danke euch allen vielmals für die Hilfe :)
> Gruss leduart
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> Hallo, ok so, Steffi
Danke zusätzlich habe ich nun folgende Aufgabe:
2 arctan(x) - $ [mm] arcsin(\bruch{ 2x}{1+x^2}) [/mm] $ = $ 0 $ für |x| <1
Ich habe mir das einmal aufgezeichnet und es stimmt.
Dann sollte doch auch gelten:
2 arctan(x) $ $ = $ [mm] arcsin(\bruch{ 2x}{1+x^2}) [/mm] $ für |x| < 1
Dann dachte ich mir, ich vergleiche die Funktionen im Bereich [0,1[
arcsin(x) : [-1,1] -> [mm] [-\pi/2 [/mm] , [mm] \pi/2] [/mm]
in unserem Beispiel:
[mm] arcsin(\bruch{ 2x}{1+x^2}) [/mm] : [0,1[ -> [mm] [-\pi/2 [/mm] , [mm] \pi/2] [/mm]
2arctan(x) : [mm] \IR [/mm] -> [mm] ]-\pi, \pi[ [/mm]
Jetzt weis ich aber, dass der Tangens an der Stelle x=1 genau die Hälfte, sprich [mm] \pi/2 [/mm] ist.
in unserem Beispiel:
2arctan(x) : [0,1[ -> ]0, [mm] \pi/2[
[/mm]
Also sind Definitions und Wertebereich doch gleich
Darum dachte ich mir, ich setze einfach die 2 Grenzen ein und hoffe, dass diese auch gleich seinen.
2arctan(0) = 0 = [mm] arcsin(\bruch{ 0}{1}) [/mm] Passt
2arctan(1) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{ 2}{2}) [/mm] Passt
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowie du es machst kannst du auch zeigen, dass [mm] x^2-x=0 [/mm] für 0<x<1 denn der Wertebereich ist gleich und an den Grenzen 0 und 1 stimmt es auch
also wieder f' bilden,
Gruss leduart
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