Argument einer Komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Betrag und das Argument der Komplexen Zahl
[mm] $z=\left(\frac{1-3i}{i-1}-3i\right)^8$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wie berechne ich das Argument Richtig?
Lösungsweg ist: Erstmal den Teil in der Klammer zu vereinfachen,
[mm] $z=\left(\frac{-4-4i}{2}-\frac{6}{2}i\right)^8 [/mm] = [mm] (-2-2i)^8$
[/mm]
nun muss man in die Eulerform umwandeln [mm] $z=r\cdot e^{i\varphi}$
[/mm]
Dazu den Betrag $r= [mm] \left|z\right|=\sqrt{(-2)^2+ (-2)^2}=\sqrt{8}$ [/mm] bilden.
[mm] z^n=r^n\cdot e^{i n\cdot\varphi}
[/mm]
[mm] $\sqrt{8}^8=8^4=4096$
[/mm]
für das Argument rechne ich dann
[mm] $\tan\varphi=\frac{y}{x}$ [/mm] wobei $z=x+iy$
damit:
[mm] $\varphi=\arctan\frac{-2}{-2}=1=45^\circ$
[/mm]
sowohl x als auch y liegen in der Gaußschen Zahlenebene im 3. Quadranten. damit ist der Winkel [mm] $-135^\circ$
[/mm]
und hier komme ich nicht mehr weiter,
laut Wolfram Alpha erhalte ich als Ergebnis $z=4096$ was bedeutet das [mm] $e^{i\varphi}=1$ [/mm] sein muss.
![[]](/images/popup.gif) http://www3.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-3i%29%2F%28i-1%29-3i%29^8
wichtig ist mir eine Lösung die ohne Taschenrechner auskommt da ich keinen in der Klausur benutzen darf. die aufgaben sind auch so gestellt das man sie ohne TR lösen kann.
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den Betrag und das Argument der Komplexen
> Zahl
> [mm]z=\left(\frac{1-3i}{i-1}-3i\right)^8[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> wie berechne ich das Argument Richtig?
>
> Lösungsweg ist: Erstmal den Teil in der Klammer zu
> vereinfachen,
> [mm]z=\left(\frac{-4-4i}{2}-\frac{6}{2}i\right)^8 = (-2-2i)^8[/mm]
>
> nun muss man in die Eulerform umwandeln [mm]z=r\cdot e^{i\varphi}[/mm]
>
> Dazu den Betrag [mm]r= \left|z\right|=\sqrt{(-2)^2+ (-2)^2}=\sqrt{8}[/mm]
> bilden.
> [mm]z^n=r^n\cdot e^{i n\cdot\varphi}[/mm]
> [mm]\sqrt{8}^8=8^4=4096[/mm]
>
> für das Argument rechne ich dann
> [mm]\tan\varphi=\frac{y}{x}[/mm] wobei [mm]z=x+iy[/mm]
> damit:
> [mm]\varphi=\arctan\frac{-2}{-2}=1=45^\circ[/mm]
> sowohl x als auch y liegen in der Gaußschen Zahlenebene
> im 3. Quadranten. damit ist der Winkel [mm]-135^\circ[/mm]
>
> und hier komme ich nicht mehr weiter,
Dann ist ja [mm] z^8=8^4*e^{8*(-135°)*i}=8^4*e^0, [/mm] da 8*(-135°) ein Vielfaches von 360° ist.
> laut Wolfram Alpha erhalte ich als Ergebnis [mm]z=4096[/mm] was
> bedeutet das [mm]e^{i\varphi}=1[/mm] sein muss.
>
> http://www3.wolframalpha.com/input/?i=%28%281-3i%29%2F%28i-1%29-3i%29^8
> wichtig ist mir eine Lösung die ohne Taschenrechner
> auskommt da ich keinen in der Klausur benutzen darf. die
> aufgaben sind auch so gestellt das man sie ohne TR lösen
> kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Das geht doch viel einfacher:
$ z= = [mm] (-2-2i)^8 =2^8(1+i)^8$
[/mm]
Jetzt berechne mal [mm] (1+i)^2 [/mm] und damit [mm] (1+i)^8
[/mm]
FRED
|
|
|
|
