Arithmetische Folge < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 15.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Folge der Ziffernsummen einer arithmetischen Folge keine arithmetische Folge bildet. |
Hallo!
Ich muss diesen Beweis machen, weiß aber nicht genau wie das gehen soll. Ich habe meinen Professor gefragt, was überhaupt mit der Ziffernsumme gemeint ist, dann hat er mir ein Bsp. aufgeschrieben:
Erste Folge: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27...
Folge der Ziffernsummen: 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1 3 5 7 9...
Nun, mir ist schon klar, dass die zweite Folge natürlich keine arithmetische Folge sein kann, da ja die Abstände zwischen den Folgengliedern nicht konstant ist. Und auch für alle anderen Beispiele die ich so durchprobiert habe gilt das, aber ich weiß jetzt nicht, wie ich das verallgemeinern kann. Mir der Auflistung von Beispielen wird sich mein Prof nicht zufrieden geben... :-(
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Danke 
lg, ivan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Di 15.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ich hoffe mir kann jemand helfen!
so eine AUfgabe hatten wir neulich schon einmal. Der betreffende Fragesteller hatte seinen Prof nicht gefragt, was mit Ziffernsumme gemeint ist und so haben wir (mich eingeschlossen) die Aufgabe damals falsch verstanden.
Von daher meine Bitte: welche mathematischen Werkzeuge stehen zur Verfügung/in welchem Kontext steht die Aufgabe, etc. Das ist nämlich im Prinzip trivial: es geht einfach um die Quersummen der Folgenglieder. Und das die in diesem Fall keine arithmetische Folge bilden können, ist sehr trivial. Die Frage, wie genau das hier begründet werden soll, musst du beantworten, indem du uns bspw. angibst, ím Rahmen was für einer Veranstaltung die Aufgabe gestellt wurde. Sicherlich kann man das mit zahlentheoretischen Methoden nachrechnen, aber ist das überhaupt erforderlich?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Di 15.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Na ja, in welchem Kontext die Frage behandelt werden soll ist mir selbst nicht ganz klar. Ich studiere Lehramt Mathematik und die Aufgabe war in einem Fragenkatalog mit Beispielfragen für mein Vordiplom. Das heißt, der Beweis sollte auch für Schüler durchführbar sein. Mit welchen Mitteln weiß ich auch nicht... Mein Professor hat gemeint, ich muss das mit dem Übertrag "in den Griff kriegen"....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Di 15.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ich weiß nur, dass mein Professor sicher nicht zufrieden ist, wenn ich das Ganze nur an einem Beispiel erkläre...
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Hallo,
mache dir einfach klar, was beim schriftlichen Addieren alles so passieren kann, wenn es zu einem Übertag kommt. Und auch, was nicht passieren kann.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 15.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Also, ich hab folgendes festgestellt: Wenn [mm] d_{1} [/mm] der Abstand zwischen den Folgengliedern der alten Folge ist, dann ist der Abstand zwischen den Folgengliedern der neuen Folge manchmal [mm] d_{1} [/mm] und manchmal [mm] -9+d_{1}. [/mm] Wie kann ich die Fälle unterscheiden?
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Hallo,
> Also, ich hab folgendes festgestellt: Wenn [mm]d_{1}[/mm] der
> Abstand zwischen den Folgengliedern der alten Folge ist,
> dann ist der Abstand zwischen den Folgengliedern der neuen
> Folge manchmal [mm]d_{1}[/mm] und manchmal [mm]-9+d_{1}.[/mm] Wie kann ich
> die Fälle unterscheiden?
Ich weiß gar nicht, ob du sie unterscheiden musst. Es reicht zu begründen, dass der Fall [mm] d_1-9 [/mm] zwangsläufig vorkommt für [mm] d_1\ne0*.
[/mm]
Das hat etwas mit dem Dezimalsystem zu tun. Was passiert bei einem Übertrag genau? Kommt es für [mm] d\ne0 [/mm] zwangsläufig zu einem ÜBertrag?
*Anmerkung (mit schönen Grüßen an deinen Prof  ):
An diesem Punkt ist die Aufgabe nachlässig gestellt. Die Folge
[mm] a_n=157
[/mm]
ist konstant und damit arithmetisch mit d=0. Die Folge der Quersummen ist
[mm] Q_n=13
[/mm]
und damit ebenfalls arithmetisch. d=0 hätte also ausgeschlossen werden müssen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 15.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ha, witzig, das muss ich mir gleich mal aufschreiben...
Du hast geschrieben ich soll mir überlegen ob es zwangsläufig zu einem Übertrag kommt. Ich sag jetzt mal, ja. Aber begründen kann ich das nicht.
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Hallo,
für d>0 ist irgendwann der Zahlenraum, der mit einer festen Anzahl Stellen zur Verfügung steht, erschöpft. Dann kommt es zwangsläufig zu einem Übertrag. Dabei wird ja im Prinzip 10 abgezogen und 1 addiert, so kommt es in der Quersumme zu den -9.
Gesondert betrachten könntest du allerdinngs noch den Fall d=9 und dir überlegen, weshalb auch hier die Quersummen keinesfalls eine arithmetische Folge bilden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 16.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Na ja, ich denke, für [mm] d_{1}=9 [/mm] ist die Folge der Quersummen schon eine arithmetische Folge, halt mit d=0 oder? Also eine konstante Folge.
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Hallo,
> Na ja, ich denke, für [mm]d_{1}=9[/mm] ist die Folge der Quersummen
> schon eine arithmetische Folge, halt mit d=0 oder? Also
> eine konstante Folge.
das ist ein Missverständnis. Ich meinte den Fall d=9 mit irgendeinem Anfangsglied, das auch durch 9 teilbar ist, am besten [mm] a_n=0. [/mm] Weshalb kommt es auch hier irgendwann zu einer Änderung der Quersumme?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 16.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Hallo!
Das mit dem d=9 ist mir jetzt klar. Hab heute auch mit meinem Professor darüber gesprochen.
Aber mit meinem Lösungsansatz war er nicht besonders glücklich, er hat gesagt das wäre ihm "zu allgemein und zu wenig schlüssig". Er hat mir dann an einem Beispiel erklärt wie ich das machen soll. Meine Aufgabe wärs dann nur noch das Beispiel zu verallgemeinern. Nur hab ich jetzt das Problem, dass ich das was er mir da erzählt hat nicht so wirklcih kapiert habe. Ich hab mich auch nicht getraut nochmal genauer nachzufragen, da er ziemlich nervös wurde.... Ich probier jetzt einfach mal zu reproduzieren, was er mir da erzählt hat:
Sei [mm] a_{0}=12 [/mm] und d=2.
Wenn ich für n eine 10er-Potenz nehme, mit mehr Stellen als [mm] a_{0}, [/mm] z.B. 100, dann kann ich [mm] a_{100} [/mm] berechnen als [mm] a_{0}+100*2=212. [/mm] Ziffernsumme ist 5. Das kann ich auch für 1000 machen und krieg dann [mm] a_{1000}=2012 [/mm] mit Ziffernsumme ebenfalls 5. Dann krieg ich für alle 10er-Potenzen Ziffernsumme 5.
wenn ich das dann nochmal mache mit einer noch höheren Potenz, dann krieg ich wieder ein neues Folgenglied, z.B. [mm] a_{1000}+10000*2=22012, [/mm] aber jetzt mit Ziffernsumme 7.
Jetzt hab ich nicht mehr die gleiche Ziffernsumme, deshalb ist der Abstand nicht konstant.
Sowas in der Art hat mir mein Prof heut gesagt. Wie gesagt, habs nicht so ganz kapiert, deshalb weiß ich auch nicht ob das was ich gerade aufgeschrieben habe Sinn macht....
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Hallo,
ganz ehrlich, die Argumentation deines Profs leuchtet miur auich nicht ein. Gehen wir mal davon aus, dass du sie nicht komplett wiedergegeben hast, dann soll sie wohl aufzeigen, dass es im Verlauf einer solchen Folge immer wieder Folgenglieder mit gleicher Quersumme gibt, während andere Glieder, die dazwischen liegen, eine andere Quewrsumme aufweisen. Das ist natürlcih völlig banal, nur: er hat es dir auch wieder nur an einem Beispiel erklärt, welches man sicherlich verallgemeinern kann. Ich muss da erst noch drüber nachdenken, aber es erscheint mir keinesfalls einfacher oder irgendwie eleganter zu sein als der Weg, den wir uns gemeinsam ausgedacht haben.
Vielleicht war er mit deiner Argumentation auch nur unglücklich, weil du sie nicht schlüssig vorgetragen hast?
Wenn du magst, können wir ja beide Varianten gemeinsam, oder auch gerne mit Beteiligung anderer User, zu Ende besprechen, so wie es halt die Zeit erlaubt. Melde dich dazu gerne nochmals.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mi 16.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ich fand das was er mir da erzählt hat auch irgendwie komisch. War schon einleuchtend mit den verschiedenen Quersummen, aber ich hab halt nicht kapiert, was das jetzt mit dem Beweis zu tun haben soll und wie man das dann verallgemeinern soll bzw. was genau ich daraus schließe.
Ich wär jedenfalls sehr froh wenn du oder sonst jemand mir noch weiterhelfen könnte. Ich selbst werde die Aufgabe wohl niemals zu seiner Zufriedenheit lösen können...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 17.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ach, ich glaub jetzt hab ich kapiert, was mir mein Prof mit dem 100sten und 1000sten Folgenglied sagen wollte!
Die haben ja immer die gleiche Quersumme, die dann als Folgenglied in der "Quersummenfolge" auftritt. Und wenn immer wieder mal das gleiche Folgenglied auftritt kann ja die Folge nicht arithmetisch sein. Stimmt doch so oder?
Wenn ja, wie kann ich das verallgemeinern, d.h. so hinschreiben dass es für jede beliebige Folge gilt?
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Hallo,
das ist doch ganz einfach. Dein [mm] a_0 [/mm] hat eine bestimmte Anzahl von Stellen. Jetzt addiere [mm] 10^k*d [/mm] dazu mit einem k, welches größer gleich der Anzahl Stellen von [mm] a_0 [/mm] ist. Du erhältst eine bestimmte Quersumme. Nun addiere zu [mm] a_0 [/mm] etwa [mm] 10^{k+1}*d [/mm] hinzu. Es wird also eine Zahl mit der gleichen Ziffernfolge hinzuaddiert, es kommt nur eine zusätzliche 0 in die Dezimaldarstellung.
Fazit: es gibt für jede ganzahlige arithmetische Folge mit [mm] d\ne{0} [/mm] Glieder mit gleicher Quersumme. Da aber andererseits nicht alle Glieder die gleiche Quersumme besitzen können (sonst wäre die Folge konstant, was wir ja ausgeschlossen haben), folgt die Behauptung.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 18.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ok ,super.
Danke für die Hilfe!
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