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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 14.05.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | [mm] A_j=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_j}{n-1}
[/mm]
[mm] A_{ij}=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_i-x_j}{n-2}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j [/mm] |
ich habe jetzt ewig gerechnet und komm immer auf dasselbe ergebnis
[mm] \summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j+\bruch{A_j-x_j}{n-2}
[/mm]
Irgendetwas mach ich falsch und wäre sehr dankbar für Hilfe....
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Hallo eps,
> [mm]A_j=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_j}{n-1}[/mm]
> [mm]A_{ij}=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_i-x_j}{n-2}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j[/mm]
> ich habe jetzt ewig
> gerechnet und komm immer auf dasselbe ergebnis
> [mm]\summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j+\bruch{A_j-x_j}{n-2}[/mm]
Und wie bist Du darauf gekommen? Ich kann das nicht nachvollziehen.
Betrachte doch mal jedes [mm] x_k [/mm] einzeln, wobei sicher k=j und [mm] k\not=j [/mm] unterschieden werden müssen. Besser: ein beliebiges [mm] x_k [/mm] mit [mm] k\not=j [/mm] betrachten und [mm] x_j [/mm] als Einzelfall.
> Irgendetwas mach ich falsch und wäre sehr dankbar für
> Hilfe....
Das sieht zwar so aus, aber so ganz nebenbei scheint mir auch das, was Du da zeigen willst/sollst, verkehrt zu sein.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 14.05.2012 | | Autor: | eps |
nein, also richtig ist es auf jeden fall - ich habe es schonmal nachvollzogen, aber komm nicht mehr auf die lösung....
hier meine rechnung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} A_{ij} [/mm]
= [mm] \bruch{x_2+\cdots+x_n-x_j}{n-2}+\bruch{x_1+x_3+\cdots+x_n-x_j}{n-2}+\cdots\bruch{x_1+\cdots+x_{n-1}-x_j}{n-2} [/mm]
[mm] =\bruch{(n-1)(x_1+\cdots+x_n-x_j)-x_j}{n-2} [/mm]
[mm] =\bruch{(n-1)^2 A_j-x_j}{n-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n^2-2n+1)A_j-x_j}{n-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n-2)A_j+A_j-x_j}{n-2}
[/mm]
[mm] =nA_j+\bruch{A_j-x_j}{n-2}
[/mm]
aber da scheint irgenetwas falsch zu sein, denn das ergebnis oben stimmt auf jeden fall....?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> nein, also richtig ist es auf jeden fall - ich habe es
> schonmal nachvollzogen, aber komm nicht mehr auf die
> lösung....
> hier meine rechnung:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} A_{ij}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{x_2+\cdots+x_n-x_j}{n-2}+\bruch{x_1+x_3+\cdots+x_n-x_j}{n-2}+\cdots\bruch{x_1+\cdots+x_{n-1}-x_j}{n-2}[/mm]
> [mm]=\bruch{(n-1)(x_1+\cdots+x_n-x_j)-x_j}{n-2}[/mm]
Wie Du auf das "=" kommst ist mir schleierhaft.
FRED
> [mm]=\bruch{(n-1)^2 A_j-x_j}{n-2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n^2-2n+1)A_j-x_j}{n-2}[/mm]
> [mm]=\bruch{n(n-2)A_j+A_j-x_j}{n-2}[/mm]
> [mm]=nA_j+\bruch{A_j-x_j}{n-2}[/mm]
>
> aber da scheint irgenetwas falsch zu sein, denn das
> ergebnis oben stimmt auf jeden fall....?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mo 14.05.2012 | | Autor: | eps |
hmm... ja ich sag ja, irgendwo mach ich einen fehler, aber wo und warum?
vielleicht kann jemand die gleichheit [mm] \summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j [/mm] nachvollziehen???
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Hiho,
fangen wir doch einfach mal an den Kram umzuschreiben:
[mm] $\summe_{i=1}^{n} A_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{x_1+\cdots+x_n-x_i-x_j}{n-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2}\left( \summe_{i=1}^{n} (x_1+\cdots+x_n-x_i-x_j)\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2}\left(\summe_{i=1}^{n} (x_1+\cdots+x_n) - \summe_{i=1}^{n} x_i - \summe_{i=1}^{n} x_j\right)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{n-2}\left(n*(x_1+\cdots+x_n) - (x_1+\cdots+x_n) - n*x_j\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2}\left((n-1)(x_1+\cdots+x_n) - n*x_j\right)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{n-2}\left((n-1)(x_1+\cdots+x_n - x_j) - x_j\right) [/mm]
Andererseits gilt:
[mm] $n*A_j [/mm] = [mm] \bruch{n}{n-1}\left(x_1+\cdots+x_n - x_j\right)$
[/mm]
Gleichsetzen und mit $(n-2)*(n-1)$ Multiplizieren liefert:
[mm] $(n-1)\left((n-1)(x_1+\cdots+x_n - x_j) - x_j\right) [/mm] = [mm] n(n+2)\left(x_1+\cdots+x_n - x_j\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw\; (n^2 [/mm] - 2n + [mm] 1)(x_1+\cdots+x_n [/mm] - [mm] x_j) [/mm] - [mm] (n-1)x_j [/mm] = [mm] (n^2 [/mm] + [mm] 2n)\left(x_1+\cdots+x_n - x_j\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw\; [/mm] (-4n [mm] +1)(x_1+\cdots+x_n [/mm] - [mm] x_j) [/mm] = [mm] (n-1)x_j$
[/mm]
Nunja, dass das für beliebige [mm] $n,x_1,\ldots,x_n,x_j$ [/mm] nicht gelten kann, ist irgendwie klar....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 14.05.2012 | | Autor: | eps |
Ich habe etwas übersehen... ich rechne auch gleich nochmal nach...:
[mm] A_{ii}=A_i [/mm] und A{ij} wie oben für [mm] i\not=j
[/mm]
vielleicht ändert das alles
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A_j=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_j}{n-1}[/mm]
> [mm]A_{ij}=\bruch{x_1+\cdots+x_n-x_i-x_j}{n-2}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j[/mm]
Wenn ich mich nicht vertan habe, so ist obige Aussage für n=3 und [mm] x_1=x_2=0, x_3=1 [/mm] falsch.
FRED
> ich habe jetzt ewig
> gerechnet und komm immer auf dasselbe ergebnis
> [mm]\summe_{i=1}^{n} A_{ij}=nA_j+\bruch{A_j-x_j}{n-2}[/mm]
>
> Irgendetwas mach ich falsch und wäre sehr dankbar für
> Hilfe....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 14.05.2012 | | Autor: | eps |
Da ich eine sache übersehen habe, ist mir jetzt alles klar, denn [mm] A_{jj}:=A_j
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^n A_{ij}=\summe_{i=1}^{j-1} A_{ij} [/mm] + [mm] A_j [/mm] + [mm] \summe_{i=j+1}^n A_{ij} [/mm] = [mm] \bruch{(n-2)(x_1+\cdots+x_{j-1}+x_{j+1}+\cdots+x_n)}{n-2}+A_j=(n-1)A_j+A_j=nA_j
[/mm]
danke für die hilfe...
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