Astroide Polarkoordinaten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Zim |
Hallo allerseits,
Das Bereichsintegral zur Flächenberechnung der Astroide müsste doch folgendermaßen lauten:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{(1-x^{2/3})^{3/2}}{ dy}dx}
[/mm]
Wie stell ich das jetzt in Polarkoordinaten dar?
Ich weiß zwar, dass ich nach der Transformationsformel irgendetwas folgender Art erhalten sollte:
[mm] \integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{b}{ r d\phi}dr}
[/mm]
Jedoch hab ich nicht die geringste Ahnung, wie ich die Grenzen a und b bestimmen kann.
Falls mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!
Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.org/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=156145&start=0&lps=1146050
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Hallo Zim,
> Hallo allerseits,
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> Das Bereichsintegral zur Flächenberechnung der Astroide
> müsste doch folgendermaßen lauten:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{(1-x^{2/3})^{3/2}}{ dy}dx}[/mm]
>
> Wie stell ich das jetzt in Polarkoordinaten dar?
Dazu wählstt Du die Paramterisierung:
[mm]x=r*\cos^{3}\left(t\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin^{3}\left(t\right)[/mm]
>
> Ich weiß zwar, dass ich nach der Transformationsformel
> irgendetwas folgender Art erhalten sollte:
>
> [mm]\integral_{0}^{a}{\integral_{0}^{b}{ r d\phi}dr}[/mm]
>
> Jedoch hab ich nicht die geringste Ahnung, wie ich die
> Grenzen a und b bestimmen kann.
>
> Falls mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!
>
> Grüße
>
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://matheplanet.org/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=156145&start=0&lps=1146050
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Zim |
Hallo MathePower,
Danke erst mal für die schnelle Antwort!
Mir ist nicht klar, was ich mir der Parametrisierung jetzt Anfange...
Und was ich mit den Grenzen anfangen soll.
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Hallo Zim,
> Hallo MathePower,
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> Danke erst mal für die schnelle Antwort!
>
>
> Mir ist nicht klar, was ich mir der Parametrisierung jetzt
> Anfange...
> Und was ich mit den Grenzen anfangen soll.
>
Mit der Parametrisierung ändern sich auch die Grenzen.
Desweiteren mußt Du die ![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminante
der Parametrisierung berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:08 So 19.06.2011 | | Autor: | Zim |
In meinem ersten post hab ich die Funktionaldeterminante schon berechnet, müsste r sein.
Dass man die grenzen anpassen muss, hab ich auch vermutet.
Meine frage ist nur: Wie?
Ich weiß einfach nicht WIE ich die Grenzen anpassen muss...
Siehe meine erste Frage
Was muss ich für die Integralgrenzen a und b wählen und wieso??
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> In meinem ersten post hab ich die Funktionaldeterminante
> schon berechnet ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") , müsste r sein.
> Dass man die grenzen anpassen muss, hab ich auch vermutet.
>
> Meine frage ist nur: Wie?
>
>
> Ich weiß einfach nicht WIE ich die Grenzen anpassen
> muss...
>
> Siehe meine erste Frage
>
> Was muss ich für die Integralgrenzen a und b wählen und
> wieso??
Hallo Zim,
damit das Ganze für dich auch wirklich nützlich ist,
solltest du zuerst verstehen, wie denn eine Kurven-
parametrisierung überhaupt "funktioniert" und
wie man im vorliegenden Fall von der rechtwinkligen
zur Polardarstellung kommt (oder umgekehrt).
Betrachte zum Vergleich auch die Parametrisierung
des Einheitskreises. Welches Intervall muss dort
(und dann bei der Astroide) der Parameter t durch-
laufen, damit der Kurvenpunkt die Kurve einmal
vollständig durchläuft ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 19.06.2011 | | Autor: | Zim |
Hallo Al-Chwarizmi,
Also für den Flächeninhalt des Einheitskreises in kart. Koordinaten würde ich folgendes wählen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}{ dy} dx}
[/mm]
in Polarkoordinaten:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r d\Phi} dr}
[/mm]
der erste Bereich [0,1] weil der Radius ja 1 ist.
der zweite Bereich, weil ich ja den RKeis vollständig durchlaufen möchte.
der Integrand ergibt sich aus der Transformationsformel (Funktionaldeterminante)
Wenn ich bei der Astroide gleich vorgehe, bekomm ich ziemlich genau das selbe, was ja nicht sein kann.
die gegebene Astroide hat ja "Radius" 1, also müsste der erste Bereich ja auch zwischen 0 und 1 liegen.
Und beim zweiten Bereich könnte man ja auch gleich argumentieren wie beim Einheitskreis.
ich frag mich: Wo fließt die Form der Astroide mit ein.
Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir das jemand einfach verraten könnte.
ich häng seit Tagen bei dem Problem fest :(
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Also für den Flächeninhalt des Einheitskreises in kart.
> Koordinaten würde ich folgendes wählen:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-x^2}}^{\wurzel{1-x^2}}{ dy} dx}[/mm]
>
> in Polarkoordinaten:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{2\pi}{r d\Phi} dr}[/mm]
>
> der erste Bereich [0,1] weil der Radius ja 1 ist.
> der zweite Bereich, weil ich ja den RKeis vollständig
> durchlaufen möchte.
> der Integrand ergibt sich aus der Transformationsformel
> (Funktionaldeterminante)
>
> Wenn ich bei der Astroide gleich vorgehe, bekomm ich
> ziemlich genau das selbe, was ja nicht sein kann.
>
> die gegebene Astroide hat ja "Radius" 1, also müsste der
> erste Bereich ja auch zwischen 0 und 1 liegen.
> Und beim zweiten Bereich könnte man ja auch gleich
> argumentieren wie beim Einheitskreis.
>
> ich frag mich: Wo fließt die Form der Astroide mit ein.
>
> Ich wäre sehr sehr dankbar, wenn mir das jemand einfach
> verraten könnte.
> ich häng seit Tagen bei dem Problem fest :(
Hallo Zim,
für die Astroide hast du ja vermutlich die Gleichung
[mm] $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=1$
[/mm]
oder
[mm] $\sqrt[3]{|x|}^{\,2}+\sqrt[3]{|y|}^{\,2}=1$
[/mm]
Durch Analogie zur Gleichung (Pythagoras !)
[mm] cos^2(t)+sin^2(t)=1
[/mm]
kann man es mit der Substitution [mm] x=(cos(t))^3 [/mm] und
[mm] y=(sin(t))^3 [/mm] versuchen. Versuche doch zuerst mal,
nachzuvollziehen, dass diese Parametrisierung genau
die gewünschte Sternkurve liefert, wenn du t von 0
bis [mm] 2\,\pi [/mm] laufen lässt. Du könntest so vorgehen:
Zeichne einen Einheitskreis (Vorschlag: Radius = 1dm
= 10 cm). Wähle dann beliebige Punkte P(x,y) auf der
Kreislinie, lies die Koordinaten ab und berechne mittels
TR zu jedem Punkt P(x,y) den Punkt [mm] P^{\ast}=(x^3,y^3)
[/mm]
und zeichne ihn ein. Diese "Stern-Punkte" ergeben
dann in ihrer Gesamtheit die Sternkurve.
Beachte dann, dass die so gewonnene Parametrisierung
der Astroide keine Polardarstellung ist !
(der zum Parameterwert t berechnete Punkt [mm] P^{\ast}
[/mm]
hat nicht den Polarwinkel t vom Kreispunkt P)
Für die Flächenberechnung brauchst du also keine
Formel aus dem Thema "Polarkoordinaten".
Wegen der Symmetrie kann man natürlich zuerst ein
Viertel des Flächeninhalts berechnen, indem man nur
von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] integriert, zum Beispiel so:
[mm] $\frac{A}{4}\ [/mm] =\ [mm] \left|\ \integral_{t=0 }^{\pi/2}y(t)\,dx\ \right|$
[/mm]
Dabei muss jetzt natürlich noch y(t) eingesetzt und
das Differential dx transformiert werden.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 19.06.2011 | | Autor: | Zim |
Danke für die ausführliche Antwort!
Mir is das leider immer noch nicht ganz klar, aber ich muss mir das einfach nochmal in Ruhe durch überlegen.
Ich dachte es gibt da eine einfache Möglichkeit, direkt und einfach (quasi durch hinschauen) zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen nach belieben zu wechseln.
Aber es scheint ja doch recht kompliziert und umständlich zu sein.
Danke jedenfalls!
Evtl. muss ich halt nochmal bissl was nachfragen :)
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> Ich dachte es gibt da eine einfache Möglichkeit, direkt
> und einfach (quasi durch hinschauen) zwischen den
> verschiedenen Koordinatensystemen nach belieben zu
> wechseln.
Klar ist doch aber jedenfalls, dass du die Gleichung
der Randkurve irgendwie in die Rechnung einbringen
musst, und dies geschieht eben nicht einfach durch
"hinschauen" ...
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