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Hallo zusammen.
Ich habe ein Problem mit folgenden Definitionen!!!
1. Eine senkrechte Asymptote ist die Nullstelle des Nenners.
2. Ist die höchste im Nenner vorkommende Potenz von x größer als die höchste im Zähler vorkommende Potenz, gibt es eine waagerechte Asymptote. Selbiges gilt, wenn die höchtse Potenz in Nenner und Zähler gleich sind. Man beweist dies indem man die Funktion mit der höchsten Potenz kürzt. Bzw. erst Faktorisiert, dann kürzt.
3. Ist die höchste im Nenner vorkommende Potenz von x um 1 kleiner als die höchste im Zähler vorkommende Potenz, gibt es eine schiefe Asymptote. Man beweist dies durch Polynomdivision. Bzw. erst Faktorisieren, kürzen dann polynomdivision.
Zunächst hätte ich gern gewusst, ob diese definitionen überhaupt formal richtig sind???
Dann habe ich ein Problem mit folgenden Definitionen:
Zu Def.2: Dann müsste dies ja z.B. für die Aufgabe [mm] \bruch{x^3-3x}{x^2-1}
[/mm]
bedeuten, dass es sich um eine waagerechte Asymptote handelt. Allerdings ist +1 und -1 Nennernullstelle der Funktion und somit senkrechte Asymptote.
Worauf muss ich also bei der Prüfung von Asymptoten insbesondere achten.
Dann habe ich nur noch ein kleines Problem: Mein Freund sagt, dass die x- Achse Asymptote für [mm] x\to\pm\infty [/mm] ist. Wie bekomme ich das wiederum raus???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 09.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominic!
Zum einen musst Du bedenken, dass eine Funktion auch mehrere Asymptoten haben kann. Du vermischst hier etwas die (senkrechten) Asymptoten an den sogenannten "Polstellen" sowie die Asymptoten für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte; sprich für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .
> 1. Eine senkrechte Asymptote ist die Nullstelle des Nenners.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ... wenn es nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist!
> 2. Ist die höchste im Nenner vorkommende Potenz von x
> größer als die höchste im Zähler vorkommende Potenz, gibt
> es eine waagerechte Asymptote. Selbiges gilt, wenn die
> höchtse Potenz in Nenner und Zähler gleich sind. Man
> beweist dies indem man die Funktion mit der höchsten Potenz
> kürzt. Bzw. erst Faktorisiert, dann kürzt.
Hierbei handelt es sich um Asymptoten für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .
> 3. Ist die höchste im Nenner vorkommende Potenz von x um 1
> kleiner als die höchste im Zähler vorkommende Potenz, gibt
> es eine schiefe Asymptote. Man beweist dies durch
> Polynomdivision. Bzw. erst Faktorisieren, kürzen dann
> polynomdivision.
Auch hierbei handelt es sich um Asymptoten für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .
> Dann habe ich ein Problem mit folgenden Definitionen:
> Zu Def.2: Dann müsste dies ja z.B. für die Aufgabe
> [mm]\bruch{x^3-3x}{x^2-1}[/mm]
> bedeuten, dass es sich um eine waagerechte Asymptote
> handelt. Allerdings ist +1 und -1 Nennernullstelle der
> Funktion und somit senkrechte Asymptote.
Siehe oben! Es handelt sich hierbei im insgesamt 2 senkrechte Asymptoten an den Stellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ .
Gemäß Definition 3 haben wir zudem für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] eine schiefe Asymptote.
> Dann habe ich nur noch ein kleines Problem: Mein Freund
> sagt, dass die x- Achse Asymptote für [mm]x\to\pm\infty[/mm] ist.
> Wie bekomme ich das wiederum raus???
Die x-Achse ist Asymptote eine Funktion $f(x)_$ für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] , wenn gilt:
[mm] $$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
Dies ist der Fall, wenn der Nennergrad (echt) größer ist als der Zählergrad.
Gruß
Loddar
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Super dankeschön für die klasse Antwort.
Gruß Dominic
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