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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 06.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Hey,
f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bestimme die Asymptoten.
ps: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich sie rechnerisch ermitteln kann. Zeichnerisch ist das gar kein Problem.
Vertikale Asymptote:
Wenn man z.B den Graphen f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] hat. Dann muss ich mir doch ersteinmal ueberlegen, was die Asymptote ist, was in diesem Fall ja x=0 ist. Wenn ich dies aber nur beweisen will, muss ich dann zeigen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow + \infty} \bruch{1}{x}=0+ [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} \bruch{1}{x}=0- [/mm] ist, oder, was meiner Meinung nach das gleiche ist, f(0+)=+ [mm] \infty [/mm] und f(0-)=- [mm] \infty [/mm] ist. Und hier kommt mein eigentliches Problem, ich versteh das mit dem Einseitigen Grentwert nicht so ganz, wie genau kann ich mir das vorstellen...
Wenn aber nun gezeigt habe, dass f(0+)=+ [mm] \infty [/mm] und f(0-)=- [mm] \infty [/mm] ist, folgt dann daraus, dass x=0 meine Asymptote ist...
Horizontale Asymptote:
Bei f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist die Asymptote y=0. Aber hier weiß ich leider nicht, wie ich das zeigen soll. Kann mir da vielleicht jemand einen Typ geben.
Und dann hätte ich noch eine generelle Frage:
Es gilt: y=ax + b sei eine Asymptote in infty vom Graph(f)
i) [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{x} [/mm] = a
ii) [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x) - ax) = b
wenn ich dies nun auf meinen Graphen von oben anwende, dann wäre das doch bei
i) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{x}=1, [/mm] aber das stimmt doch nicht, da müsste doch 0 rauskommen.
ii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = 0 und hier wäre es ja richtig.
Und dann noch eine letzte Frage: auf welche Asymptote bezieht sich die Gleichung. Auf die horizontale oder die vertikale.
Es wäre echt super nett wenn mir einer helfen könnte.
glg penguin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 06.04.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> Vertikale Asymptote:
>
> Wenn man z.B den Graphen f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] hat. Dann muss
> ich mir doch ersteinmal ueberlegen, was die Asymptote ist,
> was in diesem Fall ja x=0 ist.
Das ist eine ganzrationale Funktion, dh. um vertikale Asymptoten (bzw. Polstellen) zu bestimmen musst du den Nenner der Funktion Null setzen. Hier also [mm] x_p=0[/mm]. Damit ist diese Senkrechte ein Pol.
> Wenn ich dies aber nur
> beweisen will, muss ich dann zeigen, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow + \infty} \bruch{1}{x}=0+[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty} \bruch{1}{x}=0-[/mm] ist, oder,
> was meiner Meinung nach das gleiche ist, f(0+)=+ [mm]\infty[/mm] und
> f(0-)=- [mm]\infty[/mm] ist. Und hier kommt mein eigentliches
> Problem, ich versteh das mit dem Einseitigen Grentwert
> nicht so ganz, wie genau kann ich mir das vorstellen...
> Wenn aber nun gezeigt habe, dass f(0+)=+ [mm]\infty[/mm] und
> f(0-)=- [mm]\infty[/mm] ist, folgt dann daraus, dass x=0 meine
> Asymptote ist...
Du hast gezeigt wie sich die Funktion am Pol verhält. Näherst du dich von links, dh. von den negativen x-Werten, dann ist auch f(x) negativ. Z.B. ist für x=-0,01 f(x)=-100. Näherst du dich aber von rechts, also von den positiven x-Werten, ist auch f(x) positiv (z.B. x=+0,01 f(x)=+100).
>
> Horizontale Asymptote:
> Bei f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist die Asymptote y=0. Aber hier
> weiß ich leider nicht, wie ich das zeigen soll. Kann mir
> da vielleicht jemand einen Typ geben.
Bilde folgenden Grenzwert: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x}) [/mm]. Dann hast du die Asymptote.
>
> Und dann hätte ich noch eine generelle Frage:
> Es gilt: y=ax + b sei eine Asymptote in infty vom
> Graph(f)
> i) [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)}{x}[/mm] = a
> ii) [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (f(x) - ax) = b
>
> wenn ich dies nun auf meinen Graphen von oben anwende, dann
> wäre das doch bei
>
> i) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{x}=1,[/mm]
> aber das stimmt doch nicht, da müsste doch 0 rauskommen.
Fehler! [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{x}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x^2}=0 [/mm]
>
> ii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{x})[/mm] = 0 und hier wäre es ja richtig.
Mit a=0: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} - 0*\bruch{1}{x}) = \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x})=0 [/mm]
>
> Und dann noch eine letzte Frage: auf welche Asymptote
> bezieht sich die Gleichung. Auf die horizontale oder die
> vertikale.
Die Gleichung bezieht sich auf die "horizontale" Asymptote. Der Zusatz "horizontal" ist aber mit Vorsicht zu "genießen"! y=ax+b ist eine Gerade, ist also im Allgemeinen nicht horizontal zur x-Achse. Es gibt auch Asymptoten, die keine Geraden sind sondern beispielsweise Parabeln.
Anstatt "vertikale Asymptote" sage lieber Polgerade.
Der Wiki-Test ist recht anschaulich: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote
>
> Es wäre echt super nett wenn mir einer helfen könnte.
>
> glg penguin
>
Gruß, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 06.04.2008 | | Autor: | penguin |
Hey,
vielen Dank für deine Hilfe, jetzt ist auf jedenfall alles klar.
glg penguin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 06.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | | Mir ist noch doch noch etwas eingefallen, was ist, wenn ich z.B die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] + 1 habe... |
Hierzu ist doch die horizonzale Asymptote y=0. Aber nun haut das bei mir mit der Limesbestimmung nicht so ganz hin. Das wäre doch dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x^2 [/mm] + 1) = [mm] \infty [/mm] und das haut nicht hin :-( oder habe ich wieder einen Rechenfehler gemacht...
glg penguin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 06.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
x²+1 besitzt keine horizontale Asymptote; wo auch ?
Kein Fehler in deiner Rechnung; nur vorher beim Beispiel suchen ;)
Lg
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