Atlas, Karten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein Torus einen Atlas aus zwei Karten besitzt. |
Ich kann leider nicht so viel mit der Aufgabe anfangen, da ich nicht verstanden habe was ein Atlas und Karten sind.
Eine Karte soll doch das Paar Mannigfaltigkeit M und [mm] C^1-Diffeomorphismus [/mm] f sein, oder?
Und ein Atlas ist die minimale Menge der Karten die die Menge abdecken.
Habe ich das richtig verstanden?
Ich kann das leider nicht in die Praxis umsetzen. Mir fehlt da die Vorstellungen davon. Will ich die Menge in einer anderen Dimension darstellen?
Und wenn ich jetzt zwei Karten habe, heißt das dann dass ich ins zweidimensionale gehe oder heißt das dass ich zwei Funktionen habe die in tiefere Dimensionen gehen?
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 11.01.2008 | | Autor: | maddhe |
Hi!
Es ist gar nicht so schwer, wenn man die ganzen Formalitäten weglässt^^
Such dir irgendeinen Punkt auf dem Torus (je einfacher, desto besser - ich hab [mm] \vektor{0 \\ a \\ r} [/mm] genommen) und konstruierst von dem aus ne Stereographische Projektion auf eine zur [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] parallelen Ebene (z.B. [mm] x_3=-1) [/mm] Dann kannst du alle Punkte aufm Torus Projizieren bis auf eine Umgebung von [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}|x_1^{2}+x_2^{2}=a \wedge x_3=r\}
[/mm]
Also suchst du dir nen andern Punkt, von dem aus du diese Umgebung gut erreichen kannst... das ist dann deine zweite Karte..
Dann musst du nur noch zeigen, dass deine Projektionen injektive Immersionen sind.
Ich hoffe, das hilft schonmal etwas...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Blueman |
Hallo maddhe
Dein Ansatz gefällt mir. Hast du es denn auch geschafft, die dafür notwendige Projektion mathematisch zu formulieren? Ich schaffe das irgendwie nicht. Kannst du mir dafür einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 12.01.2008 | | Autor: | maddhe |
Funktioniert wie in der Vorlesung, nur dass du mit variablen a und r rechnest (bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist a=R und r=r) :
[mm] \varphi_1\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}:=\bruch{1}{r-x_3}\left(\vec x - \vektor{0 \\ a \\ r}\right)=\vektor{\bruch{x_1}{r-x_3} \\ \bruch{x_2-a}{r-x_3} \\ -1} [/mm] und [mm] \varphi_2\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}:=\bruch{1}{r+x_3}\left(\vec x - \vektor{0 \\ a \\ -r}\right)=\vektor{\bruch{x_1}{r+x_3} \\ \bruch{x_2-a}{r+x_3} \\ 1}
[/mm]
von denen musst du dann zeigen, dass sie Immersionen sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 So 13.01.2008 | | Autor: | maddhe |
edit: ich meinte natürlich von den Inversen musst du zeigen, dass diese Immersionen sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 13.01.2008 | | Autor: | Blueman |
Danke, so werd ichs machen. Hänge zwar noch an der Umkehrfunktion, aber vielleicht klappt das noch... falls du das noch bis morgen liest: Was hast du ausgenutzt, um die Umkehrfunktion zu bestimmen? Beim Torus gibts doch nicht so ne schöne Gleichung wie bei der Kugel..
Viele Grüße,
Blueman
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