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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Di 01.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Hi, habe jene Aufgabe: Fertigen sie eine skizze des Graphen von f an und finden Sie eine Funktionsgleichung. :
Funktionsbeschreibung:
-Die Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse
-Die Funktion ist überall größer als Null
-Die x-Achse ist Asymptote für beliebig anwachsende x.
-Die Funktion schneidet die y-Achse bei +1. Dort liegt ein Tiefpunkt vor.
-Bei (1/3) hat die Funktion einen Hochpunkt
Es gibt keine weiteren Extremstellen für x>0
Also meine skizze sieht so aus, wie eine Art M. Ich habe versucht die Funktionsgleichung zu finden, indem ich die Ableitung meiner Funktion aufgezeichnet habe. Die sieht aus, wie ein umgekehrtes [mm] x^3 [/mm] , also wie ein [mm] -x^3, [/mm] bloß horizontal um 2 gestaucht und solchen hubbeln. Wenn ich [mm] -x^3 [/mm] dann aufleite, dann habe ich ja [mm] -1/4x^4 [/mm] . Könnte soetwas ähnliches die Funktionsgleichung sein?
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Das sie wie ein M ausehen soll ist schon mal sehr gut.
Die Ableitung muß aber 3 Nullstellen haben. Versuch mal, das die Ableitung
wie ein gespiegeltes N aussieht. Die beiden Extermwerten von
der Ableitung sind dann die Wendepunkte von der ursprünlichen Funktion.
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 01.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Okay, alles klar. Das müsste dann [mm] x^3-x [/mm] sein, bloß etwas verändert.
Die Stammfunktion, also die Funktion müsste dann inetwa [mm] 1/4x^4 [/mm] - [mm] 1/2x^2
[/mm]
sein!!!!
Kann ich genau sagen, welche Funktionsgleichung es ist? Meiner Meinung nach geht das nicht, da man ja die Steigungen in den jeweiligen Monotoniebereichen nicht kennt. Nur an der Extremstellen 
Aber man kann doch eine Aussage darüber machen, wieweit die Funktion vertikal gestreckt wurde, denn zwischen hoch und tiefpunkt kiegen ja 2 cm.
????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Sorry da hab ich dir einen falschen Tip gegeben.
Wie ein N geht nicht. Ich habe nicht bedacht, das sich die Funktion an
die x-achse anschmiegen soll.
Ich glaube du baust dir erstmal eine Funktion die ein Maximum hat bei
0 und sich an die x-achse anschmiemt und symetrisch ist.
Symetrisch bedeutet es treten nur gerade Potenzen von x auf.
Der Nenner darf keine Nullstellen haben. Das Polynom im Nenner
muß im Nenner einen größeren Grad als im Zähler haben.
Wenn du die hast dann schiebe das Maximum nach links indem
du x durch (x-a) ersetzt und nach rechts. Wenn du beide addierst
müsste es schon richtig aussehen. Du mußt nun a bestimmen, sodaß
die beiden Maxima an der richtigen Stelle also -1/3 und 1/3 sind.
komduck
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Hallo drehspin,
Da drei Extremwerte vorliegen, kann man für die Funktion ansetzen:
[mm]f(x) = (a*x^{4} + b*x^{3} + c*x^{2} + d*x + 1)^{-1}[/mm]
Wenn wir jetzt nur das Polynom g(x) unter dem Bruchstrich betrachten, so muß es bei x = 0 einen Hochpunkt haben, bei x = 1/3 und x = -1/3 Tiefpunkte.
[mm]g'(x) = 4*a*x^{3} + 3*b*x^{2} + 2*c*x + d [/mm]
= [mm]4*a * (x - 1/3)*(x + 1/3) * x[/mm]
= [mm]4*a * (x^{3}- 1/9 * x)[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b = 0 und d = 0
[mm]g''(x) = 12*a*x^{2} - 4/9 * a[/mm]
g''(0) = - 4/9 * a
Da bei g(x) bei x = 0 ein Maximum vorliegen soll, muß a > 0 sein.
Entsprechend sind dann g''(1/3) = g''(-1/3) = 8/9 * a > 0 Minima.
[mm]g(x) = a*x^{4} - 2/9 * a * x^{2} + 1 [/mm]
Substitution liefert
[mm]g(t) = a*t^{2} - 2/9 * a * t + 1 [/mm]
[mm]t^{2} - 2/9 * t + 1/a > 0 [/mm]
[mm]t_{1,2} = 1/9 \pm \wurzel{\bruch{1}{81}-\bruch{1}{a}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < a < 81
Für dieses Intervall entspricht f(x) der Aufgabenstellung.
[mm]f(x) = (a*x^{4} - \bruch{2}{9}*a*x^{2} + 1)^{-1}[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 03.05.2007 | | Autor: | drehspin |
> Hallo drehspin,
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> Da drei Extremwerte vorliegen, kann man für die Funktion
> ansetzen:
>
> [mm]f(x) = (a*x^{4} + b*x^{3} + c*x^{2} + d*x + 1)^{-1}[/mm]
>
Weshalb ist das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 03.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Hi loddar, wenn ich ehrlich bin, verstehe ich den gesamten weg nicht. Weshalb ermittelt man die Funktion nicht so: Man bildet aus den 3 Nullstellen er Ableitungsfunktion eine Funktion: Nullstellen sind bei -1, 0, 1. Dann hätte man: (x+1)*(x)*(x-1)= [mm] x^3 [/mm] -x
F(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Ich habe es mir aufzeichnen lassen und sehe selbst, das dies nicht die richtige Lösunbg ist. Könnte man aber mit Dem Ansatz weiterarbeiten????
Und hat das Problem allgemein eine eindeutige Lösung?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo drehspin!
Du vernachlässigst hier, dass es sich aufgrund der beschriebenen Eigenschaften um eine gebrochen-rationale Funktion handeln.
Besonders die Eigenschaft mit der asymptotischen Annäherung an die x-Achse für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] weist darauf hin.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Der Ansatz mit den gebr. rationalen Funktionen ist okay, aber auch etwas mühsam, da man ja auch beachten muss, dass die Funktion (höchstwahrscheinlich) auf ganz R definiert sein soll.
Nimmt man da den Ansatz
1/f(x) mit einer geraden ganzrationalen Funktion und Absolutglied größer Null ist man natürlich auch auf der sicheren Seite.
Man könnte aber auch mit der Exponentialfunktion arbeiten, ist vielleicht sogar noch einfacher?!?
Ansatz für die gesuchte Funktion f(x):
f(x) = exp(g(x)), g(x) eine ganzrationale Funktion kleinsten Grades (um es "eindeutige" für diesen Ansatz zu machen!)
Vorteil dieses Ansatzes:
f "gerade" [mm] $\gdw$ [/mm] g "gerade"
f > 0 ist geschenkt
f -> 0 für x -> [mm] $\pm \infty$ $\gdw$ [/mm] g -> [mm] -$\infty$ [/mm] für x -> [mm] $\pm \infty$
[/mm]
f(0)= 1 [mm] $\gdw$ [/mm] g(0)=0
Übernimmt man die Überlegungen zur Ableitung (bzgl. der Extemstellen), so ergibt sich beispielsweise:
[mm] $\exp(-9x^4+2x^2)$ [/mm]
Bemerkung:
Die Aufgabenstellung ist in soweit ungeschickt, da weder die Klasse der zu betrachtenden Funktionen angegeben ist, noch sonstige Einschränkungen gemacht werden
Bei typischen Steckbriefaufgaben zu ganzrationalen Fkt. wird meist folgendes angegeben:
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion kleinsten Grades mit den folgenden Eigenschaften:
...
Hier fehlt leider eine analoge Einleitung ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Fr 04.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Zusatz zum Ansatz exp(g(x)):
Wirklich eindeutig wird die Lösung erst dadruch, dass man nun entweder noch den Wert des Hochpunktes vorgibt, oder bspw. den Koeffizienten des größten Monoms in g auf -1 nomrmiert.
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Potenzregel