Auffinden einer mxn-Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mi 01.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_s [/mm] ∈ [mm] K^n [/mm] und U := [mm] (v_1, [/mm] ..., [mm] v_s) \subseteq K^n. [/mm] Entwickeln Sie einen Algorithmus zum Auffinden einer (m×n)-Matrix A, für die gilt:
L(A,0) = U
Hierbei ist m = [mm] n−Dim_K(U).
[/mm]
Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass aus den Vektoren [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_s [/mm] eine
Basis für U auswählt. |
Was für eine Matrix wird hier gesucht?
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> Es seien [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] ∈ [mm]K^n[/mm] und U := [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_s) \subseteq K^n.[/mm]
> Entwickeln Sie einen Algorithmus zum Auffinden einer
> (m×n)-Matrix A, für die gilt:
> L(A,0) = U
> Hierbei ist m = [mm]n−Dim_K(U).[/mm]
> Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass aus
> den Vektoren [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] eine
> Basis für U auswählt.
> Was für eine Matrix wird hier gesucht?
Hallo,
gesucht ist eine Matrix [mm] m\times [/mm] n-Matrix A so,
daß die Lösungsmenge des homogenen LGS
Ax=0,
also der Kern von A,
gerade der Vektorraum U ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 02.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> > Es seien [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] ∈ [mm]K^n[/mm] und U := [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_s) \subseteq K^n.[/mm]
> > Entwickeln Sie einen Algorithmus zum Auffinden einer
> > (m×n)-Matrix A, für die gilt:
> > L(A,0) = U
> > Hierbei ist m = [mm]n−Dim_K(U).[/mm]
> > Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass aus
> > den Vektoren [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] eine
> > Basis für U auswählt.
> > Was für eine Matrix wird hier gesucht?
>
> Hallo,
>
> gesucht ist eine Matrix [mm]m\times[/mm] n-Matrix A so,
> daß die Lösungsmenge des homogenen LGS
> Ax=0,
> also der Kern von A,
> gerade der Vektorraum U ist.
>
> LG Angela
>
Hallo, danke für die Antwort. Aber wie ich das angehen soll, weiß ich nicht.
Also eine Basis aus U finde ich, wenn ich mir anschaue, welche Vektoren linear unabhängig sind.
Aber wie mache ich weiter, wenn ich diese Vektoren gefunden habe?
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> > > Es seien [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] ∈ [mm]K^n[/mm] und U := [mm](v_1,[/mm] ..., [mm]v_s) \subseteq K^n.[/mm]
> > > Entwickeln Sie einen Algorithmus zum Auffinden einer
> > > (m×n)-Matrix A, für die gilt:
> > > L(A,0) = U
> > > Hierbei ist m = [mm]n − Dim_K(U).[/mm]
> > > Hinweis. Geben Sie zunächst ein Verfahren an, dass
> aus
> > > den Vektoren [mm]v_1,[/mm] ..., [mm]v_s[/mm] eine
> > > Basis für U auswählt.
> > > Was für eine Matrix wird hier gesucht?
> >
> > Hallo,
> >
> > gesucht ist eine Matrix [mm]m\times[/mm] n-Matrix A so,
> > daß die Lösungsmenge des homogenen LGS
> > Ax=0,
> > also der Kern von A,
> > gerade der Vektorraum U ist.
> >
> > LG Angela
> >
>
> Hallo, danke für die Antwort. Aber wie ich das angehen
> soll, weiß ich nicht.
>
> Also eine Basis aus U finde ich, wenn ich mir anschaue,
> welche Vektoren linear unabhängig sind.
>
> Aber wie mache ich weiter, wenn ich diese Vektoren gefunden
> habe?
Hallo,
mir ist nicht klar, ob es bisher überhaupt schon Bemühungen von Deiner Seite gibt, zu einer Lösung zu kommen.
Wenn ja: welche?
Wenn ich nicht so recht durchblicke, mache ich mir immer gern erstmal ein konkretes Beispiel und versuche, dieses zu lösen.
Nehmen wir doch mal n=5,
[mm] U:=<\vektor{1\\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0}>
[/mm]
Was ist jetzt gesucht?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 02.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> Nehmen wir doch mal n=5,
>
> [mm]U:=<\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0}>[/mm]
>
> Was ist jetzt gesucht?
Gesucht ist eine mxn Matrix, sodass A*x=0
mit [mm] \IL(A,0) [/mm] = [mm] (\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0})
[/mm]
n=5, laut Aufgabenstellung soll m = n - dim(U) sein. Da dim(U) in diesem Fall = 2 ist, folgt
m = 5 - 2 = 3
Also suche ich nach einer 3x5 Matrix.
Soweit richtig?
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> > Nehmen wir doch mal n=5,
> >
> > [mm]U:=<\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0}>[/mm]
> >
> > Was ist jetzt gesucht?
>
> Gesucht ist eine mxn Matrix, sodass A*x=0
>
> mit [mm]\IL(A,0)[/mm] =
> [mm](\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0})[/mm]
>
> n=5, laut Aufgabenstellung soll m = n - dim(U) sein. Da
> dim(U) in diesem Fall = 2 ist, folgt
>
> m = 5 - 2 = 3
>
> Also suche ich nach einer 3x5 Matrix.
>
> Soweit richtig?
Hallo,
ja.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 03.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> > > Nehmen wir doch mal n=5,
> > >
> > > [mm]U:=<\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0}>[/mm]
> > >
> > > Was ist jetzt gesucht?
> >
> > Gesucht ist eine mxn Matrix, sodass A*x=0
> >
> > mit [mm]\IL(A,0)[/mm] =
> > [mm](\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0})[/mm]
> >
> > n=5, laut Aufgabenstellung soll m = n - dim(U) sein. Da
> > dim(U) in diesem Fall = 2 ist, folgt
> >
> > m = 5 - 2 = 3
> >
> > Also suche ich nach einer 3x5 Matrix.
> >
> > Soweit richtig?
>
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> LG Angela
Okay.
Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre ein LGS aufstellen..
einmal A * [mm] \vektor{1\\2\\3\\4\\5} [/mm] = 0
[mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 } [/mm] * [mm] \vektor{1\\2\\3\\4\\5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und zum anderen A * [mm] \vektor{5\\6\\7\\0\\0} [/mm] =0
[mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 } [/mm] * [mm] \vektor{5\\6\\7\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz wird falsch sein?
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> > > > Nehmen wir doch mal n=5,
> > > >
> > > > [mm]U:=<\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0}>[/mm]
> > > >
> > > > Was ist jetzt gesucht?
> > >
> > > Gesucht ist eine mxn Matrix, sodass A*x=0
> > >
> > > mit [mm]\IL(A,0)[/mm] =
> > > [mm](\vektor{1\\2\\3\\4\\5},\vektor{5\\6\\7\\0\\0})[/mm]
> > >
> > > n=5, laut Aufgabenstellung soll m = n - dim(U) sein. Da
> > > dim(U) in diesem Fall = 2 ist, folgt
> > >
> > > m = 5 - 2 = 3
> > >
> > > Also suche ich nach einer 3x5 Matrix.
> > >
> > > Soweit richtig?
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
> >
> > LG Angela
>
>
> Okay.
>
> Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre
> ein LGS aufstellen..
>
> einmal A * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = 0
>
> [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> und zum anderen A * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] =0
>
> [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele
> Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz
> wird falsch sein?
Hallo,
"falsch" ist das nicht, bloß noch unvollständig.
Du könntest mit diesem Ansatz so weitermachen:
ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^5, [/mm] und organisiere die Sache so, daß die drei ergänzenden Vektoren auf eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] abgebildet werden.
Damit hast Du's.
Klar sind's viele Unbekannte - aber ein LGS ist ja kein prinzipielles Problem.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 03.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> > Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre
> > ein LGS aufstellen..
> >
> > einmal A * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = 0
> >
> > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> >
> > und zum anderen A * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] =0
> >
> > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> >
> > Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele
> > Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz
> > wird falsch sein?
>
> Hallo,
>
> "falsch" ist das nicht, bloß noch unvollständig.
>
> Du könntest mit diesem Ansatz so weitermachen:
>
> ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^5,[/mm] und
> organisiere die Sache so, daß die drei ergänzenden
> Vektoren auf eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden.
>
> Damit hast Du's.
> Klar sind's viele Unbekannte - aber ein LGS ist ja kein
> prinzipielles Problem.
>
Eine mögliche Ergänzung sind [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]
Aber was heißt, dass die 3 Vektoren auf eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] abgebildet werden sollen?
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> > > Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre
> > > ein LGS aufstellen..
> > >
> > > einmal A * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > >
> > >
> > > und zum anderen A * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] =0
> > >
> > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > >
> > >
> > > Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele
> > > Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz
> > > wird falsch sein?
> >
> > Hallo,
> >
> > "falsch" ist das nicht, bloß noch unvollständig.
> >
> > Du könntest mit diesem Ansatz so weitermachen:
> >
> > ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^5,[/mm] und
> > organisiere die Sache so, daß die drei ergänzenden
> > Vektoren auf eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden.
> >
> > Damit hast Du's.
> > Klar sind's viele Unbekannte - aber ein LGS ist ja kein
> > prinzipielles Problem.
> >
>
> Eine mögliche Ergänzung sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Aber was heißt, dass die 3 Vektoren auf eine Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden sollen?
Hallo,
irgendeine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] wirst Du sicher kennen, und dann mußt Du es so einfädeln, daß A*1.Vektor=1.Basisvektor , und für die beiden anderen auch.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 03.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> > > > Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre
> > > > ein LGS aufstellen..
> > > >
> > > > einmal A * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = 0
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > > * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > >
> >
> > > >
> > > > und zum anderen A * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] =0
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > > * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > >
> >
> > > >
> > > > Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele
> > > > Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz
> > > > wird falsch sein?
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > "falsch" ist das nicht, bloß noch unvollständig.
> > >
> > > Du könntest mit diesem Ansatz so weitermachen:
> > >
> > > ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^5,[/mm] und
> > > organisiere die Sache so, daß die drei ergänzenden
> > > Vektoren auf eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden.
> > >
> > > Damit hast Du's.
> > > Klar sind's viele Unbekannte - aber ein LGS ist ja
> kein
> > > prinzipielles Problem.
> > >
> >
> > Eine mögliche Ergänzung sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> >
> > Aber was heißt, dass die 3 Vektoren auf eine Basis des
> > [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden sollen?
>
>
> Hallo,
>
> irgendeine Basis des [mm]\IR^3[/mm] wirst Du sicher kennen, und dann
> mußt Du es so einfädeln, daß A*1.Vektor=1.Basisvektor ,
> und für die beiden anderen auch.
>
> LG Angela
Dann hätte ich insgesamt 3 Rechnungen:
[mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Da A ja bei allen 3 Rechnungen gleich ist, kann man schonmal ein paar Einträge ersetzen:
[mm] \pmat{ 1 & a_1_2 & 0 & a_1_4 & 0 \\ 0 & a_2_2 & 1 & a_2_4 & 0 \\ 0 & a_3_2 & 0 & a_3_4 & 1 }
[/mm]
Schau ich jetzt mit dieser neuen Matrix und der L(A,0) nach den restlichen Matrixeinträgen?
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> > > > > Was mir jetzt als nächster Schritt einfallen würde, wäre
> > > > > ein LGS aufstellen..
> > > > >
> > > > > einmal A * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = 0
> > > > >
> > > > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > > > * [mm]\vektor{1\\2\\3\\4\\5}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > und zum anderen A * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] =0
> > > > >
> > > > > [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> > > > > * [mm]\vektor{5\\6\\7\\0\\0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > Aber irgendwie hätte man dann doch ziemlich viele
> > > > > Unbekannte, die man rausfinden muss... Denke der Ansatz
> > > > > wird falsch sein?
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > "falsch" ist das nicht, bloß noch unvollständig.
> > > >
> > > > Du könntest mit diesem Ansatz so weitermachen:
> > > >
> > > > ergänze die beiden Vektoren zu einer Basis des [mm]\IR^5,[/mm] und
> > > > organisiere die Sache so, daß die drei ergänzenden
> > > > Vektoren auf eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden.
> > > >
> > > > Damit hast Du's.
> > > > Klar sind's viele Unbekannte - aber ein LGS ist
> ja
> > kein
> > > > prinzipielles Problem.
> > > >
> > >
> > > Eine mögliche Ergänzung sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> > > und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
> > >
> > > Aber was heißt, dass die 3 Vektoren auf eine Basis des
> > > [mm]\IR^3[/mm] abgebildet werden sollen?
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > irgendeine Basis des [mm]\IR^3[/mm] wirst Du sicher kennen, und dann
> > mußt Du es so einfädeln, daß A*1.Vektor=1.Basisvektor ,
> > und für die beiden anderen auch.
> >
> > LG Angela
>
>
> Dann hätte ich insgesamt 3 Rechnungen:
>
> [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 & a_1_4 & a_1_5 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 & a_2_4 & a_2_5 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 & a_3_4 & a_3_5 }[/mm]
> * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> Da A ja bei allen 3 Rechnungen gleich ist, kann man
> schonmal ein paar Einträge ersetzen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & a_1_2 & 0 & a_1_4 & 0 \\ 0 & a_2_2 & 1 & a_2_4 & 0 \\ 0 & a_3_2 & 0 & a_3_4 & 1 }[/mm]
>
> Schau ich jetzt mit dieser neuen Matrix und der L(A,0) nach
> den restlichen Matrixeinträgen?
Hallo,
ja, so kannst Du das machen.
Der Ablauf bisher:
Suche aus dem Erzeugendensystem von U eine Basis [mm] (u_1,...,u_k) [/mm] von U.
Ergänze die Basis zu einer Basis [mm] (u_1,...,u_k,u_{k+1},...u_n) [/mm] des [mm] R^n.
[/mm]
Definiere eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^n\to \IR^{n-k}
[/mm]
durch ihre Werte auf den Basisvektoren wie folgt:
[mm] f(u_i):=0 [/mm] für i=1,...,k
[mm] f(u_i)=e_{i-k} [/mm] für i=k+1,...,n.
Stelle dann die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis von [mm] \IR^n [/mm] auf.
Dies ist die Matrix A.
Vielleicht hast Du gar nicht gemerkt, daß Du genau das Beschriebene getan hast...
Ich gehe eigentlich davon aus, daß Basistransformationsmatrizen und Darstellungen bzgl verschiedener Basen Dir bekannt sein sollten.
Die Darstellungsmatrix von f bzgl [mm] (u_1,...,u_n) [/mm] im [mm] \IR^n [/mm] und der Standardbasis im [mm] \IR^m [/mm] ist die Matrix
[mm] (\underbrace{0,...,0}_{k-mal},e_1,...,e_{n-k}).
[/mm]
(In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren der Basis [mm] (u_1,...,u_n) [/mm] in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^m.
[/mm]
Multiplizierst Du nun mit der passenden Basistransformationsmatrix, so hast Du die gesuchte Matrix A:
[mm] A=(\underbrace{0,...,0}_{k-mal},e_1,...,e_{n-k})*(u_1,...,u_n)^{-1}.
[/mm]
LG Angela
(In den Spalten stehen die Bilder der Basis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 04.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Danke nochmal für die ausführliche Erklärung.
Soweit habe ich es verstanden und auch die passende Matrix für dein Beispiel gefunden. :)
Eine Frage habe ich noch: Wie heißt dieser Algorithmus bzw der Vorgang?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 So 05.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Danke nochmal für die ausführliche Erklärung.
>
> Soweit habe ich es verstanden und auch die passende Matrix
> für dein Beispiel gefunden. :)
>
>
> Eine Frage habe ich noch: Wie heißt dieser Algorithmus bzw
> der Vorgang?
Ich glaube nicht, dass es dafür einen bestimmten Namen gibt. Das hier wird wohl unter Algorithmus beschrieben, weil es wohl auch eine schöne Programmieraufgabe sein könnte.
Gruß
DieAcht
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