Aufgabe #105 (IMOsl),(?) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 18:53 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man zeige, dass eine endliche Menge von Punkten in der Ebene existiert, für die wir mit jedem Punkt $P$ dieser Menge weitere 1993 Punkte aus der Menge finden können, die den Abstand 1 zu $P$ haben.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 01.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Hanno,
Beweis (per Induktion nach '$1993$'):
Es reicht zu zeigen, dass es zu jedem natürlichen $n$ eine endliche Menge [mm] M_n [/mm] von Punkten der Ebene gibt, so dass es zu jedem Element der Menge mindestens $n$ Punkte mit Abstand $1$ gibt.
$n=1$: trivial
$n>1$: Sei die Existenz von [mm] $M_n$ [/mm] bereits bewiesen. Dann gibt es nur endliche viele Vektoren zwischen Punkten aus [mm] $M_n$, [/mm] insbesondere gibt es einen Vektor $e$ der Länge $1$, so dass durch die Translation $T$ um $e$ keiner der Punkte aus [mm] $M_n$ [/mm] auf einen solchen abgebildet wird. Dann kann man aber [mm] $M_{n+1} [/mm] = [mm] M_n \cup T(M_n)$ [/mm] setzen.
Insbesondere gibt es also eine Menge [mm] $M_{1993}$.
[/mm]
Mit genauerer Wahl von $e$ kann man sogar erreichen, dass es je genau $n$ Punkte mit Abstand $1$ in [mm] $M_n$ [/mm] gibt.
Grüße,
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:48 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Genial einfach. Einfach genial! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
