Aufgabe #96 (SpaMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:00 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man bestimme den ganzzahligen Teil von [mm] $\summe_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt{k}}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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hmm....schwierig. Gib mir mal einen Tipp, wie das zu lösen ist:
der Anteil ist auf jeden Fall größer als 1000* [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1000}}, [/mm] was ungefähr 31 wäre.
Ich hab ihn mal ausgerechnet mit einem Programm und festgestellt, dass er sogar fast doppelt so groß ist. Nur warum.....
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:21 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Man sollte die Abschätzungen vielleicht doch was schärfer nehmen...
Statt "korrekt" aufzusumieren nehmen wir einfach die Reihenwerte, bei denen wir gerade Quadratzahlen für k haben und schätzen mal damit ab:
(sei $S_$ der gesuchte Reihenwert)
Dann haben wir [mm] $S:=\sum^{1000}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{k}}<\sum_{j=2}^{31}(j^2-(j-1)^2)\frac{1}{\sqrt{(j-1)^2}}+(1000-31^2)*\frac{1}{31}=\sum_{j=1}^{30}(2+\frac{1}{j})+\frac{39}{31}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Sa 01.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo,
solche Aufgaben kann man allgemein mit Integralen angehen:
Sei $f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}$ [/mm] und somit monoton fallend. Sei weiter $s= [mm] \summe_{k=1}^{1000}\frac{1}{\sqrt{k}}$ [/mm] die gegebene Summe.
Nun ist $s$ Obersumme von [mm] $i=\integral_{1}^{1001} [/mm] {f(x) dx}$ und [mm] s-1+\bruch{1}{\wurzel{1001}} [/mm] Untersumme von selbigem.
Also ist
$s >= i$
und
$s < i +1$
(somit kann man aus $i$ bereits den ganzzahligen Anteil von $s$ schnell ermitteln, da $s$ auf ein Intervall der Länge $1$ eingeschränkt ist)
Nun wertet sich das Integral aus zu $i=2 [mm] \wurzel{1001}-2$, [/mm] also $61<i<62$, und mit obigen Ungleichungen erhält man $62$ als ganzzahligen Anteil von $s$
Grüße,
Daniel
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