Aufgabe I.2.6 < Kapitel I Grundbegriffe < Wahrscheinlichkeitst < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:14 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Frusciante |
| Aufgabe | (Pólyasches Urnen-Modell)
Eine Urne enthält gut durchmischt [mm] $s\ge [/mm] 1$ schwarze und [mm] $w\ge [/mm] 1$ weiße Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt; ferner werden $t$ weitere Kugeln der Farbe der gezogenen Kugel in die Urne gelegt. Nach neuer Durchmischung wird wieder eine Kugel gezogen und obiges Verfahren mit gleicher Zahl $t$ wiederholt.
Man zeige: Die Wahrscheinlichkeit in [mm] $n=1,2,\ldots$ [/mm] Zügen $k$ schwarze und $n-k$ weiße Kugeln zu ziehen ist
[mm] ${n\choose k}\bruch{s(s+t)*\ldots*(s+(k-1)t)*w(w+t)*\ldots*(w+(n-k-1)t)}{N(N+t)*\ldots*(N+(n-1)t)}$
[/mm]
wenn dabei [mm] $k=0,1,\ldots,n$ [/mm] ist und $N:=s+w$ gesetzt wird.
Ist die unter 1 (b) beschriebene Situation hiervon ein Spezialfall?
Nachtrag: In 1(b) wurde folgendes Modell vorgestellt:
In einer Urne befinden sich gut durchmischt n gleichartige Kugeln in den Farben Schwarz und Weiß, etwa s schwarze und w weiße (s+w=n). Man zieht willkürlich [mm] $m\le [/mm] n$ Kugeln und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau [mm] $k\le [/mm] s$ schwarze Kugeln sind. Jede gezogene Kugel wird sofort wieder in die Urne zurückgelegt; nach erneutem Durchmischen des Urneninhaltes wird die nächste Kugel gezogen. [...] Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt [mm] ${m\choose k} p^k(1-p)^{m-k}$ [/mm] mit [mm] $p=\bruch{s}{n}$ [/mm] |
Quelle:  Bauer, Heinz: Wahrscheinlichkeitstheorie
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