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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 28.06.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | | http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf (Seite 33, Aufgabe 5) |
Tut mir leid, dass ich nur die Adresse zu dem Skript mit den Übungsaufgaben dort oben kopiert habe. Aber ich wüssten nicht, wie ich das aus dem PDF rausbekommen könnte.
Das habe ich erarbeitet. Ist das so korrekt?
(G0): Weil [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ein Körper ist, ist die Situation für die rellen Zahlen klar. Zu zeigen ist also nur noch, dass für kein $a [mm] \circ [/mm] b = -1$ ($a,b [mm] \in [/mm] G) gilt.
Da $a [mm] \circ [/mm] b = a + b + ab$ gilt, lässt sich stattdessen auch $a+(a+1)b$ schreiben.
Der beweis erfolgt also über das Auflösen der Gleichung.
a+(a+1)b=-1
(a+1)b=-(a+1)
Daraus folgt, dass b = -1, was durch $a,b [mm] \in [/mm] G$ ausgeschlossen wurde, wodurch die forderung G0 erfüllt ist.
(G1): Diese Bedingung erhält man durch ausklammern von:
$(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c= (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c) = a+(b+c+bc)+a(a+b+bc)= a+b+c+bc+ab+ac+abc$
(G2): Dieses Element ist 0, denn: $a [mm] \circ [/mm] 0 = a+0+a0=a$
(G3): Nachdem ich das neutrale Element bereits identifiziert habe, kann gezeigt werden, dass $a [mm] \circ [/mm] b = 0$, $b= [mm] a^{-1}$
[/mm]
[mm] $a^{-1}=-\frac{a}{a+1}$
[/mm]
$a [mm] \circ \frac{a}{a+1} [/mm] = a - [mm] \frac{a}{a+1} [/mm] - [mm] \frac{a}{a+1} [/mm] a = [mm] \frac{a^2+a}{a+1}-\frac{a}{a+1}-\frac{a}{a+1} \frac{a}{1}$
[/mm]
Zum Schluss noch das Auflösen von x bei $5 [mm] \circ [/mm] x [mm] \circ [/mm] 6 = 17$
Wegen G2 ist $5 [mm] \circ [/mm] 6 [mm] \circ [/mm] x = 17 = 41 [mm] \circ [/mm] x$
Dies lässt sich wie eine normale Gleichung auflösen und ergibt $x = [mm] -\frac{4}{7}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mo 29.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sieht alles sehr gut aus
FRED
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