Aufgabe zu mehreren Veränderl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy).[/mm]
1. Bestimme [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] für [mm](x_0,y_0) = (1,0).[/mm]
2. Bestimme die Richtungsableitung von f in (1,0) in Richtung v = (1,-1). |
Hallo :)
Ich habe zunächst mal eine Frage zum Gradienten:
Ich stelle mir einen Berg vor. Zeigt der Gradient zur Spitze des Berges, also zum größten Funktionswert oder zeigt der Gradient, wie bei Wikipedia zu lesen ist, "in die Richtung des steilsten Anstiegs"? Das sind doch zwei verschiedene Sachen. Das eine ist größter Funktionswert und das andere größte Steigung.
Können wir das bitte vorher klären.
Vielen Dank
Mopsi
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Hallo,
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy).[/mm]
>
> 1. Bestimme [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] für [mm](x_0,y_0) = (1,0).[/mm]
>
> 2. Bestimme die Richtungsableitung von f in (1,0) in
> Richtung v = (1,-1).
>
>
> Hallo :)
>
> Ich habe zunächst mal eine Frage zum Gradienten:
>
> Ich stelle mir einen Berg vor. Zeigt der Gradient zur
> Spitze des Berges, also zum größten Funktionswert oder
> zeigt der Gradient, wie bei Wikipedia zu lesen ist, "in
> die Richtung des steilsten Anstiegs"? Das sind doch zwei
> verschiedene Sachen. Das eine ist größter Funktionswert
> und das andere größte Steigung.
>
> Können wir das bitte vorher klären.
Gerne: die Version auf Wikipedia ist richtig. Im Falle einer Funktion z=f(x,y) ist der Gradient dann ein Pfeil, der eben in die Richtung zeigt, in der das 'Gelände' am steilsten ansteigt. Seine Länge gibt Aufkunft über die tatsächliche Steigung.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Diophant und dankeschön für die Hilfe:)
> Gerne: die Version auf Wikipedia ist richtig. Im Falle
> einer Funktion z=f(x,y) ist der Gradient dann ein Pfeil,
> der eben in die Richtung zeigt, in der das 'Gelände' am
> steilsten ansteigt. Seine Länge gibt Aufkunft über die
> tatsächliche Steigung.
Hmmmm, leider kann ich mir das nicht genau vorstellen.
Angenommen ich stehe irgendwo auf einem Berg.
Ich habe jetzt mal eine Skizze gemacht.
![[]](/images/popup.gif) http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png
Ich bin der blaue Punkt und der rote Pfeil ist der Gradient.
Das heißt ich schaue mir den ganzen Berg an und suche die Stelle, an der das Gelände am steilsten ist? Und das ist offensichtlich der Teil unten links auf der Skizze.
Und egal, wo ich stehe, der Gradient zeigt von jeder Stelle auf den Teil unten links?
Mopsi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 18.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Diophant und dankeschön für die Hilfe:)
>
> > Gerne: die Version auf Wikipedia ist richtig. Im Falle
> > einer Funktion z=f(x,y) ist der Gradient dann ein
> Pfeil,
> > der eben in die Richtung zeigt, in der das 'Gelände'
> am
> > steilsten ansteigt. Seine Länge gibt Aufkunft über
> die
> > tatsächliche Steigung.
>
> Hmmmm, leider kann ich mir das nicht genau vorstellen.
> Angenommen ich stehe irgendwo auf einem Berg.
> Ich habe jetzt mal eine Skizze gemacht.
> http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png
> Ich bin der blaue Punkt und der rote Pfeil ist der
> Gradient.
> Das heißt ich schaue mir den ganzen Berg an und suche die
> Stelle, an der das Gelände am steilsten ist? Und das ist
> offensichtlich der Teil unten links auf der Skizze.
> Und egal, wo ich stehe, der Gradient zeigt von jeder
> Stelle auf den Teil unten links?
Nein, der Gradient ist eine lokale Eigenschaft. Stell dir vor, du bis auf einer Bergwanderung, also in dreidimensionalen unterwegs. Wenn du dann einen Gradient neben dir wandern lässt, zeigt dieser immer in die Richtung, in der das Gelände auf dem du gerade bist, am steilsten ansteigt. Meistens ist das eben nicht der Weg, da der Weg meistens in Richtung des kleinsten Anstieges verläuft, der steilste Anstieg ist meistens direkt in Richtung des Berggipfels, das ist meist die Richtung in der der Hang am steilsten ist.
>
> Mopsi
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Hallo
> > Hallo Diophant und dankeschön für die Hilfe:)
> >
> > > Gerne: die Version auf Wikipedia ist richtig. Im
> Falle
> > > einer Funktion z=f(x,y) ist der Gradient dann ein
> > Pfeil,
> > > der eben in die Richtung zeigt, in der das 'Gelände'
> > am
> > > steilsten ansteigt. Seine Länge gibt Aufkunft über
> > die
> > > tatsächliche Steigung.
> >
> > Hmmmm, leider kann ich mir das nicht genau vorstellen.
> > Angenommen ich stehe irgendwo auf einem Berg.
> > Ich habe jetzt mal eine Skizze gemacht.
> > http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png
> > Ich bin der blaue Punkt und der rote Pfeil ist der
> > Gradient.
> > Das heißt ich schaue mir den ganzen Berg an und suche
> die
> > Stelle, an der das Gelände am steilsten ist? Und das
> ist
> > offensichtlich der Teil unten links auf der Skizze.
> > Und egal, wo ich stehe, der Gradient zeigt von jeder
> > Stelle auf den Teil unten links?
>
> Nein, der Gradient ist eine lokale Eigenschaft. Stell dir
> vor, du bis auf einer Bergwanderung, also in
> dreidimensionalen unterwegs. Wenn du dann einen Gradient
> neben dir wandern lässt, zeigt dieser immer in die
> Richtung, in der das Gelände auf dem du gerade bist, am
> steilsten ansteigt.
Und was ist, wenn ich in einer Schlucht stecke und es sowohl links als auch rechts von mir gleich steil ist? In welche Richtung zeigt er dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > > Hallo Diophant und dankeschön für die Hilfe:)
> > >
> > > > Gerne: die Version auf Wikipedia ist richtig. Im
> > Falle
> > > > einer Funktion z=f(x,y) ist der Gradient dann ein
> > > Pfeil,
> > > > der eben in die Richtung zeigt, in der das
> 'Gelände'
> > > am
> > > > steilsten ansteigt. Seine Länge gibt Aufkunft
> über
> > > die
> > > > tatsächliche Steigung.
> > >
> > > Hmmmm, leider kann ich mir das nicht genau
> vorstellen.
> > > Angenommen ich stehe irgendwo auf einem Berg.
> > > Ich habe jetzt mal eine Skizze gemacht.
> > > http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png
> > > Ich bin der blaue Punkt und der rote Pfeil ist der
> > > Gradient.
> > > Das heißt ich schaue mir den ganzen Berg an und
> suche
> > die
> > > Stelle, an der das Gelände am steilsten ist? Und das
> > ist
> > > offensichtlich der Teil unten links auf der Skizze.
> > > Und egal, wo ich stehe, der Gradient zeigt von jeder
> > > Stelle auf den Teil unten links?
> >
> > Nein, der Gradient ist eine lokale Eigenschaft. Stell
> dir
> > vor, du bis auf einer Bergwanderung, also in
> > dreidimensionalen unterwegs. Wenn du dann einen
> Gradient
> > neben dir wandern lässt, zeigt dieser immer in die
> > Richtung, in der das Gelände auf dem du gerade bist,
> am
> > steilsten ansteigt.
>
> Und was ist, wenn ich in einer Schlucht stecke und es
> sowohl links als auch rechts von mir gleich steil ist? In
> welche Richtung zeigt er dann?
Analysieren wir diese Situation mal: Die Koordinaten Deines Stanortes seien [mm] (x_0,y_0)
[/mm]
1. Die Sache mit "steister Anstieg in Richtung des Gradienten" gilt nur, wenn f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] differenzierbar ist und [mm] gradf(x_0,y_0) [/mm] nicht der Nullvektor ist.
Im Folgenden sei also [mm] gradf(x_0,y_0) [/mm] nicht der Nullvektor .
2. Nehmen wir an, Du schaust nach rechts und das ist gerade in Richtung des Gradienten.
Sei a diese Richtung. Dann ist unter allen Richtungsableitungen
[mm] \bruch{\partial f}{\partial a}f(x_0,y_0) [/mm] die größte
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial (-a)}f(x_0,y_0) [/mm]
die kleinste. Für jede weitere Richtung b gilt:
(*) [mm] \bruch{\partial f}{\partial (-a)}f(x_0,y_0) \le \bruch{\partial f}{\partial b}f(x_0,y_0) \le \bruch{\partial f}{\partial a}f(x_0,y_0) [/mm] .
Weiter ist
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial (-a)}f(x_0,y_0) =-\bruch{\partial f}{\partial a}f(x_0,y_0) [/mm] $
Wenn Du aber nach links schaust und der Anstieg ist der gleiche wie nach rechts, so ist
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial (-a)}f(x_0,y_0) =\bruch{\partial f}{\partial a}f(x_0,y_0) [/mm] $
und damit
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial (-a)}f(x_0,y_0) =\bruch{\partial f}{\partial a}f(x_0,y_0)=0$
[/mm]
Aus (*) folgt:
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial b}f(x_0,y_0) [/mm] =0$ für jede Richtung b.
Nun sind partielle Ableitungen spezielle Richtungsableitungen, also ist [mm] gradf(x_0,y_0)=(0,0)
[/mm]
UaaaH !
Fassen wir zusammen: ist [mm] gradf(x_0,y_0) \ne [/mm] (0,0) und Du findest rechts und links von Dir den gleichen Anstieg vor, so schaust Du weder nach links noch nach recht in Richtung des Gradienten !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 19.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hey Fred, vielen Dank für die Erklärung, das habe sogar ich jetzt verstanden! :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy).[/mm]
>
> 1. Bestimme [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] für [mm](x_0,y_0) = (1,0).[/mm]
Ich bilde also die partiellen Ableitungen. Einmal nach x und einmal nach y.
Und dann setzte ich einfach 1 für x und 0 für y in den partiellen Ableitungen ein.
Es würde keinen Sinn machen, wenn ich erst einsetze und dann ableite.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich etwas falsch aufschreibe, nicht das mir bei einer Klausur, deshalb etwas abgezogen wird.
[mm]f_x = \frac{2x}{x^2+y^2+1} + sin(y)[/mm]
[mm]f_y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} + sin(x)[/mm]
[mm]\textrm{grad }f(1,0) = \vektor{1, sin(1)}[/mm]
Ist das so korrekt?
Oder hätte ich noch [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] hinschreiben sollen, also ohne für x und y Werte eingesetzt zu haben?
Der Gradient ist ein Zeilenvektor, oder? Ich meine gehört zu haben, dass man ihn auch als Spaltenvektor darstellen kann. Stimmt das?
Vielen Dank
Mopsi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy).[/mm]
>
> >
> > 1. Bestimme [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] für [mm](x_0,y_0) = (1,0).[/mm]
>
> Ich bilde also die partiellen Ableitungen. Einmal nach x
> und einmal nach y.
> Und dann setzte ich einfach 1 für x und 0 für y in den
> partiellen Ableitungen ein.
> Es würde keinen Sinn machen, wenn ich erst einsetze und
> dann ableite.
>
> Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich etwas falsch
> aufschreibe, nicht das mir bei einer Klausur, deshalb etwas
> abgezogen wird.
>
> [mm]f_x = \frac{2x}{x^2+y^2+1} + sin(y)[/mm]
Das stimmt nicht: richtig:
[mm]f_x = \frac{2x}{x^2+y^2+1} + cos(xy)*y[/mm]
Kettenregel !
>
> [mm]f_y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} + sin(x)[/mm]
Das stimmt auch nicht
>
> [mm]\textrm{grad }f(1,0) = \vektor{1, sin(1)}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
> Oder hätte ich noch [mm]\textrm{grad }f(x_0,y_0) [/mm] hinschreiben
> sollen, also ohne für x und y Werte eingesetzt zu haben?
>
> Der Gradient ist ein Zeilenvektor, oder? Ich meine
> gehört zu haben, dass man ihn auch als Spaltenvektor
> darstellen kann. Stimmt das?
Ja, da gehen die Auffassungen auseinander.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> Mopsi
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 19.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
[mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy)[/mm]
Oh, das habe ich übersehen, danke für den Hinweis.
[mm]f_x = \frac{2x}{x^2+y^2+1} + cos(xy)*y[/mm]
[mm]f_y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} + cos(xy)*x[/mm]
[mm]\textrm{grad }f(1,0) = \vektor{1, 1}[/mm]
Das heißt jetzt also, wenn ich mich im Punkt (1|0) befinde, dann ist in Richtung (1,1)
die größte Steigung und die Steigung ist [mm]\sqrt{2}[/mm].
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy)[/mm]
>
> Oh, das habe ich übersehen, danke für den Hinweis.
>
> [mm]f_x = \frac{2x}{x^2+y^2+1} + cos(xy)*y[/mm]
das ist eine etwas blöde Notation ("partielle Ableitung nach [mm] $x\,,$ [/mm] und dann Stelle [mm] $(x,y)\,$"), [/mm]
aber Du müsstest es korrekt(er) wenigstens so schreiben:
[mm] $$f_x\red{(x,y)}= \frac{2x}{x^2+y^2+1} [/mm] + [mm] \cos(xy)*y$$
[/mm]
oder
[mm] $$\partial_x f\red{(x,y)}= \frac{2x}{x^2+y^2+1} [/mm] + [mm] \cos(xy)*y$$
[/mm]
Manche nummerieren auch einfach die "Variablenstelle", dann würde man
es so schreiben:
[mm] $$\partial_\red{1}f\red{(x,y)}= \frac{2x}{x^2+y^2+1} [/mm] + [mm] \cos(xy)*y$$
[/mm]
> [mm]f_y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} + cos(xy)*x[/mm]
Analoger Hinweis bzgl. der Notation!
Dann kannst Du schreiben
[mm] $$\textrm{grad }f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y))=\left( \frac{2x}{x^2+y^2+1} + \cos(xy)*y, \frac{2y}{x^2+y^2+1} + \cos(xy)*x\right)\,.$$
[/mm]
> [mm]\textrm{grad }f(1,0) = \vektor{1, 1}[/mm]
> Das heißt jetzt also, wenn ich mich im Punkt (1|0)
> befinde, dann ist in Richtung (1,1)
> die größte Steigung
Mit dem Gradienten hast Du die RICHTUNG DES STEILSTEN Anstiegs. Pass
auf: Du hast hier eine Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR\,.$ [/mm] Der Graph davon ist eine Teilmenge
des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] wenn man [mm] $\IR^2 \times \IR$ [/mm] mit [mm] $\IR^3$ [/mm] identifiziert:
Eigentlich ist ja [mm] $((x,y),f(x,y))\,$ [/mm] ein Punkt des Graphen von [mm] $f\,,$ [/mm] und nun sagst
Du einfach, dass Du - ohne Verlust an Information - anstatt $((x,y),f(x,y)) [mm] \in \IR^2 \times \IR$ [/mm]
einfach $(x,y,f(x,y)) [mm] \in \IR^3$ [/mm] schreibst. Die $xy$-Ebene ist hier quasi unser
Definitionsbereich [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Ähnlich, wie Du 'Dir vorstellst, auf dem Graphen einer Funktion $g [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
entlangfahren zu können' (der Graph einer solchen Funktion [mm] $g\,$ [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$),
[/mm]
stellst Du Dir nun vor, dass Du auf der obigen "Fläche", die durch [mm] $f\,$ [/mm] definiert
ist, entlangwandern kannst. Gib' mal z=log(x^2+y^2+1) + sin(xy) hier (klick!) ein und drück' auf plotten!
Nun stehst Du auf dem Punkt $(1,0,z(1,0))$ dieses komischen Gebildes. Stell'
Dir nun vor, Du willst dort "minimal" weiterlaufen, aber möglichst steil nach
oben - warum auch immer (Training, man will möglichst viele Kalorien verbrennen,
um abzunehmen oder oder oder...). Jetzt folgendes: Dass Du an dem Punkt
[mm] $(1,0,z(1,0))\,$ [/mm] stehst, wird hier dadurch gesteuert, dass Du Dich halt im Definitionsbereich von
[mm] $z\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $(1,0)\,$ [/mm] befindest: Allgemein: Du läufst zum Punkt [mm] $(x_0,y_0,z(x_0,y_0))$ [/mm] auf
der Fläche, indem Du halt im Definitionsbereich von [mm] $z\,$ [/mm] die Stelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] "aufrufst".
Du stehst nun an der Stelle [mm] $(1,0,z(1,0))\,.$ [/mm] Du hast berechnet: Um "möglichst anstrengend minimal weiterzulaufen", muss ich von der Stelle
[mm] $(1,0)\,$ [/mm] des Definitionsbereiches minimal (sagen wir ein kleines [mm] $\epsilon\;\;\; [/mm] (> 0)$ weit) in Richtung
[mm] $(1,1)\,$ [/mm] bewegen. Also: Das heißt, Du gehst von der Stelle [mm] $(1,0)\,$ [/mm] im Definitionsbereich
zur Stelle [mm] $(1,0)+\epsilon*\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=(1+\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}})\,.$ [/mm] Und dann ist der Höhenunterschied
zwischen den Punkten $(1,0,z(1,0))$ und [mm] $(1+\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\;\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\;z(1+\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}}))$
[/mm]
für dieses so kleine [mm] $\epsilon$ [/mm] "quasi" der größte Höhenunterschied, den Du bei der [mm] $\epsilon$-weiten [/mm]
Änderung, die ja im Definitionsbereich stattfand, erreichen konntest.
D.h.: Der obige Höhenunterschied ist ja [mm] $z(1+\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\;\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}})-z(1,0)\,.$ [/mm]
Wärst Du vom Punkt [mm] $(1,0)\,$ [/mm] also etwa [mm] $\epsilon$-weit [/mm] in Richtung [mm] $(2,5)\,$ [/mm] gegangen, so wäre die Differenz
[mm] $z(1+\epsilon*\tfrac{2}{\sqrt{29}},\;\epsilon*\tfrac{5}{\sqrt{29}})-z(1,0)$ [/mm] eine kleinere. (Das ganze ist natürlich nur grob, weil wir ja eigentlich
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ nicht nur sehr klein wählen dürften, sondern wir müßten einen
Grenzprozess [mm] $\epsilon \to [/mm] 0$ stattfinden lassen. Aber unter einem "infinitesimalen Weiterlaufen"
können wir uns nichts vorstellen. Ich jedenfalls nicht...)
> und die Steigung ist [mm]\sqrt{2}[/mm].
Ja, das kann man "grob" so sagen (im folgenden ist das Bemerkung 20.2!)
Besser sagt man vielleicht, dass dort die Stärke der Steigung [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist!
Warum der Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs ist: Schau' Dir hier:
http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
die zwei Seiten ab Satz 20.1 an. Und übrigens ist der Gradient selbst keine
Richtung, er "zeigt" eine Richtung an - eigentlich spricht man von Richtungsvektoren,
wenn diese die Länge 1 haben. (Damit die Aussagen "Richtung des steilsten
Anstiegs" etc. überhaupt Sinn machen, sollten Richtungsvektoren jedenfalls
eine einheitliche Länge ungleich 0 haben!)
Was mir oben auf jeden Fall wichtig ist:
Wenn Du an der Stelle [mm] $(1,0)\,$ [/mm] im Definitionsbereich stehst und dann berechnest, dass
dort der Gradient [mm] $=(1,1)\,$ [/mm] ist, so bildest Du NICHT [mm] $\overrightarrow{\vektor{1\\1},\vektor{1\\0}}=\vektor{0\\1}$ [/mm] und läufst vom Punkt $(1,0)$
weiter zum Punkt [mm] $(1,0)+\epsilon*\frac{(0,1)}{\sqrt{1}}\,.$
[/mm]
SONDERN: Du nimmst den Endpunkt des Vektors [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}*\vektor{1\\1}$ [/mm] und
"klebst" diesen an den Punkt $(1,0)$ und läufst dann [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ weit zur der
Stelle, wo dieser angeklebte Vektor dann hinzeigt: Also zur Stelle [mm] $\left(1+\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}},\;\tfrac{\epsilon}{\sqrt{2}}\right)\,.$
[/mm]
(Kennst Du noch aus der Schule: Parallelverschiebung!)
P.S. Ich hoffe, Dir ist vor allem bewußt geworden, dass der Gradient nicht
gleichzusetzen mit seiner Richtung ist. Normierst Du den Gradienten auf
die Länge 1, dann hast Du die Richtung des Gradienten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Marcel und ein herzliches Dankeschön für deine ausführliche Antwort/Erklärung!
Vielen Dank für die Hinweise zur Notation, das merke ich mir nun.
...
Bis hierhin habe ich alles verstanden, das hast du wirklich super und auch sehr anschaulich erklärt!
> > und die Steigung ist [mm]\sqrt{2}[/mm].
> Ja, das kann man "grob" so sagen (im folgenden ist das Bemerkung 20.2!)
> Besser sagt man vielleicht, dass dort die Stärke der Steigung [mm]\sqrt{2}[/mm] ist!
> Warum der Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs ist: Schau' Dir hier:
> http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
> die zwei Seiten ab Satz 20.1 an.
Das Frage ich mich auch schon die ganze Zeit und würde das sehr gerne verstehen oder soll ich es einfach hinnehmen (weil zu kompliziert/schwer?)?
Leider verstehe ich noch nichtmal bei der Notation, was dieses hoch (0) bedeutet?
Also [mm]x^{(0)}[/mm]
> Und übrigens ist der Gradient selbst keine
> Richtung, er "zeigt" eine Richtung an - eigentlich spricht man von > Richtungsvektoren,
> wenn diese die Länge 1 haben. (Damit die Aussagen "Richtung des steilsten
> Anstiegs" etc. überhaupt Sinn machen, sollten Richtungsvektoren jedenfalls
> eine einheitliche Länge ungleich 0 haben!)
Okay, verstanden.
> Was mir oben auf jeden Fall wichtig ist:
> Wenn Du an der Stelle [mm](1,0)\,[/mm] im Definitionsbereich stehst und dann berechnest, dass
> dort der Gradient [mm]=(1,1)\,[/mm] ist, so bildest Du NICHT [mm]\overrightarrow{\vektor{1\\1},\vektor{1\\0}}=\vektor{0\\1}[/mm] und läufst vom Punkt > [mm](1,0)[/mm]
> weiter zum Punkt [mm](1,0)+\epsilon*\frac{(0,1)}{\sqrt{1}}\,.[/mm]
Wenn ich das so gemacht hätte, dann hätte ich den Gradienten als Punkt aufgefasst zu dem ich mich hinbewegen will, oder?
Mopsi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:17 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel und ein herzliches Dankeschön für deine
> ausführliche Antwort/Erklärung!
>
> Vielen Dank für die Hinweise zur Notation, das merke ich
> mir nun.
>
> ...
> Bis hierhin habe ich alles verstanden, das hast du
> wirklich super und auch sehr anschaulich erklärt!
>
> > > und die Steigung ist [mm]\sqrt{2}[/mm].
>
> > Ja, das kann man "grob" so sagen (im folgenden ist das
> Bemerkung 20.2!)
> > Besser sagt man vielleicht, dass dort die Stärke der
> Steigung [mm]\sqrt{2}[/mm] ist!
> > Warum der Gradient die Richtung des steilsten Anstiegs
> ist: Schau' Dir hier:
>
> > http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
>
> > die zwei Seiten ab Satz 20.1 an.
>
> Das Frage ich mich auch schon die ganze Zeit und würde das
> sehr gerne verstehen oder soll ich es einfach hinnehmen
> (weil zu kompliziert/schwer?)?
ist es nicht. An welcher Stelle hapert's? Überleg doch mal ganz allgemein
das, was ich hier speziell gemacht habe, und benutze dabei die Ungleichung,
die im Skript steht!
> Leider verstehe ich noch nichtmal bei der Notation, was
> dieses hoch (0) bedeutet?
> Also [mm]x^{(0)}[/mm]
Ganz einfach: Wenn Du - etwa - eine Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] hast, und Du betrachtest
eine spezielle Stelle, so hebst Du das hervor, indem Du die Stelle etwa [mm] $x_0$
[/mm]
nennst. ("Ist $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] gegeben mit [mm] $f(x):=x^2\,,$ [/mm] so ist die Tangente durch [mm] $(x_0,f(x_0)) \in \text{graph}(f)$ [/mm]
gegeben durch ..., wobei [mm] $m=m(x_0):=f\,'(x_0)=2x_0$..." [/mm] Sowas kennst Du sicher,
dass Du eine Gleichung einer Tangente angeben sollst!) Die Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ist dann
zwar immer noch beliebig wählbar, aber nach einer Wahl bleibt sie fest. Sie
hat den Stellenwert eines Parameters - aber besser gesagt: Es ist eine feste
Stelle [mm] $x_0 \in \IR\,.$
[/mm]
Wenn Du nun eine Funktion $f [mm] \colon \IR^n \to [/mm] ...$ hast, dann kannst Du
halt auch sagen, dass Du einen Punkt des [mm] $\IR^n$ [/mm] festhalten willst. Du kannst
nun sagen:
Ich nenne den auch [mm] $x_0 \in \IR^n\,.$ [/mm] Wenn Du nun dessen Koordinateneinträge
aber notieren willst, dann schreibst Du sowas:
[mm] $$x_0=(x_{0,1},x_{0,2},...,x_{0,n})\,.$$
[/mm]
(Wenn ihr Elemente des [mm] $\IR^n$ [/mm] als Spaltenvektoren auffasst, dann transponiere
das Ding halt!)
Kannst Du auch machen, Du musst aber aufpassen, dass Du Dich mit sowas
nicht irgendwann selbst verwirrst. Bei [mm] $x^{(0)}$ [/mm] kannst Du halt [mm] $x^{(0)}=(x^{(0)}_1,...,x^{(0)}_n)$ [/mm]
schreiben - das sieht einfach "natürlicher" aus, wenn man es vergleicht,
wie man sonst Punkte des [mm] $\IR^n$ [/mm] schreibt.
Das deutet also nur an, dass die Stelle [mm] $x^{(0)}$ [/mm] eine feste Stelle ist. Du könntest
auch andere Notationen dafür einführen, was weiß ich:
[mm] $\mathring{x}=(\mathring{x}_1,...,\mathring{x}_n) \in \IR^n$ [/mm] oder [mm] ${_0\!x}=({_0\!x}_1,..., {_0\!x}_n) \in \IR^n$ [/mm] oder ...
Es wäre halt gut, schnell zu erkennen, dass das eine feste Stelle ist!
> > Und übrigens ist der Gradient selbst keine
> > Richtung, er "zeigt" eine Richtung an - eigentlich
> spricht man von >
> Richtungsvektoren,
> > wenn diese die Länge 1 haben. (Damit die Aussagen
> "Richtung des steilsten
> > Anstiegs" etc. überhaupt Sinn machen, sollten
> Richtungsvektoren jedenfalls
> > eine einheitliche Länge ungleich 0 haben!)
>
> Okay, verstanden.
>
> > Was mir oben auf jeden Fall wichtig ist:
> > Wenn Du an der Stelle [mm](1,0)\,[/mm] im Definitionsbereich
> stehst und dann berechnest, dass
> > dort der Gradient [mm]=(1,1)\,[/mm] ist, so bildest Du NICHT
> [mm]\overrightarrow{\vektor{1\\1},\vektor{1\\0}}=\vektor{0\\1}[/mm]
> und läufst vom Punkt > [mm](1,0)[/mm]
> > weiter zum Punkt
> [mm](1,0)+\epsilon*\frac{(0,1)}{\sqrt{1}}\,.[/mm]
>
> Wenn ich das so gemacht hätte, dann hätte ich den
> Gradienten als Punkt aufgefasst zu dem ich mich hinbewegen
> will, oder?
Genau - und das sollst Du eben nicht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > > Warum der Gradient die Richtung des steilsten
> Anstiegs
> > ist: Schau' Dir hier:
> >
> > > http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
> >
> > > die zwei Seiten ab Satz 20.1 an.
> >
> > Das Frage ich mich auch schon die ganze Zeit und würde das
> > sehr gerne verstehen oder soll ich es einfach hinnehmen
> > (weil zu kompliziert/schwer?)?
>
> ist es nicht. An welcher Stelle hapert's? Überleg doch mal
> ganz allgemein
> das, was ich hier speziell gemacht habe, und benutze dabei
> die Ungleichung,
> die im Skript steht!
Leider sind das zu viele Stellen, es würde einfach zu viel Zeit in Anspruch nehmen, die ich nicht habe. Aber vielen Dank!
>
> > Leider verstehe ich noch nichtmal bei der Notation, was
> > dieses hoch (0) bedeutet?
> > Also [mm]x^{(0)}[/mm]
>
> Ganz einfach: Wenn Du - etwa - eine Funktion [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm]
> hast, und Du betrachtest
> eine spezielle Stelle, so hebst Du das hervor, indem Du
> die Stelle etwa [mm]x_0[/mm]
> nennst. ("Ist [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] gegeben mit
> [mm]f(x):=x^2\,,[/mm] so ist die Tangente durch [mm](x_0,f(x_0)) \in \text{graph}(f)[/mm]
> gegeben durch ..., wobei [mm]m=m(x_0):=f\,'(x_0)=2x_0[/mm]..." Sowas
> kennst Du sicher,
> dass Du eine Gleichung einer Tangente angeben sollst!) Die
> Stelle [mm]x_0[/mm] ist dann
> zwar immer noch beliebig wählbar, aber nach einer Wahl
> bleibt sie fest. Sie
> hat den Stellenwert eines Parameters - aber besser gesagt:
> Es ist eine feste
> Stelle [mm]x_0 \in \IR\,.[/mm]
> Wenn Du nun eine Funktion [mm]f \colon \IR^n \to ...[/mm]
> hast, dann kannst Du
> halt auch sagen, dass Du einen Punkt des [mm]\IR^n[/mm] festhalten
> willst. Du kannst
> nun sagen:
> Ich nenne den auch [mm]x_0 \in \IR^n\,.[/mm] Wenn Du nun dessen
> Koordinateneinträge
> aber notieren willst, dann schreibst Du sowas:
> [mm]x_0=(x_{0,1},x_{0,2},...,x_{0,n})\,.[/mm]
> (Wenn ihr Elemente des [mm]\IR^n[/mm] als Spaltenvektoren auffasst,
> dann transponiere
> das Ding halt!)
>
> Kannst Du auch machen, Du musst aber aufpassen, dass Du
> Dich mit sowas
> nicht irgendwann selbst verwirrst. Bei [mm]x^{(0)}[/mm] kannst Du
> halt [mm]x^{(0)}=(x^{(0)}_1,...,x^{(0)}_n)[/mm]
> schreiben - das sieht einfach "natürlicher" aus, wenn man
> es vergleicht,
> wie man sonst Punkte des [mm]\IR^n[/mm] schreibt.
>
> Das deutet also nur an, dass die Stelle [mm]x^{(0)}[/mm] eine feste
> Stelle ist. Du könntest
> auch andere Notationen dafür einführen, was weiß ich:
> [mm]\mathring{x}=(\mathring{x}_1,...,\mathring{x}_n) \in \IR^n[/mm]
> oder [mm]{_0\!x}=({_0\!x}_1,..., {_0\!x}_n) \in \IR^n[/mm] oder ...
>
> Es wäre halt gut, schnell zu erkennen, dass das eine feste
> Stelle ist!
Alles klar, das habe ich verstanden, danke.
Vielen Dank nochmal an alle Helfer!
Mopsi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 So 19.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mopsi,
> Der Gradient ist ein Zeilenvektor, oder?
benutze das so, wie ihr das benutzt. In der Analysis scheint mir das die
gängige Praxis zu sein, arbeitest Du etwa in Numerik, so sieht das
eventuell anders aus. In der Funktionalanalysis schreibt man auch wieder
eher den Spaltenvektor, soweit ich das bisher gesehen habe. In der
Physik ist auch die Spaltenvektornotation wohl gängiger.
Meist ist es - meiner Erfahrung nach - so: Sowohl [mm] $\text{grad}$ [/mm] als auch [mm] $\nabla$ [/mm] ist ein
Symbol für den Gradienten. [mm] $\text{grad}$ [/mm] kenne ich als Zeilenvektornotation,
und [mm] $\nabla$ [/mm] als Spaltenvektornotation: [mm] $\text{grad}=\nabla^T\,.$ [/mm] Das sind aber nur meine
(kleinen) Erfahrungswerte.
> Ich meine
> gehört zu haben, dass man ihn auch als Spaltenvektor
> darstellen kann. Stimmt das?
Naja, klar. Ebenso, wie man mit einer Matrix $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] sagen kann, dass man sie
mit einer linearen Abbildung
[mm] $$f_A(x):=A*x\,,$$ [/mm]
also [mm] $f_A \colon \IR^n \times \IR^m$ [/mm] identifizieren kann, man kann sie aber auch
mit einer linearen Abbildung
[mm] $$g_A(x):=x*A\,,$$
[/mm]
also [mm] $g_A \colon \IR^m \to \IR^n$ [/mm] identifizieren. Man sollte sich halt entscheiden
und ggf. auf die Konvention, die man benutzt, hinweisen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 19.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort, nun weiß ich auch in dieser Hinsicht mehr :)
Mopsi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 19.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy)[/mm].
2. Bestimme die Richtungsableitung von f in (1,0) in Richtung v = (1,-1). |
Dazu muss ich doch nur den Richtungsvektor auf Betrag 1 normieren, dann den Punkt in den Gradienten einsetzen und daraufhin mit dem normierten Richtungsvektor multiplizieren.
Den Gradienten im Punkt (1|0) habe ich ja schon berechnet.
[mm]\textrm{grad } (1,0) = \vektor{1,1}[/mm]
[mm]v_e = \frac{1}{|v|} * v = \frac{1}{\sqrt{2}} * \vektor{1,-1} = \vektor{\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}}[/mm]
[mm]\textrm{grad }(1,0) * v_e = \vektor{1,1} * \vektor{\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} = 0 [/mm]
Korrekt?
Mopsi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y) = ln(x^2+y^2+1) + sin(xy)[/mm].
>
> 2. Bestimme die Richtungsableitung von f in (1,0) in
> Richtung v = (1,-1).
>
>
>
> Dazu muss ich doch nur den Richtungsvektor auf Betrag 1
> normieren, dann den Punkt in den Gradienten einsetzen und
> daraufhin mit dem normierten Richtungsvektor
> multiplizieren.
>
> Den Gradienten im Punkt (1|0) habe ich ja schon
> berechnet.
> [mm]\textrm{grad } (1,0) = \vektor{1,1}[/mm]
>
> [mm]v_e = \frac{1}{|v|} * v = \frac{1}{\sqrt{2}} * \vektor{1,-1} = \vektor{\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}}[/mm]
>
> [mm]\textrm{grad }(1,0) * v_e = \vektor{1,1} * \vektor{\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} = 0[/mm]
>
> Korrekt?
Ja
FRED
>
> Mopsi
>
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![[]](http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png){kind=small}
http://www7.pic-upload.de/18.05.13/sg7evlwoiqjf.png