Aufgabe zum Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Di 09.02.2010 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo. Es geht um folgende Aussage, die mit Induktion bewiesen werden soll.
Sei x [mm] \in \IR\setminus [/mm] { 1 }. Dann gilt [mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] |
IA] z.z. E(1) gilt.
also:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] = [mm] x^{0} [/mm] = 1
= [mm] \bruch{1-x^{1}}{1-x} [/mm] = 1
IS] z.z. E(n) => E(n+1) gilt
IV) E(n) gilt, also [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] kann verwendet werden
es gilt also:
[mm] \summe_{k=0}^{(n+1)-1}x^{k}
[/mm]
=(nach Verw. IV) [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] + [mm] x^{(n+1)-1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] + [mm] x^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{n}+(1-x)x^{n}}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{n}+x^{n}-x^{2n}}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{2n}}{1-x}
[/mm]
hier häng ich nun.... Ich frag mich insbesondere, ob mein Ansatz komplett falsch war.
Gruß, Ralf
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> Hallo. Es geht um folgende Aussage, die mit Induktion
> bewiesen werden soll.
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> Sei x [mm]\in \IR\setminus[/mm] { 1 }. Dann gilt
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm]
> IA] z.z. E(1) gilt.
> also:
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm] = [mm]x^{0}[/mm] = 1
> = [mm]\bruch{1-x^{1}}{1-x}[/mm] = 1
>
> IS] z.z. E(n) => E(n+1) gilt
> IV) E(n) gilt, also [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] kann verwendet
> werden
>
> es gilt also:
> [mm]\summe_{k=0}^{(n+1)-1}x^{k}[/mm]
> =(nach Verw. IV) [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] + [mm]x^{(n+1)-1}[/mm]
> [mm]=\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] + [mm]x^{n}[/mm]
> [mm]=\bruch{1-x^{n}+(1-x)x^{n}}{1-x}[/mm]
Hallo,
nach den Potenzgesetzen gilt immer noch:
[mm] x*x^n=x^{n+1}
[/mm]
Gruß Patrick
> [mm]=\bruch{1-x^{n}+x^{n}-x^{2n}}{1-x}[/mm]
> [mm]=\bruch{1-x^{2n}}{1-x}[/mm]
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> hier häng ich nun.... Ich frag mich insbesondere, ob mein
> Ansatz komplett falsch war.
>
> Gruß, Ralf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 09.02.2010 | | Autor: | RalU |
Ok, danke. Das war ein Fehler mit den Potenzen unten. Danke.
Allerdings komm ich dann immer noch nicht zum Ziel.
War denn mein Ansatz bis dahin in Ordnung?
also unten im IS] steht dann ja:
[mm] =\bruch{1-x^{n}+x^{n}-x^{(n+1)}}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-x^{n}*x}{1-x}
[/mm]
... tja, da gehts dann wieder nicht weiter...
Mein Ziel ist doch: den Ausdruck: [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] zu erreichen, oder nicht?
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Hallo Ralf,
> Ok, danke. Das war ein Fehler mit den Potenzen unten.
> Danke.
>
> Allerdings komm ich dann immer noch nicht zum Ziel.
> War denn mein Ansatz bis dahin in Ordnung?
>
> also unten im IS] steht dann ja:
> [mm]=\bruch{1-x^{n}+x^{n}-x^{(n+1)}}{1-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=\bruch{1\red{+}x^{n+1}}{1-x}[/mm]
Hier hast du aus einem "-" ein "+" gemacht. Wieso?
Richtigerweise steht da [mm] $\frac{1\red{-}x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
Und das soll rauskommen - fertig!
> [mm]=\bruch{1-x^{n}*x}{1-x}[/mm]
> ... tja, da gehts dann wieder nicht weiter...
> Mein Ziel ist doch: den Ausdruck: [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] zu
> erreichen, oder nicht?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 09.02.2010 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, dann steht da:
[mm] \frac{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
, seh ich ein.
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Aber warum soll das rauskommen und nicht
[mm] \frac{1-x^{n}}{1-x} [/mm] ? (vgl. Aufgabenstellung)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Im Induktionsschritt (n --> n+1) mußt Du doch zeigen, dass
$ [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] $
ist
FRED
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