Aufgaben zum Thema Gruppe,Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Di 10.02.2015 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | 1. Welche Elemente [mm] \IZ_{20}[/mm] sind invertierbar, welche sind idempotent?
2. Für welche Zahlen [mm] n \leq 5[/mm] ist [mm]( \IZ_n,+_n,*_n)[/mm] i) ein Ring, ii) ein Körper iii) ein Verband?
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Zu 1:
[mm] \IZ_{20}[/mm] ist eine Restklassenmenge, richtig? Also [mm]\{0,1,2,...,19\}[/mm]?
Ich weiß, dass die Elemente die invertierbar sind teilerfremd zu 20 sein müssen. Warum weiß ich nicht, muss irgend ein Satz sein :P
Also das wäre dann diese Menge: [mm]\{1,3,7,9,11,13,17,19\}[/mm]. Die Elemente dieser Menge sollten invertierbar sein.
Nun wie finde ich die idempotenten Elemente heraus. Ich habe einfach mal rumprobiert. Das neutrale Elemente ist ja die 1.
1*1 = 1
2*42 = 1
3*7 = 1
4*21 = 1
5*21 = 1
Ist da bis hier überhaupt richtig? Und gibt es nicht irgendein Verfahren, außer mein ausprobieren?
Zu 2:
Für jedes n, also {1,2,3,4,5} ist die Algebra ein Halbring, denn die Multiplikation und Addition sind kommutativ, assoziativ und untereinander ditributiv.
Alle sind auch Ringe, da bezüglich der Addition für jedes n ein neutrales Element, nämlich die 0, existiert.
Ein Körper besteht für n = 5,3,2. Bei n=4 scheitert es an der Bedingung, dass die Algebra bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe ist. Das Element 2 besitzt kein inverses.
Was ist eigentlich mit n = 1, da ist nur das Element 0 drin, ein Körper ist aber gerade definiert mit X \ {0}. Was gilt dann überhaupt für n = 1?
Ist das bis hierhin richtig?
Für den Verband muss ich noch überlegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 10.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. Welche Elemente [mm] \IZ_{20}[/mm] sind invertierbar, welche
> sind idempotent?
>
> 2. Für welche Zahlen [mm]n \leq 5[/mm] ist [mm]( \IZ_n,+_n,*_n)[/mm] i) ein
> Ring, ii) ein Körper iii) ein Verband?
>
>
>
>
> Zu 1:
> [mm]\IZ_{20}[/mm] ist eine Restklassenmenge, richtig? Also
> [mm]\{0,1,2,...,19\}[/mm]?
Ich schreibe sie lieber anders, aber so ist das durchaus gängig und auch
üblich (ich würde bspw. [mm] $^{20}\overline{1}$ [/mm] für [mm] $1=[1]=[1]_{20}$ [/mm] schreiben).
> Ich weiß, dass die Elemente die invertierbar sind
> teilerfremd zu 20 sein müssen.
ja, das stimmt. Anders gesagt: $z [mm] \in \{0,...,19\}$ [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn
[mm] $\ggT(z,20)=1.$
[/mm]
> Warum weiß ich nicht, muss irgend ein Satz sein :P
Ach Mensch, dafür gibt es mehrere Begründungen. Eine solltest Du kennen.
Man könnte mit dem Chinesischen Restsatz arbeiten, aber es geht auch
einfacher:
Die Frage lautet doch umformuliert, für welche $z [mm] \in \IZ$
[/mm]
$z*x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 20$
lösbar ist:
1. Wir zeigen, dass [mm] $\ggT(z,20)=1$ [/mm] notwendig für die Invertierbarkeit von [mm] $z\,$ [/mm] ist:
Seien $z,x [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $zx\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 20$. Dann existiert ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$zx-1=k*20.$
Wegen
[mm] $\ggT(z,20) \mid [/mm] (zx-k*20)$
folgt aus $1=zx-k*20$ sodann
[mm] $\ggT(z,20) \mid [/mm] 1$,
und damit auch schon [mm] $\ggT(z,20)=1$.
[/mm]
2. Wir zeigen, dass [mm] $\ggT(z,20)=1$ [/mm] auch hinreichend ist: Nach einem gewissen
Satz gilt
[mm] $z*\IZ+20*\IZ=\ggT(z,20)*\IZ$,
[/mm]
und für [mm] $\ggT(z,20)=1$ [/mm] besagt eben dieser Satz
[mm] $z*\IZ+20*\IZ=\IZ$
[/mm]
und damit insbesondere wegen $1 [mm] \in \IZ$: [/mm] Es gibt $x,k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$z*x+20*k=1$.
Daraus folgt
$zx [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 20$.
Nebenbei: Den ersten Beweisteil hätte man auch direkt mit
[mm] $a*\IZ+b*\IZ=\ggT(a,b)*\IZ$
[/mm]
führen können!
> Also das wäre dann diese Menge: [mm]\{1,3,7,9,11,13,17,19\}[/mm].
Sieht gut aus. Noch ein weiterer Kontrolltipp: Es gibt auch Sätze, die
besagen, wie man die Anzahl der invertierbaren Elemente hier ausrechnen
kann.
Bzw. noch konkreter: Nimm' die Eulersche Phi-Funktion [mm] $\varphi$. [/mm] Wir bräuchten
nun [mm] $\varphi(20)$. [/mm] Nach einem gewissen Satz gilt
[mm] $\varphi(20)=\varphi(2^2*5^1)=(2-1)*2^{2-1}*(5-1)*5^{1-1}=1*2*4*1=8$.
[/mm]
Du hast in passender Weise auch 8 Elemente erfasst, was ein gutes Zeichen
ist. Und ja: Dein Ergebnis ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Die Elemente dieser Menge sollten invertierbar sein.
Genau die Elemente dieser Menge sind die Elemente aus [mm] $\{0,...,19\}$, [/mm] die modulo
20 invertierbar sind!
Gruß,
Marcel
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> 1. Welche Elemente [mm] \IZ_{20}[/mm] sind invertierbar, welche
> sind idempotent?
>
> 2. Für welche Zahlen [mm]n \leq 5[/mm] ist [mm]( \IZ_n,+_n,*_n)[/mm] i) ein
> Ring, ii) ein Körper iii) ein Verband?
> die 1.
> 1*1 = 1
> 2*42 = 1
> 3*7 = 1
> 4*21 = 1
> 5*21 = 1
>
> Ist da bis hier überhaupt richtig? Und gibt es nicht
> irgendein Verfahren, außer mein ausprobieren?
Ob das richtig ist, kannst du dir leicht selbst beantworten, indem du die Definition für "idempotent" nachschlägst, und prüfst, ob die Rechnung $2*42=1$
Erstens) richtig gerechnet ist
Zweitens) etwas mit der nachgeschlagenen Definition zu tun hat.
Spoiler: Es wird sich zeigen, dass bis auf die erste Rechnung die Übrigen nichts mit der Aufgabe zu tun haben und bis auf die dritte Rechnung zudem falsch sind.
Zu der Frage mit dem Verband: Ist dort angegeben, bezüglich welchen Verknüpfungen das einen Verband ergeben soll?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 11.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > 1. Welche Elemente [mm] \IZ_{20}[/mm] sind invertierbar, welche
> > sind idempotent?
> >
> > 2. Für welche Zahlen [mm]n \leq 5[/mm] ist [mm]( \IZ_n,+_n,*_n)[/mm] i) ein
> > Ring, ii) ein Körper iii) ein Verband?
>
> > die 1.
> > 1*1 = 1
> > 2*42 = 1
> > 3*7 = 1
> > 4*21 = 1
> > 5*21 = 1
> >
> > Ist da bis hier überhaupt richtig? Und gibt es nicht
> > irgendein Verfahren, außer mein ausprobieren?
>
> Ob das richtig ist, kannst du dir leicht selbst
> beantworten, indem du die Definition für "idempotent"
> nachschlägst, und prüfst, ob die Rechnung [mm]2*42=1[/mm]
> Erstens) richtig gerechnet ist
ich rechne das einfach mal vor: Man könnte es so rechnen:
$2*42 [mm] \equiv [/mm] 2*2=4 [mm] \mod [/mm] 20$
oder etwas naiver
$2*42=84 [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \mod [/mm] 20$
oder
$2*42=2*2*21 [mm] \equiv [/mm] 2*2*1=4 [mm] \mod [/mm] 20.$
Meines Erachtens gilt $4 [mm] \not=1$ [/mm] auch in [mm] $\IZ_{20}$. [/mm] ^^
Gruß,
Marcel
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