Aufgabenblatt 2 < VK 54: Mathematik des 11. Jahrgangs < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ [mm] \textbf{a)} [/mm] $ Was versteht man unter einer Funktion? Gib die mathematische Definition sowie zwei Beispiele aus dem Alltag an.
$ [mm] \textbf{b)} [/mm] $ Welche Arten von Funktionen und welche Möglichkeiten zu deren algebraischer Darstellung kennst Du? Gib zu jeder Art ein Beispiel an.
$ [mm] \textbf{c)} [/mm] $ Was versteht man unter einer Zuordnungsvorschrift und worin besteht der Unterschied zu einer Funktionsgleichung?
$ [mm] \textbf{d)} [/mm] $ Gegeben sind die Funktionen:
$ [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}x [/mm] + 1 $ $ [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] 2x^2 [/mm] + 3x - [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] f_3(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x} [/mm] $ $ [mm] f_4(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}x^3-x [/mm] $
Stelle die Graphen der Funktionen in einem Koordinatensystem dar und berechne ihre Achsenschnittpunkte. Ermittle (so vorhanden) die gegenseitigen Schnittpunkte der Funktionen graphisch und wenn möglich auch rechnerisch.
Viel Erfolg! |
1a:
Unter einer Funktion versteht man eine eindeutige Zuordnung. Wobei x das Funktionsargument ist und y bzw f(x) der zugeordnete Funktionswert.
Bsp1: Die Handyrechnung zb ist eine Funktion. Für jede telefonierte Minute(x)
wird ein eindeutiger Wert in Euro zugeordnet.[f(x)]
zb: bei Vertrag AB fallen 20 Euro Grundgebühr an, die Minute kostet 0.20 Euro.
Daraus ergibt sich eine lineare funktion: f(x)=0,20x+20
Bsp2: Eine Transfusion im Krankenhaus zb. Man nehme an der Beutel hat einen Inhalt von einen Liter und jede Minute(x) wird 20 ml dem Körper hinzugefügt. Daraus ergibt sich f(x)=-20x+1000
Das ist der einfachheit wieder eine lineare Funktion.
1b: Ich kenne lineare Funktionen(f(x)=mx+n) und Funktionen höherer Ordnung ( f(x)= [mm] ax^n+bx^{n-1}+....+cx+d
[/mm]
Bsp: Lineare Funktion: f(x)=0,20x+20
Bsp: Höhere ordnung: f(x)= 0.20x³+0.40x²+0.80x+1.6
1c: Ich möge mich irren, aber: Eine Zuordnungsvorschrift ist die Art und weise wie dem Argument x der Wert y zugeordnet wird.
Wo da dann genau der Unterschied ist weiss ich aber aus dem Stehgreif ehrlich gesagt auch nicht.
Aufgabe d folgt seperat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mo 23.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> [mm]\textbf{a)}[/mm] Was versteht man unter einer Funktion? Gib die
> mathematische Definition sowie zwei Beispiele aus dem
> Alltag an.
>
> [mm]\textbf{b)}[/mm] Welche Arten von Funktionen und welche
> Möglichkeiten zu deren algebraischer Darstellung kennst
> Du? Gib zu jeder Art ein Beispiel an.
>
> [mm]\textbf{c)}[/mm] Was versteht man unter einer
> Zuordnungsvorschrift und worin besteht der Unterschied zu
> einer Funktionsgleichung?
>
> [mm]\textbf{d)}[/mm] Gegeben sind die Funktionen:
>
> [mm]f_1(x) = -\frac{3}{2}x + 1[/mm] [mm]f_2(x) = 2x^2 + 3x - \frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f_3(x) = \frac{1}{x}[/mm] [mm]f_4(x) = \frac{1}{4}x^3-x[/mm]
>
> Stelle die Graphen der Funktionen in einem
> Koordinatensystem dar und berechne ihre
> Achsenschnittpunkte. Ermittle (so vorhanden) die
> gegenseitigen Schnittpunkte der Funktionen graphisch und
> wenn möglich auch rechnerisch.
> Viel Erfolg!
>
> 1a:
>
> Unter einer Funktion versteht man eine eindeutige
> Zuordnung. Wobei x das Funktionsargument ist und y bzw f(x)
> der zugeordnete Funktionswert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber Definitions- und Zielmenge sollten unbedingt auch erwähnt werden,
denn sie gehören zwingend zu der jeweiligen Funktion dazu.
>
> Bsp1: Die Handyrechnung zb ist eine Funktion. Für jede
> telefonierte Minute(x)
> wird ein eindeutiger Wert in Euro zugeordnet.[f(x)]
>
> zb: bei Vertrag AB fallen 20 Euro Grundgebühr an, die
> Minute kostet 0.20 Euro.
>
> Daraus ergibt sich eine lineare funktion: f(x)=0,20x+20
>
> Bsp2: Eine Transfusion im Krankenhaus zb. Man nehme an der
> Beutel hat einen Inhalt von einen Liter und jede Minute(x)
> wird 20 ml dem Körper hinzugefügt. Daraus ergibt sich
> f(x)=-20x+1000
>
> Das ist der einfachheit wieder eine lineare Funktion.
>
> 1b: Ich kenne lineare Funktionen(f(x)=mx+n) und Funktionen
> höherer Ordnung ( f(x)= [mm]ax^n+bx^{n-1}+....+cx+d[/mm]
Habt Ihr auch
- trigonometrische Funktionen z.B: f(x) = sin x, f(x) = cos x
- Exponentialfunktionen z.B. $ f(x) = [mm] 2^x$, [/mm] $ f(x) = [mm] 5^x$, [/mm] $ f(x) = [mm] e^x$
[/mm]
- Wurzelfunktionen z.B.: $ f(x) = [mm] \wurzel{3+x}$
[/mm]
- rationale Funktionen z.B. $ f(x) = [mm] \bruch{a_nx^n+a_{n-1}^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}^{m-1}+\ldots+b_1x+b_0}$
[/mm]
-Logarithmusfunktionen z.B.: $f(x) = ln x$, $f(x) = lg x$, $f(x) = [mm] log_a [/mm] x$
behandelt?
(Definitions- und Zielmenge sind jeweils zu berücksichtigen,
habe ich aber weggelassen.)
>
> Bsp: Lineare Funktion: f(x)=0,20x+20
> Bsp: Höhere ordnung: f(x)= 0.20x³+0.40x²+0.80x+1.6
>
> 1c: Ich möge mich irren, aber: Eine Zuordnungsvorschrift
> ist die Art und weise wie dem Argument x der Wert y
> zugeordnet wird.
>
> Wo da dann genau der Unterschied ist weiss ich aber aus dem
> Stehgreif ehrlich gesagt auch nicht.
Eine Funktionsgleichung ist der Spezialfall einer Zuordnungsvorschrift.
Bei einer Funktionsgleichung kann die Zuordnung durch einen Term, bzw.
mit dem y= oder f(x)= zusammen durch eine Gleichung angeben werden.
Alle Beispiele oben sind mit Funktionsgleichungen angegeben.
Eine Zuordnungsvorschrift könnte aber auch so aussehen:
[mm] $f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
oder
[mm] $f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x < 0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \\ 2 +3x, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
oder wenn man kleine Mengen hat z.B.: $f: [mm] \{1,5,6,9\} \to \{1,2,6,10\}$
[/mm]
f(1) = 10, f(5) = 2, f(6) = 6, f(9) = 1
direkt jeden Funktionswert angeben, oder auch als Wertetabelle aufschreiben.
> Aufgabe d folgt seperat.
Gruß
meili
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 02:57 Di 24.01.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Moin Flo (und Meili)!
Soweit so gut - die Aufgabenteile a) bis c) sind (auch dank Meili) hinreichend beantwortet. Solltest Du, Flo, noch Fragen dazu haben, nur zu.
Ansonsten warten wir auf Deine Lösungen zu Aufgabenteil d).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Di 24.01.2012 | | Autor: | switchflo |
Zitat:
Habt Ihr auch
- trigonometrische Funktionen z.B: f(x) = sin x, f(x) = cos x
- Exponentialfunktionen z.B. $ f(x) = [mm] 2^x [/mm] $, $ f(x) = [mm] 5^x [/mm] $, $ f(x) = [mm] e^x [/mm] $
- Wurzelfunktionen z.B.: $ f(x) = [mm] \wurzel{3+x} [/mm] $
- rationale Funktionen z.B. $ f(x) = [mm] \bruch{a_nx^n+a_{n-1}^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}^{m-1}+\ldots+b_1x+b_0} [/mm] $
-Logarithmusfunktionen z.B.: $ f(x) = ln x $, $ f(x) = lg x $, $ f(x) = [mm] log_a [/mm] x $
behandelt?
(Definitions- und Zielmenge sind jeweils zu berücksichtigen,
habe ich aber weggelassen.)
Ja gehört habe ich davon, stimmt! Aber behandelt haben wir die nicht.
Danke für die Erläuterungen bezüglich der Zuordnungsvorschriften. Das war mir so nicht klar.
Lg Flo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 24.01.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Um ein wenig Struktur in die unterschiedlichen Funktionsarten zu bringen hier eine Klassifizierung. Dabei schreibe ich der Einfachheit halber [mm]x[/mm] anstatt "unabhängige Variable" wie es korrekt wäre. Auch ich lasse hier die Definitions- und Wertebereiche weg - darum kümmern wir uns, wenn die Zeit gekommen ist.
- Trigonometrische Funktionen sind Funktionen, in deren Termen das [mm]x[/mm] ausschließlich als Argument
von Winkelfunktionen (meist [mm] $\sin [/mm] x$, [mm] $\cos [/mm] x$ oder [mm] $\tan [/mm] x$) auftaucht. Prinzipiell gehören auch noch [mm] $\csc [/mm] x$,
[mm] $\sec [/mm] x$ und [mm] $\cot [/mm] x$ dazu, sie werden in der Schule aber nur von Lehrern behandelt, die sich meinen
beweisen zu müssen. Sie sind (zumindest bisher) kein Abiturstoff.
- Exponentialfunktionen enthalten das [mm]x[/mm] ausschließlich als Exponenten von Potenzen; z.B. [mm] $a^x$.
[/mm]
- Rationale Funktionen bestehen aus Potenztermen von [mm]x[/mm] mit ausschließlich ganzzahligen Exponenten;
z.B.: [mm] $x^3+x^{-1} [/mm] - [mm] \frac{2-x}{x^2+5}$.
[/mm]
- Ganzrationale Funktionen (auch Polynome) haben ausnahmslos natürliche Exponenten,
z.B.: [mm] $x^3 [/mm] + x$.
- Gebrochenrationale Funktionen enthalten Potenzen von [mm]x[/mm] mit negativem Exponenten bzw.
Potenzen von [mm]x[/mm] im Nenner eines Bruches (Äquivalenz nach dem Potenzgesetz
[mm] $a^{-n} [/mm] = [mm] \frac{1}{a^n}$); [/mm] z.B.: [mm] $5x^{-3} [/mm] + 4$ oder auch [mm] $\frac{5}{x^3} [/mm] + 4$.
- Reelle Funktionen (auch Wurzelfunktionen) enthalten Potenzen von [mm]x[/mm] mit rationalen Exponenten bzw.
das [mm]x[/mm] steht in Wurzeln; z.B.: [mm] $x^{\frac{3}{2}}$ [/mm] oder auch [mm] $\sqrt{x^3}$.
[/mm]
- Logarithmische Funktionen enthalten das [mm]x[/mm] als Argument von Logarithmen; z.B. [mm]\ln x[/mm], [mm]\log_3 x[/mm].
Diese Funktionstypen können auf mathematische Art miteinander verknüpft werden, sodass gemischte Funktionstypen entstehen. So treten in der Schulmathematik beispielsweise häufig Funktionen der Art [mm]f(x) = \left(x^2 - 5\right) \cdot \ln {3x}[/mm], [mm]g(x) = x^4\cdot \sin(2x-\pi)[/mm] oder [mm]h(x) = \frac{1-e^x}{\sqrt{x^2+2}}[/mm] auf.
Bis auf die Gebrochenrationalen Funktionen sind die genannten Funktionstypen (spätestens seit G8) Stoff des normalen Gymnasialsystems in der 10. Klasse. Das heißt, Du solltest die unbedingt nachholen. Ich werde das nächste Aufgabenblatt diesen Funktionen widmen und Dir Lernmaterial dazu zu Verfügung stellen.
Es existieren natürlich noch viele weitere Funktionstypen, die aber in der Regel höchstens im Leistungskurs verlangt werden. Wenn Du Verlangen nach mehr verspürst, lass' es mich wissen.
Gruß - Kalle.
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| Aufgabe | $ [mm] \textbf{d)} [/mm] $ Gegeben sind die Funktionen:
$ [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}x [/mm] + 1 $ $ [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] 2x^2 [/mm] + 3x - [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
$ [mm] f_3(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{x} [/mm] $ $ [mm] f_4(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}x^3-x [/mm] $
Stelle die Graphen der Funktionen in einem Koordinatensystem dar und berechne ihre Achsenschnittpunkte. Ermittle (so vorhanden) die gegenseitigen Schnittpunkte der Funktionen graphisch und wenn möglich auch rechnerisch.
Viel Erfolg! |
$ [mm] f_1(x) [/mm] = $ [mm] f_2(x) [/mm]
Schneiden sich an zwei [mm] Punkten:P_1(\bruch{-9+\wurzel{129}}{8}|f(\bruch{-9+\wurzel{129}}{8})) P_2(\bruch{-9-\wurzel{129}}{8}|f(\bruch{-9-\wurzel{129}}{8}))
[/mm]
$ [mm] f_1(x) [/mm] = $ [mm] f_3(x) [/mm]
Haben keinen Schnittpunkt!
$ [mm] f_1(x) [/mm] = $ [mm] f_4(x) [/mm]
Ich hab keine ahnung wie ich die Nullstellen bestimmen kann da ich keinen Teiler finde.
Es ergibt sich folgende Funktion: $ f_14(x)=-0,25x³-0,5x+1
Ablesen wäre ziemlich ungenau.
$ [mm] f_2(x) [/mm] = $ [mm] f_3(x)
[/mm]
Hier das selbe Problem. f_23(x)= 2x³+3x²-0,5x-1=0
$ [mm] f_2(x) [/mm] = $ [mm] f_4(x)
[/mm]
Das selbe. f_24(x)=-0,25x³+2x²+2x-0,5
$ [mm] f_3(x) [/mm] = $ [mm] f_4(x)
[/mm]
Es gibt zwei Schnittpunkte im Bereich der reelen Zahlen.
[mm] P_1(2,197368227|f(2,197368227) P_2(-2,197368227|f(-2,197368227))
[/mm]
Hoffe es ist alles verständlich. Lg Flo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Do 26.01.2012 | | Autor: | switchflo |
grafische Darstellung. ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Do 26.01.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Schön, dass Du Funktionsplotter kennst und damit umgehen kannst (ist wohl auch nicht so schwer) ;o)
Wenn Du in der Klausur allerdings Funktionsgraphen zeichnen sollst, wirst Du keinen Funktionsplotter verwenden dürfen. Die Aufgabenstellung war so gemeint, dass Du die Graphen von Hand zeichnest. Der tiefere Sinn besteht darin, dass Du mit ein wenig Übung mal eben einen Funktionsgraphen skizzieren kannst oder (im Idealfall) gar nicht mehr skizzieren musst, weil Du den Verlauf des Graphen schon hinreichend genau vor dem inneren Auge hast. In den späteren Klausuren werden graphische Darstellungen nicht mehr unbedingt verlangt - sie sind aber häufig ungemein hilfreich, um sich viele Sachverhalte zu verdeutlichen und die Rechnung auf Plausibilität zu prüfen.
Gruß - Kalle.
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Moin Flo!
Die Schnittstellen ([mm]x[/mm]-Werte) von [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] bzw. [mm]f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm] hast Du soweit richtig berechnet, allerdings ist diese Art der Punktangabe unzureichend: Die [mm]y[/mm]-Koordinate muss natürlich auch berechnet werden. Als ersten Schnittpunkt zwischen [mm]f_1[/mm] und [mm]f_4[/mm] erhält man dann:
[mm]P_1 \left(\frac{-9+\sqrt{129}}{8}\,|\,\frac{43-3\sqrt{129}}{16}\right).[/mm]
[mm]f_1[/mm] und [mm]f_3[/mm] besitzen in der Tat keinen Schnittpunkt - korrekt.
Die Schnittstellen zwischen [mm]f_1[/mm] und [mm]f_4[/mm], [mm]f_2[/mm] und [mm]f_3[/mm] bzw. [mm]f_2[/mm] und [mm]f_4[/mm] findet man rechnerisch nur mit numerischen Verfahren, die Du noch nicht kennst. Die Aufgabenstellung fordert allerdings explizit, dass sämtliche Schnittpunkte (auch) graphisch zu bestimmen sind. Du kannst also nicht antworten, dass Ablesen zu ungenau wäre. Mit einer guten Zeichnung, lassen sich die Punkte auf mindestens eine Dezimalstelle genau ablesen.
Gruß - Kalle.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Fr 27.01.2012 | | Autor: | switchflo |
Hey! :)
Ja gut, ich hätte die natürlich selbst zeichnen können. Aber ich wollte mich von meinen Fotos verabschieden :D Das nächse mal mache ich vom Graphen also wieder ein Foto.
Die y-Koordinate stelle ich in Zukunft auch genauer da! Ich dachte der Sinn der Übung läge darin die Schnittpunkte, sofern denn vorhanden, zu bestimmen. Daher hab ich da nicht weiter gerechnet.
Lg Flo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Sa 28.01.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Dazu noch was: Genau - es sollten die Schnittpunkte bestimmt werden und wenn von Punkten die Rede ist, sind immer vollständige Punkte (also mit [mm]x[/mm]- und [mm]y[/mm]-Koordinate) gemeint. Wenn nur [mm]x[/mm]-Koordinaten berechnet werden sollen, wird in der Regel von "Stellen" gesprochen; z.B. Nullstellen, Extremstellen ect. Sind hingegen nur [mm]y[/mm]-Koordinaten zu berechnen, sind die "Werte" gefragt; z.B. Funktionswerte, Ableitungswerte etc.
Gruß - Kalle.
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