Aufgabenblatt 9.3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Es sei R [mm] \not= [/mm] 0 ein kommutativer Ring. Ist dann {0} immer ein Primideal? |
| Aufgabe 2 | | Ist der Ring der Gaußschen Zahlen, Z[i], ein Hauptidealring? |
| Aufgabe 3 | | Es sei K ein Körper und R [mm] \not= [/mm] 0 ein beliebiger Ring. Kann ein Ringhomomorphismus f : K [mm] \to [/mm] R dann einen nicht-trivialen Kern haben? |
| Aufgabe 4 | | Es seien R und R` zwei nicht-triviale Ringe und f : R [mm] \to [/mm] R` ein Homomorphismus von Ringen. Gilt dann [mm] f^{x} \subset [/mm] R`^{x} ? |
| Aufgabe 5 | | Ist der Restklassenring Z[i]=(3 - i) isomorph zu Z=10Z? |
Diese Aufgaben sollen nur mit Ja oder Nein beantwortet werden (ohne Beispiele oder Begründungen). Könnte da eventuell jemand drüber schauen und mir sagen, ob ich die richtigen Antworten gegeben habe ? Danke.
1) Nein
2) Ja
3) Ja
4) Nein
5) Nein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Mo 18.01.2021 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Ich nehme die Ringe mal so wie im Buch von Lang, also mit 1 und 1 [mm] $\not=$ [/mm] 0, und dann auch bei Ringhomomorphismen f(1) = 1.
> Es sei R [mm]\not=[/mm] 0 ein kommutativer Ring. Ist dann {0} immer
> ein Primideal?
> Ist der Ring der Gaußschen Zahlen, Z, ein
> Hauptidealring?
> Es sei K ein Körper und R [mm]\not=[/mm] 0 ein beliebiger Ring.
> Kann ein Ringhomomorphismus f : K [mm]\to[/mm] R dann einen
> nicht-trivialen Kern haben?
> Es seien R und R' zwei nicht-triviale Ringe und f : R [mm]\to[/mm]
> R' ein Homomorphismus von Ringen. Gilt dann [mm]f^{x} \subset[/mm]
> R'^{x} ?
> Ist der Restklassenring Z=(3 - i) isomorph zu Z=10Z?
> 1) Nein
>
> 2) Ja
>
> 3) Ja
Der Kern ist doch ein Ideal, und ein Körper hat nur die trivialen Ideale. Also nein.
>
> 4) Nein
Das habe ich nicht verstanden. Ist [mm] f(R^{x}) \subset [/mm] $R'^{x}$ gemeint? Dann ja.
>
> 5) Nein
Ist [mm] \IZ[i]/(3 [/mm] - i) isomorph zu [mm] \IZ/10\IZ [/mm] gemeint? Dann ja.
Als additive Gruppen sind sie es sowieso, und die Multiplikation ergibt sich daraus.
>
Gruß Dieter
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Vielen Dank. Hat mir wie immer sehr weiter geholfen. =)
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