Aufgabenstellung: Man zeige, es gibt... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mi 05.05.2004 | | Autor: | spijker |
Ich hätte da mal eine Frage... :)
Wenn die Aufgabenstellung heißt:
a sei aus den reellen Zahlen. Man zeige, DASS ES Zahlen m,n aus den nat. Zahlen GIBT mit |ma-n| < 1/2
reicht das dann eigentlich nicht, wenn ich ein paar Beispiele bringe und damit gezeigt habe, dass es (mind. 3 or whatever) Möglichkeiten für a,m und n mit der gegebenen Bedingung gibt?? Oder muss ich da irgendwas aufwendig beweisen?
Es geht mir auch generell um diese Aufgabenformulierung.
Liebe Grüße
spijker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hi spijker,
eine solche Aufgabenstellung erfordert immer einen allgemeingültigen Beweis. Beidspiele reichen nie aus, um eine Behauptung zu beweisen, sondern nur, um diese zu widerlegen.
Eventuell wählst Du gerade die Beispiele aus, die in Deinem Fall zutreffend sind, jedoch auch nur "ausnahmen" sind. Beispiel:
[mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] -> gilt erst ab n >=5. Wenn Du nur die ersten drei natürlichen Zahlen als Beispiel nehmen würdest, wäre Deine Behauptung ja, dass diese Ungleichung generell falsch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 05.05.2004 | | Autor: | spijker |
Mmmmmh, schade... :(
Dann muss ich mir ja echt Gedanken machen ;)
Trotzdem: Danke!
spijker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen!
> Mmmmmh, schade... :(
> Dann muss ich mir ja echt Gedanken machen ;)
Für n und m würde es natürlich schon reichen, einfach nur ein Beispiel zu finden.
Allderings müßtest du für jedes a ein solches Beispiel finden; dein Beispiel für n und m würde also in der Regel sowieso von a abhängen.
Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 05.05.2004 | | Autor: | spijker |
Danke marc,
So leuchtet mir das schon ein!
Reicht es dann zu sagen, dass es für |ma-n| < 1/2 zwei Fälle gibt:
1.Fall: n < 1/2+ma für ma-n = negativ
2.Fall: n > ma-1/2 für ma-n = nichnegativ
Nun kann ich für jedes beliebige a aus den reellen Zahlen mir ein frei wählbares m aus den ganzen Zahlen (sorry, es waren nicht die nat. Zahlen!) nehmen. Da die ganzen Zahlen weder nach unten noch nach oben beschränkt sind, kann ich immer ein n finden, dass kleiner als der rechte Term der Ungleichung im 1.Fall bzw. größer als der rechte Term der Ungleichung im Fall 2 ist. Es gibt also für jedes a ganze Zahlen m und n, die diese Bedingung erfüllen.
q.e.d.??!
Einen guten Schlaf wünscht:
spijker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo spijker,
> Danke marc,
>
> So leuchtet mir das schon ein!
>
> Reicht es dann zu sagen, dass es für |ma-n| < 1/2 zwei
Bist du sicher, dass es $<$ heißt und nicht [mm] $\le$?
[/mm]
Falls tatsächlich $<$ gemeint ist, dürfte es ein Gegenbeispiel geben, so dass die Aussage nicht stimmt.
Sag' doch eben noch, ob $<$ oder [mm] $\le$, [/mm] dann poste ich ggfs. mein Gegenbeispiel oder du sogar?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:46 Do 06.05.2004 | | Autor: | spijker |
Hallo Marc,
Also auf meinem Aufgabenzettel steht wirklich < !
Mmmh, Gegenbeispiel... ? Bin heute morgen noch nicht so auf Trapp und muss jetzt zur Uni - ich denke mal drüber nach, aber du darfst ruhig trotzdem dein Beispiel posten. Mein Unitag ist heute bös lang und stressig...
Einen sonnigen Tag wünscht:
spijker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo spijker,
> Also auf meinem Aufgabenzettel steht wirklich < !
Ja, du hast Recht, mein Gegenbeispiel hat sich erledigt, als ich es dir gerade mitteilen wollte 
Zur Info: Ich hatte an [mm] $a=\bruch{1}{2}$ [/mm] gedacht, aber für $m=2$ und $n=1$ ist die Ungleichung natürlich erfüllt.
Ich werde mich dann gleich mal an den Beweis setzen.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Do 06.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Versteh' ich nicht so ganz, entweder ich steh' heute morgen auf dem Schlauch oder die Aufgabe ist trivial:
Sei $a [mm] \in [/mm] R$ beliebig, wähle $n,m [mm] \in [/mm] Z$ (letzte Aussage von spijker) mit $n=m=0$, dann ist doch $|na-m|<1/2$ in jedem Fall gegeben?!
Macht's gut
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Oliver,
> Sei $a [mm] \in [/mm] R$ beliebig, wähle $n,m [mm] \in [/mm] Z$ (letzte Aussage
> von spijker) mit $n=m=0$, dann ist doch $|na-m|<1/2$ in
> jedem Fall gegeben?!
ich hatte spijker jetzt so verstanden:
[mm] $a\in \IR, [/mm] m [mm] \in \IZ, \blue{n \in \IN, \IN=\{1,2,\ldots\}}$
[/mm]
Aber das habe ich auch nur angenommen, weil sonst Eurer triviales Beispiel alles unsinnig machen würde
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 06.05.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Marc,
> ich hatte spijker jetzt so verstanden:
> [mm] $a\in [/mm] IR, m [mm] \in \IZ, \blue{n \in \IN,
> \IN=\{1,2,\ldots\}}$
[/mm]
>
> Aber das habe ich auch nur angenommen, weil sonst Eurer
> triviales Beispiel alles unsinnig machen würde
Achso ... das sollte man aber vielleicht noch genauer klären :))
Mach's gut
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo spijker,
und, hast du ein Beweis-Idee gehabt heute während deines langen Uni-Tages !
Die Frage ist natürlich, welche Voraussetzungen man annehmen kann bzw. welche Sätz Ihr schon hattet in der Vorlesung.
Schreib und doch mal das Thema, was Ihr gerade durchnehmt, und vielleicht ein paar Sätze, die "so ähnlich" sind... Gibt es vielleicht sogar einen Link auf Eurer Vorlesungsskript?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 06.05.2004 | | Autor: | spijker |
Hi Marc und Oliver,
Das mit m=n=0 wäre schön gewesen... war zwar durch die Aufgabenstellung nicht ausgeschlossen aber jetzt in der Vorlesung meinte der Prof, DAS will er natürlich nicht haben... wäre ja trivial...
Ein Skript im Internet hat der gute Mann ebenfalls nicht. Ist zwar gar nicht so übel, weil man dann mehr oder weniger dazu gezwungen wird, in die Vorlesung zu gehen - aber manchmal gerade deswegen auch ätzend...
Ja, also man sollte das mit den Mitteln von 5 Analysis1-Vorlesungen lösen:
-Körper- und Ordnungsaxiome
-Vollständigkeitsaxiom, Satz von Archimedes
-beschränkt (sup, inf), abzählbar
-vollständige Induktion, Bernoullische Ungleichung
Hab' ich mir das da zu einfach gemacht, die Ungleichung einfach nach n aufzulösen und dann damit zu argumentieren, dass die ganzen Zahlen (ich bekomme diese Zeichen einfach nicht in den Text!!!) weder nach oben noch nach unten beschränkt sind und ich somit für jedes frei wählbare m (ungleich 0) immer ein "passendes" n finden kann??
spijker
*fragendschau*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Fr 07.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
also: ich nehme jetzt einfach $a > 0$ an und für $a [mm] \in \IQ$ [/mm] ist die Behauptung klar (das ist eine einfache Überlegung, wenn die Voraussetzungen so sind, wie Marc sie formuliert hat). (Entsprechende Überlegungen lassen sich dann analog (mit Marc's Voraussetzungen an $m,n$) auch auf den Fall $a<0$ übertragen. Für $a=0$ ist ferner die Behauptung klar).
Sei also $a [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] und $a > 0$. Dann ist offenbar auch für jedes natürliche $k$ die Zahl $(k*a) [mm] \in \IR \setminus \IQ$.
[/mm]
Wir wählen $l [mm] \in \IN$ [/mm] so groß, dass ein natürliches $p$ existiert mit der Eigenschaft:
(*) $p < 4*l*a [mm] \le [/mm] p+1$.
Da $(4*l*a) [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] gilt, sind wegen (*) folgende Eigenschaften erfüllt:
(I) $4*l*a - p < 1$ und
(II) $(p+1)-4*l*a < 1$.
(das '='-Zeichen kann nicht auftauchen, da [mm](4*l*a) \in \IR \setminus \IQ[/mm]).
Wir definieren $m:=2*l$ [mm] (\in \IN). [/mm] Dann folgt aus (I):
(**) $m*a - [mm] \bruch{p}{2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
und aus (II) folgt:
(***) [mm] $\bruch{p+1}{2} [/mm] - m*a < [mm] \bruch{1}{2}$.
[/mm]
Da $p [mm] \in \IN$ [/mm] ist, ist entweder $p$ gerade oder halt ungerade.
Ist nun $p$ gerade, so definieren wir [mm] $n:=\bruch{p}{2} (\in \IN)$ [/mm] und dies liefert wegen (**) das Gewünschte.
Ist nun $p$ ungerade, so ist $p+1$ gerade. Dann definieren wir [mm]n:=\bruch{p+1}{2} (\in \IN)[/mm] und dies liefert wegen (***) das Gewünschte.
Ich hoffe, dass das so korrekt ist. Vielleicht kann ja noch jemand den Fall [mm]a < 0[/mm] ausformulieren (man muss dann aber drauf achten, dass man an manchen Stellen entsprechende Zahlen in [mm] $\IZ$ [/mm] findet). Das sollte aber analog gehen (wenn ich keine Fehler gemacht habe)
Viele Grüße
Marcel
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Ich denke, man kann das recht schnell anschaulich beweisen, wenn man nicht zu formal sein will:
Das ganze ist nichts anderes als eine Variante der Aussage, dass Q dicht in R liegt, wie man an der Umformung [mm] |a-\bruch{n}{m}|<\bruch{1}{2m} [/mm]
sieht.
Sind [mm] a \in \IR / \IQ [/mm] und [mm] m \in \IN [/mm] beliebig, so betrachte das Gitter der Punkte [mm] \{b_n = \bruch{n}{m} }\} _{n \in \IZ [/mm] . Nun muss [mm]a [/mm] in einem der Intervalle der Laenge [mm]1/m [/mm] liegen. Also ist der Abstand zum rechten oder linken Randpunkt hoechstens [mm] \bruch{1}{2m} [/mm]. Fertig.
Streng formal folgt das ganze mit dem Ansatz: Seien [mm]a,m>0; n=sup\{k \in \IN | \bruch{k}{m}
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