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Hallo
Ich habe ein paar allgemeine Fragen zu einem aufgespannten Raum und Vektorräume:
Gilt dies: W ist ein Untervektorraum von V, wenn [mm] W\subset [/mm] V und W selbst ein Vektorraum ist?
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] v_{i}\inV
[/mm]
Dann ist [mm] span(v_{i})\subsetV
[/mm]
Wenn wir als Beispiel [mm] \IR^{3} [/mm] als Vektorraum nehmen und span wählen als:
[mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}).
[/mm]
Das ist doch span nicht nur Teilmenge sondern: [mm] span=\IR^{3} [/mm] oder?
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Hallo,
> Hallo
> Ich habe ein paar allgemeine Fragen zu einem aufgespannten
> Raum und Vektorräume:
> Gilt dies: W ist ein Untervektorraum von V, wenn [mm]W \subset V[/mm]
> und W selbst ein Vektorraum ist?
Sei $\ W [mm] \subseteq [/mm] V $ und $\ V $ ein Vektorraum über einem Körper $\ [mm] \IK$
[/mm]
$\ W $ ist genau dann ein Untervektorraum von $\ V$, wenn
U1) $\ 0 [mm] \in [/mm] W $
U2) $\ v,w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] W $
u3) $\ v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in \IK \Rightarrow \lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] W $
>
> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]v_{i} \in V[/mm]
> Dann ist [mm]span(v_{i}) \subset V[/mm]
Es müsste auch heissen [mm]span(v_{i}) \red{\subseteq} V[/mm]
> Wenn wir als Beispiel [mm]\IR^{3}[/mm] als Vektorraum nehmen und
> span wählen als:
> [mm]span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ \red{1}}).[/mm]
>
> Das ist doch span nicht nur Teilmenge sondern: [mm]span=\IR^{3}[/mm]
> oder?
Ja. Die drei Basisvektoren erzeugen $\ [mm] \IR^3 [/mm] $ und sind linear Unabhängig, also eine Basis von $\ [mm] \IR^3 [/mm] $
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:11 Di 23.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ich habe ein paar allgemeine Fragen zu einem
> aufgespannten
> > Raum und Vektorräume:
> > Gilt dies: W ist ein Untervektorraum von V, wenn [mm]W \subset V[/mm]
> > und W selbst ein Vektorraum ist?
>
> Sei [mm]\ W \subseteq V[/mm] und [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum über einem
> Körper [mm]\ \IK[/mm]
>
> [mm]\ W[/mm] ist genau dann ein Untervektorraum von [mm]\ V[/mm], wenn
>
> U1) [mm]\ 0 \in W[/mm]
> U2) [mm]\ v,w \in W \Rightarrow v+w \in W[/mm]
> u3) [mm]\ v \in W, \lambda \in \IK \Rightarrow \lambda w \in W[/mm]
hier sind Addition und Skalarmultiplikation von $V$ gemeint.
Dies bedeutet jedoch noch lange nicht, dass die von $V$ geerbte Vektorraumstruktur auf $W$ der urspruenglichen Vektorraumstruktur von $W$ entspricht.
Zum Beispiel kann man [mm] $\IR \times \{ 0 \}$ [/mm] auf verschiedene Art und Weisen als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] auffassen (einfach eine Bijektion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] verwenden), jedoch auf nur eine Art und Weise als [mm] $\IR$-Untervektorraum [/mm] von [mm] $\IR^2$.
[/mm]
LG Felix
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hey ok danke
jetzt hab ich aber eine andere Frage:
Z.b für :
[mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) =\IR^{3}
[/mm]
Die Dimension von span ist ja 3, weil span einer Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist mit der Basislänge 3.
Was ist dann mit:
[mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0}), [/mm] mit [mm] \lambda \in\IR.
[/mm]
Ist nun die Dimension 2 oder doch noch 3? Und wo liegt der Unterschied zwischen den beiden aufgespannten Räume und wie verhalten sie sich zu [mm] \IR^{3}?
[/mm]
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> hey ok danke
> jetzt hab ich aber eine andere Frage:
> Z.b für :
> [mm]span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0}) =\IR^{3}[/mm]
>
> Die Dimension von span ist ja 3, weil span einer
> Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm] ist mit der Basislänge 3.
Hallo,
nein, die Dimension des Spanns ist hier nur =2, denn die drei erzeugenden Vektoren sind doch keine Basis.
> Was ist dann mit:
> [mm]span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0})
=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}).
Die Dimension ist =2, genau wie oben.
,[/mm] mit [mm]\lambda \in\IR.[/mm]
> Ist nun
> die Dimension 2 oder doch noch 3? Und wo liegt der
> Unterschied zwischen den beiden aufgespannten Räume und
> wie verhalten sie sich zu [mm]\IR^{3}?[/mm]
Es gibt keinen Unterschied. Beide sind gleich, und sie sind zweidimensionale Unterräume des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Gilt dies: W ist ein Untervektorraum von V, wenn [mm]W\subset[/mm]
> V und W
mit den Verknüpfungen aus V
> selbst ein Vektorraum ist?
Hallo,
ja, das ist die Definition für Untervektorraum,
und ChopSuey hat Dir die Kriterien genannt, mit denen man das prüfen kann.
Gruß v. Angela
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hey sry, hab da einen kleinen Fehler bei dem span gemacht.
Daher nochmal die Frage mit den richtigen Werten:
hey ok danke
jetzt hab ich aber eine andere Frage:
Z.b für :
[mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}) =\IR^{3}
[/mm]
Die Dimension von span ist ja 3, weil span einer Untervektorraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist mit der Basislänge 3.
Was ist dann mit:
[mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}), [/mm] mit [mm] \lambda \in\IR.
[/mm]
Ist nun die Dimension 2 oder doch noch 3? Und wo liegt der Unterschied zwischen den beiden aufgespannten Räume und wie verhalten sie sich zu [mm] \IR^{3}?
[/mm]
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> hey sry, hab da einen kleinen Fehler bei dem span gemacht.
> Daher nochmal die Frage mit den richtigen Werten:
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> hey ok danke
> jetzt hab ich aber eine andere Frage:
> Z.b für :
> [mm]span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}) =\IR^{3}[/mm]
>
> Die Dimension von span ist ja 3, weil span einer
> Untervektorraum von [mm]\IR^{3}[/mm] ist mit der Basislänge 3.
Hallo,
ja.
> Was ist dann mit:
> [mm] U_{\lambda}[/mm] [mm]:=span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}),[/mm] mit [mm]\lambda \in\IR.[/mm]
> Ist nun
> die Dimension 2 oder doch noch 3?
3 kann doch überhaupt nicht sein, denn das Erzeugendensystem von [mm] U_{\lambda} [/mm] enthält nur zwei Elemente, nämlich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+ \lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Damit kann die Dimension höchstens =2 sein.
Ob sie =2 ist, erfährst Du, wenn Du die lineare Unabhängigkeit der beiden Vektoren prüfst. (Sie sind's.)
Und wo liegt der
> Unterschied zwischen den beiden aufgespannten Räume und
> wie verhalten sie sich zu [mm]\IR^{3}?[/mm]
Der erste Raum ist gleich dem [mm] \IR^3, [/mm] der zweite ist ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] also eine echte Teilmenge.
Gruß v. Angela
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zu dem zweiten aufgepannten Raum habe ich eine Frage.
Durch testen der linearen Unabhängigkeit, ensteht die gleichung:
[mm] \mu_{2}*\lambda=0
[/mm]
[mm] \mu_{1}=0
[/mm]
[mm] \mu_{2}=0
[/mm]
also auch:
[mm] 0*\lambda=0
[/mm]
So, jetzt die Frage: der aufgespannte Raum beinhaltet doch alle Vektoren aus [mm] \IR^{3} [/mm] oder?
Kann es denn überhaupt sein, dass die Dimension 2 ist(weil die beiden Vektoren linear unabhängig sind) und dennoch alle Vektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] beinhaltet?
Also ich versteh noch nicht genau wie der 2. augespannter Raum aufgebaut ist.
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> zu dem zweiten aufgepannten Raum habe ich eine Frage.
> Durch testen der linearen Unabhängigkeit, ensteht die
> gleichung:
> [mm]\mu_{2}*\lambda=0[/mm]
> [mm]\mu_{1}=0[/mm]
> [mm]\mu_{2}=0[/mm]
> also auch:
> [mm]0*\lambda=0[/mm]
>
> So, jetzt die Frage: der aufgespannte Raum beinhaltet doch
> alle Vektoren aus [mm]\IR^{3}[/mm] oder?
$ V = [mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] $
Schreib das mal um:
$ V = [mm] span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ \lambda} [/mm] ) $
Wie konstruierst du den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] ?
> Kann es denn überhaupt sein, dass die Dimension 2 ist(weil
> die beiden Vektoren linear unabhängig sind) und dennoch
> alle Vektoren des [mm]\IR^{3}[/mm] beinhaltet? [nook]
stimmt ja nicht siehe meinen Vektor $v= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}$ [/mm] mit [mm] $v\notin [/mm] V$
> Also ich versteh noch nicht genau wie der 2. augespannter
> Raum aufgebaut ist.
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}
[/mm]
Wenn alle Vektoren in deinem span linear unabhängig sind und den ganzen Raum aufspannen sollen, dann muss die Dimension des Raumes gleich Anzahl der linearen unabhängigen Vektoren in deinem span sein. Also bei Komma zählen (1 Komma macht 2 Elemente, die sind noch linear unabhängig => ein Raum der Dimension 2 wird aufgespannt.
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