Aufstellen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Angenommen, eine Insektenpopulation u wird durch eine natürliche Räuberpopulation v gemäß dem Lotka-Volterra Modell kontrolliert. Danach treten kleine periodische Veränderungen der Population in der Umgebung des kritischen Punktes (c/d, a/b) auf. Es wird ein Insektizid eingesetzt mit dem Ziel, die Insektenpopulation zu reduzieren; das Insektizid ist jedoch auch für die Räuberspezies giftig. Wir gehen davon aus, dass das Insektizid die Beute bzw. die Räuber mit Proportionalitätsraten bzw. zu der jeweils gegenwärtigen Population tötet. Stellen Sie die modifizierte
Differentialgleichung auf.
a) Bestimmen Sie den neuen Gleichgewichtspunkt, und vergleichen Sie ihn mit dem ursprünglichen Gleichgewichtspunkt.
b) Es sei nun [mm] \alpha [/mm] = a. Angenommen, (x(t), y(t)) [mm] \in \IR^+ \times \IR^+ [/mm] sei Lösung des modifizierten Systems in diesem Fall, mit
(x(t),y(t)) [mm] \to_{t\rightarrow\infty} (x_{\infty},0), [/mm] für ein [mm] x_{\infty} [/mm] > 0. Zeigen Sie, dass dann [mm] \bruch{c log x(0) - dx(0)}{b}-y(0)= \bruch{c log x_{\infty} - dx_{\infty}}{b} [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
das eine Aufgabe auf meinem neuen Matheblatt und habe leider keinen blassen Schimmer. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen ? Wäre für jeden kleinen Tipp dankbar.
Gruß
Oliver_Anfaenger
|
|
| |
|
Hallo Forum,
ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe und habe auch so meine Probleme damit. Ich habe mir bisher überlegt:
DAs DGl soll ja gemäß dem Lotka-Volterra Modell aufgestellt werden.
Also Insektenpopulation u = Beute, Räuber v = Räuber,
Wenn man das Insektizit mit einbezieht habe ich als System folgendes:
[mm] \dot u=-\alpha*u(a-bv)
[/mm]
[mm] \dot v=-\beta*v(-c+du)
[/mm]
So und dann muss ich das System gleich Null setzen und meinen neuen Gleichgewichtspunkt berechnen.
Ist das soweit ok?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen :)
Beste Grüße
Britta
|
|
|
| |
|
> Hallo Forum,
>
> ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe und habe auch so
> meine Probleme damit. Ich habe mir bisher überlegt:
>
> DAs DGl soll ja gemäß dem Lotka-Volterra Modell
> aufgestellt werden.
> Also Insektenpopulation u = Beute, Räuber v = Räuber,
> Wenn man das Insektizit mit einbezieht habe ich als System
> folgendes:
>
> [mm]\dot u=-\alpha*u(a-bv)[/mm]
> [mm]\dot v=-\beta*v(-c+du)[/mm]
>
> So und dann muss ich das System gleich Null setzen und
> meinen neuen Gleichgewichtspunkt berechnen.
>
> Ist das soweit ok?
Die durch das Insektizit bedingten Änderungen sollen ja proportionial zu den jeweiligen Populationen sein. Daher darfst du [mm] -\alpha [/mm] und [mm] -\beta [/mm] nicht mit jeweils der gesamten rechten Seite der DGL multiplizieren, sondern
[mm] \dot u=u(a-bv)-\alpha*u=u*(a-\alpha-bv)
[/mm]
[mm] \dot v=v(-c+du)-\beta*v=v*(-c-\beta+du)
[/mm]
>
> Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen :)
> Beste Grüße
> Britta
|
|
|
| |
|
Hey danke für deine Antwort!
> Die durch das Insektizit bedingten Änderungen sollen ja
> proportionial zu den jeweiligen Populationen sein. Daher
> darfst du [mm]-\alpha[/mm] und [mm]-\beta[/mm] nicht mit jeweils der gesamten
> rechten Seite der DGL multiplizieren, sondern
> [mm]\dot u=u(a-bv)-\alpha*u=u*(a-\alpha-bv)[/mm]
> [mm]\dot v=v(-c+du)-\beta*v=v*(-c-\beta+du)[/mm]
Klar das macht auch mehr sinn. Außerdem war es komisch, dass ich den gleichen Gleichgewichtspunkt hatte.
Jetzt ist er ja [mm] (\bruch{c+\beta}{d},\bruch{a-\alpha}{b})
[/mm]
Jetzt habe ich noch zur b) eine Frage:
In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz:
[...]. Alle Lotka-Volterra-Gleichungen sind periiodisch. Dabei nimmt x(t) den größten und kleinsten Wert für [mm] y(t)=y_0 [/mm] und y(t) den größten und kleinsten Wert für [mm] x(t)=x_0. [/mm]
Hat die b was damit zu tun? Weil dann wäre ja x(0) [mm] =x_\infty [/mm] und y(0)=0 und wenn man das einsetzt dann kommt da die Gleichung raus. Oder ist das Quatsch?
Beste Grüße
Britta
|
|
|
| |
|
> Hey danke für deine Antwort!
>
> > Die durch das Insektizit bedingten Änderungen sollen ja
> > proportionial zu den jeweiligen Populationen sein. Daher
> > darfst du [mm]-\alpha[/mm] und [mm]-\beta[/mm] nicht mit jeweils der gesamten
> > rechten Seite der DGL multiplizieren, sondern
> > [mm]\dot u=u(a-bv)-\alpha*u=u*(a-\alpha-bv)[/mm]
> > [mm]\dot v=v(-c+du)-\beta*v=v*(-c-\beta+du)[/mm]
>
> Klar das macht auch mehr sinn. Außerdem war es komisch,
> dass ich den gleichen Gleichgewichtspunkt hatte.
>
> Jetzt ist er ja [mm](\bruch{c+\beta}{d},\bruch{a-\alpha}{b})[/mm]
>
> Jetzt habe ich noch zur b) eine Frage:
>
> In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz:
> [...]. Alle Lotka-Volterra-Gleichungen sind periiodisch.
Nicht die Gleichungen sondern alle Lösungen sind periodisch.
> Dabei nimmt x(t) den größten und kleinsten Wert für
> [mm]y(t)=y_0[/mm] und y(t) den größten und kleinsten Wert für
> [mm]x(t)=x_0.[/mm]
> Hat die b was damit zu tun? Weil dann wäre ja x(0)
> [mm]=x_\infty[/mm] und y(0)=0 und wenn man das einsetzt dann kommt
> da die Gleichung raus. Oder ist das Quatsch?
Das hat schon was miteinander zu tun, aber vermutlich kannst du den Satz nicht direkt anwenden, die hier ein "degenerierter Fall" mit einer nichtperiodischen Lösung vorliegt.
Was du zeigen kannt, ist dass der Ausdruck [mm] \frac{1}{b}(c*log [/mm] x(t)-d*x(t))-y(t) konstant ist.
>
> Beste Grüße
> Britta
|
|
|
|
