Aufstellen und Lösen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 15.10.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | | Ein Schiff fährt mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 10m/s auf dem Meer. Zum Zeitpunkt t=0s geht der Antrieb des Schiffes kaputt, so dass das Schiff ab diesem Zeitpunkt durch den Wasserwiderstand, der proportional zur Geschwindigkeit des Schiffes ist, gebremst wird. Nach t1=5s beträgt die Geschwindigkeit noch 8m/s. Leiten sie eine Differentialgleichung für die Geschwindigkeit her und bestimmen sie, wann das Schiff auf eine Geschwindigkeit von 1m/s abgebremst ist. |
Höre gewöhnliche DGL seit diesem Semester und das ist eine Aufgabe des ersten Übungsblattes. Ich habe eine Lösung, allerdings weiß ich nicht, ob es stimmt bzw. ob mein Ansatz überhaupt ok ist! Hier ist meine Lösung:
v' = w * v wobei w*v dem Wasserwiderstand so entsprechen soll...
v' / v = w jetzt integriere ich das. Dazu eine Frage: habe mir im Internet ein paar Artikel zu DGL durchgelesen. Dort wurde die rechte Seite nach x integriert, die linke nach y (bzw hier t und v). Warum darf man das?
Integral (1/v dv) = Integral ( w dt)
ln (|v|) = w*t + C
|v| = e^ (w*t + C)
v(0) = 10 = [mm] e^c [/mm] => c=ln10
=> v(t) = 10 e^(wt)
Das wäre dann meine Differentialgleichung.
Jetzt setze ich die vorgegebenen Werte ein:
8 = 10 e^(w*5)
=> w = ln(8/10) / 5
weiter eingesetzt erhalte ich die gesuchte Zeit t= 51,59s
Also... Frage siehe oben, bin für jede Hilfe dankbar! ( auch für generelle Strategien was sowas angeht)
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Hallo nikinho,
> Ein Schiff fährt mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 10m/s
> auf dem Meer. Zum Zeitpunkt t=0s geht der Antrieb des
> Schiffes kaputt, so dass das Schiff ab diesem Zeitpunkt
> durch den Wasserwiderstand, der proportional zur
> Geschwindigkeit des Schiffes ist, gebremst wird. Nach t1=5s
> beträgt die Geschwindigkeit noch 8m/s. Leiten sie eine
> Differentialgleichung für die Geschwindigkeit her und
> bestimmen sie, wann das Schiff auf eine Geschwindigkeit von
> 1m/s abgebremst ist.
> Höre gewöhnliche DGL seit diesem Semester und das ist
> eine Aufgabe des ersten Übungsblattes. Ich habe eine
> Lösung, allerdings weiß ich nicht, ob es stimmt bzw. ob
> mein Ansatz überhaupt ok ist! Hier ist meine Lösung:
>
> v' = w * v wobei w*v dem Wasserwiderstand so
> entsprechen soll...
> v' / v = w jetzt integriere ich das. Dazu eine Frage:
> habe mir im Internet ein paar Artikel zu DGL durchgelesen.
> Dort wurde die rechte Seite nach x integriert, die linke
> nach y (bzw hier t und v). Warum darf man das?
>
Nun, weil [mm]v'=\bruch{dv}{dt}[/mm] ist.
Dann steht da:
[mm]\bruch{1}{v}*\bruch{dv}{dt}=w[/mm]
Multiplikation mit dt liefert:
[mm]\bruch{1}{v} \ dv=w \ dt[/mm]
> Integral (1/v dv) = Integral ( w dt)
> ln (|v|) = w*t + C
> |v| = e^ (w*t + C)
> v(0) = 10 = [mm]e^c[/mm] => c=ln10
> => v(t) = 10 e^(wt)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das wäre dann meine Differentialgleichung.
> Jetzt setze ich die vorgegebenen Werte ein:
> 8 = 10 e^(w*5)
> => w = ln(8/10) / 5
>
> weiter eingesetzt erhalte ich die gesuchte Zeit t= 51,59s
>
> Also... Frage siehe oben, bin für jede Hilfe dankbar! (
> auch für generelle Strategien was sowas angeht)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 15.10.2009 | | Autor: | nikinho |
ah danke schonmal.
eine kleine Frage habe ich allerdings noch:
Welche Integralsgrenzen setze ich bin Integrieren da an, oder lasse ich das offen?
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Hallo nikinho,
> ah danke schonmal.
> eine kleine Frage habe ich allerdings noch:
>
> Welche Integralsgrenzen setze ich bin Integrieren da an,
> oder lasse ich das offen?
Setzt Du hier gleich die Integralgrenzen ein, so ergibt sich
[mm]\integral_{v_{0}}^{v}{\bruch{1}{y} \ dy}=\integral_{t_{0}}^{t}{w \ dx}[/mm]
Natürlich kannst Du auch die DGL so lösen,
wie Du es im ersten Post gemacht.
Und dann erst die vorgegeben Werte zur
Bestimmung der fehlenden Parameter einsetzen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 15.10.2009 | | Autor: | nikinho |
ah gut, die grenzen hatte ich vermutet, danke !
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