Aufstellung Ebenengleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Mi 16.06.2010 | | Autor: | honeypi |
| Aufgabe | Eine Ebene geht durch den Punkt A(2|1|3) und hat die Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{v}= \vektor{2 \\ 1 \\ 3}. [/mm] Überprüfen Sie, welcher der folgenden Punkte in dieser Ebene liegt.
[mm] P_1(4|-6|12), P_2(-8|3|9), P_3(-2,6|-6,1|3,7) [/mm] |
Die Aufgabenstellung ist mir eigentlich klar. Was mich jedoch verwirrt, ist, dass der Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] durch den Stützvektor A geht. Ist das denn möglich? Muss ich dann etwas bei der Aufstellung der Ebenengleichung beachten???
Danke vorab!
[mm] Honey\pi
[/mm]
PS. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Honeypi
Vom Punkt A aus gehen ja die 2 Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v}. [/mm] Der Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] geht aber nicht durch den Stützvektor A, sondern er hängt sich sozusagen an den Stützvektor A nahtlos dran. Was dich verwirrt hat, ist wahrscheinlich, dass der Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] in dieser Aufgabe genau die gleichen Koordinaten hat wie der Stützvektor A.
Zur Überprüfung, ob ein bestimmter Punkt auf der gegebenen Ebene liegt oder nicht, muss man zuerst die Parametergleichung der Ebene aufstellen und dann die Koordinaten des Punktes mit der Parametergleichung gleichsetzen. Wenn man dann für die beiden Parameter (z.b. s und t genannt, vielleicht habt ihr sie auch anders genannt) Werte findet, damit das "Gleichungssystem" aufgeht, dann liegt der betreffende Punkt auf der Ebene.
Für P1 (4/-6/12) sieht das so aus:
2 + 2s + 2t = 4
1 - 3s + t = -6
3 + s + 3t = 12
Ich habe hier aus der 2. und der 3.Gleichung s und t bestimmt (s=3, t=2). Danach sieht man aber, dass die 1.Gleichung nicht stimmt, wenn man diese Werte für s und t einsetzt. Das bedeutet, das der Punkt P1 nicht auf dieser Ebene liegt.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Gruss
Dani
PS. Ich habe den Ausdruck Stützvektor vorher noch nie verwendet, aber dem Zusammenhang entnehme ich, dass du damit den Vektor vom Ursprung (0/0/0) zum Punkt A meinst. (Mein Ausdruck dafür ist Ortsvektor)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mi 16.06.2010 | | Autor: | honeypi |
Hallo Dani
und vielen Dank für Deine Antwort.
> Vom Punkt A aus gehen ja die 2 Richtungsvektoren [mm]\vec{u}[/mm]
> und [mm]\vec{v}.[/mm] Der Richtungsvektor [mm]\vec{v}[/mm] geht aber nicht
> durch den Stützvektor A, sondern er hängt sich sozusagen
> an den Stützvektor A nahtlos dran. Was dich verwirrt hat,
> ist wahrscheinlich, dass der Richtungsvektor [mm]\vec{v}[/mm] in
> dieser Aufgabe genau die gleichen Koordinaten hat wie der
> Stützvektor A.
Genau das hat mich verwirrt und dass von den gegebenen Punkten keiner in der Ebene liegt.
> PS. Ich habe den Ausdruck Stützvektor vorher noch nie
> verwendet, aber dem Zusammenhang entnehme ich, dass du
> damit den Vektor vom Ursprung (0/0/0) zum Punkt A meinst.
> (Mein Ausdruck dafür ist Ortsvektor)
In meinem Schulbuch wird dieser als Stützvektor im Zusammenhang mit Ebenen und Geraden bezeichnet.
LG, [mm] Honey\pi
[/mm]
|
|
|
|
