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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 05.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo!
Ich möchte die Eigenwerte einer Matrix bestimmen. Dazu muss ich ja die Determinante bilden. Das habe auch bereits gemacht. Diese lautet:
[mm] -\lambda^{^3}+2\lambda^{^2}+5\lambda-6=0.
[/mm]
Ich weiß, dass ich jetzt die Nullstellen finden muss.
Wie kann ich daraus die Eigenwerte bestimmen.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Liebe Grüße
pioneer
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> Hallo!
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> Ich möchte die Eigenwerte einer Matrix bestimmen. Dazu muss
> ich ja die Determinante bilden. Das habe auch bereits
> gemacht. Diese lautet:
Hallo,
um die Eigenwerte einer Matrix A zu bestimmen, mußt Du die Determinante von [mm] A-\lambda [/mm] E, das charakteristische Polynom, berechnen, und seine Nullstellen bestimmen.
> [mm]-\lambda^{^3}+2\lambda^{^2}+5\lambda-6=0.[/mm]
> Ich weiß, dass ich jetzt die Nullstellen finden muss.
> Wie kann ich daraus die Eigenwerte bestimmen.
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte.
Um die Eigenvektoren zu [mm] \lambda_i [/mm] zu finden, berechnest Du anschließend [mm] kern(A-\lambda_i [/mm] E).
Gruß v. Angela
> pioneer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 05.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo Angela
Danke für deine rasche Antwort. Hatte das Problem die Nullstellen zu finden. Ich habe nun aber eine Polynomdivisioin gemacht und nun gehts. Trotzdem herzlichne Dank.
Liebe Grüße
pioneer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Di 06.01.2009 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | Matrix: A = [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Ermitteln Sie die Eigenwerrte und Eigenvektoren der Matrix. |
Hallo!
Ich glaube, dass ich nun die Lösung für dieses Problem gefunden habe. Bin mir aber sehr unsicher.
Ich habe die Eigenwerte mit Hilfe der Determinante ausgerechnet. Meine Lösung der Eigenwerte: 1, 3, -2
Die Eigenvektoren habe ich folgendermaßen gelöst: A - [mm] \lambda [/mm] I = 0. Ich habe jeden der drei Eigenwert eingesetzt, die Matrix anschließend auf Zeilen-Stufenform gebracht und das Gleichungssystem hoffentlich richtig gelöst.
Sind diese Eigenvektoren richtig?
Vielen Dank
pioneer
Meine Lösung der Eigenvektoren:
[mm] v_{1} [/mm] = t * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = t* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 06.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Bin gerade auf einen Fehler gekommen:
[mm] \pmat{ -1-3 & 2 & 0 \\ 2 & 2-3 & 0 \\ 0 & 0 & 1-3 } [/mm] =
[mm] \pmat{ -4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
danach auf Zeilen-Stufenform:
[mm] \pmat{ -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich weiß, dass sollte einfach sein, aber wie löse ich nun dieses Gleichungssystem?
Kann ich sagen:
[mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = t
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{t}{2}
[/mm]
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> Bin gerade auf einen Fehler gekommen:
> [mm]\pmat{ -1-3 & 2 & 0 \\ 2 & 2-3 & 0 \\ 0 & 0 & 1-3 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ -4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
> danach auf
> Zeilen-Stufenform:
> [mm]\pmat{ -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Ich weiß, dass sollte einfach sein,
> aber wie löse ich nun dieses Gleichungssystem?
> Kann ich sagen:
> [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = t
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{t}{2}[/mm]
Hallo,
nein, so nicht.
Schauen wir doch mal, was dort steht, wenn man es ausführlich hinschreibt.
Die erste Zeile der Matrix teilt mit: [mm] -4x_1+2x_2=0 [/mm] <==> [mm] x_1=\bruch{1}{2}x_2
[/mm]
Die zweite Zeile der Matrix teilt mit: [mm] -2x_3=0 [/mm] <==> [mm] x_3=0 [/mm]
Du kannst also etwa [mm] x_2 [/mm] frei wählen mit [mm] x_2=t [/mm] und erhältst hiermit
[mm] x_1=\bruch{1}{2}x_2=\bruch{1}{2}t
[/mm]
[mm] x_2=t
[/mm]
[mm] x_3=0.
[/mm]
Damit haben sämtliche Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] Deiner Gleichung die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=t*\vektor{\bruch{1}{2}\\1\\0}, [/mm]
also ist [mm] \vektor{\bruch{1}{2}\\1\\0} [/mm] eine Basis von Kern(A-3E), und somit eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 3.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Di 06.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort!
Ich habe mich nur verschrieben.
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{t}{2}[/mm]
sollte [mm] x_{1}=[/mm] [mm]\bruch{t}{2}[/mm] heißen.
Liebe Grüße
pioneer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 06.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo nochmals!
Ich bin mir enorm unsicher, daher möchte ich nur zur Kontrolle mein Ergebnis für den Eigenvektor des Eigenwertes -2 posten und fragen ob das richtig ist.
[mm] \lambda [/mm] = 2
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] \pmat{ -1+2 & 2 & 0 \\ 2 & 2+2 & 0 \\ 0 & 0 & 1+2} [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]
auf Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3} \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Darus ergibt sich
[mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = t
[mm] x_{1} [/mm] = -2t
Eigengenvektor [mm] E_{-2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Vielen Dank für euer Bemühen.
lg
pioneer
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> Hallo nochmals!
>
> Ich bin mir enorm unsicher, daher möchte ich nur zur
> Kontrolle mein Ergebnis für den Eigenvektor des Eigenwertes
> -2 posten und fragen ob das richtig ist.
>
> [mm]\lambda[/mm] = 2
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> [mm]\pmat{ -1+2 & 2 & 0 \\ 2 & 2+2 & 0 \\ 0 & 0 & 1+2}[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
> auf Zeilenstufenform:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3} \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Darus ergibt sich
> [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = t
> [mm]x_{1}[/mm] = -2t
>
> Eigengenvektor [mm]E_{-2}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
Hallo,
weniger aus Bequemlichkeit, sondern um Dir (z.B. für die Klausur) eine Kontollmöglichkeit zu zeigen:
wenn [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert -2 ist, mußt Du [mm] -2*\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}=\vektor{4 \\ -2 \\ 0} [/mm] erhalten, wenn Du Deine Matrix A mit [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] multiplizierst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 06.01.2009 | | Autor: | pioneer |
Hallo Angela!
Danke für diesen hervorragenden Tipp. Ich habe die Kontrolle gemacht und es stimmt!
Vielen Dank
pioneer
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Hallo
Habe eine ähnliche aufgabe nur stoße ich auf ein Problem bei der bestimmung der Eigenvektoren
Ausgangsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 &0 \\ -2 & 0 & -2 }
[/mm]
daraus ergeben sich die eigenwerte
v1 = 1
v2 = 2
v3 = -3
Der eigenvektor zu v1 lautet nach meiner rechnung nach :P
[mm] \pmat{0\\1\\0}
[/mm]
jedoch bei der berechnung von Ev2
[mm] \pmat{-1 & 0 & -2 \\ 0 &-1 &0 \\ -2&0&-3} [/mm] * [mm] \pmat{ a \\ b \\ c} [/mm] = 0
komm ich irgendwie nicht weiter
gleiches problem bei v3
meine drei unbekannten sind ja b = 0 und dann hab ich stehen:
-1a -2c = 0
-2a -4c = 0
Mach ich da was falsch oder wie funktioniert das?
Danke für die Hilfe im vorhinein
lg matthias
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> Hallo
>
> Habe eine ähnliche aufgabe nur stoße ich auf ein Problem
> bei der bestimmung der Eigenvektoren
>
> Ausgangsmatrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 &0 \\ -2 & 0 & -2 }[/mm]
>
> daraus ergeben sich die eigenwerte
> v1 = 1
> v2 = 2
> v3 = -3
>
> Der eigenvektor zu v1 lautet nach meiner rechnung nach :P
> [mm]\pmat{0\\1\\0}[/mm]
Hallo,
der stimmt.
>
> jedoch bei der berechnung von Ev2
>
> [mm]\pmat{-1 & 0 & -2 \\ 0 &-1 &0 \\ -2&0&\red{-3}}[/mm] * [mm]\pmat{ a \\ b \\ c}[/mm]
> = 0
> komm ich irgendwie nicht weiter
Die rote -3 ist ja auch falsch. das muß doch -4 heißen.
Achso, ich sehe, daß das nur ein Tippfehler war.
> gleiches problem bei v3
>
> meine drei unbekannten sind ja b = 0 und dann hab ich
> stehen:
> -1a -2c = 0
> -2a -4c = 0
Die zweite Gleichung ist ja lediglich ein Vielfaches der ersten, sie kann unter den Tisch fallen.
Damit hast Du zu lösen:
b=0
-1a -2c = 0
Du hast zwei Gleichungen mit drei Variablen, kannst also eine der variablen a und c frei wählen, etwa c=t.
Damit hast Du
a=-2c=-2t
b=0
c=t.
Alle Lösungen [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] Deiner Gleichung haben die Gestalt [mm] \vektor{a\\b\\c}=t*\vektor{-2\\0\\1}.
[/mm]
Somit ist [mm] \vektor{-2\\0\\1} [/mm] eine basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2, also insbesondere ein Eigenvektor.
> Mach ich da was falsch oder wie funktioniert das?
Nein, Du hast nichts Prinzipielles falsch gemacht. Diu kannst es etwas beschleunigen, indem Du Dir klar machst, daß Du
> [mm]\pmat{-1 & 0 & -2 \\ 0 &-1 &0 \\ -2&0&-4}[/mm] * [mm]\pmat{ a \\ b \\ c}[/mm] = 0
systematisch lösen kannst mit dem Gaußverfahren, indem Du [mm] \pmat{-1 & 0 & -2 \\ 0 &-1 &0 \\ -2&0&-4 } [/mm] auf ZSF bringst:
[mm] \pmat{-1 & 0 & -2 \\ 0 &-1 &0 \\ -2&0&-4 } [/mm] --> [mm] \pmat{1 & 0 & 2 \\ 0 &1 &0 \\ 0&0&0} [/mm] , hieraus dann die Lösung ermitteln.
Am bresten versuchst Du's jetzt mal bei dem dritten der Eigenwerte.
Zur Kontrolle: Du solltest [mm] \vektor{1\\0\\2} [/mm] erhalten bzw. ein Vielfaches davon.
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
