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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Maximal fortgesetzte Lösungen von
[mm] y'=\exp(y)\cdot\sin(y)
[/mm]
sind bereits auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert. |
Hi!
Ich brauche hier einen geeigneten Ansatz.
Anfangs dachte ich, dass es sich gut mit dem Satz über Unter- und Oberfunktionen lösen lässt.
Die DGLs
[mm] y_1'=\exp(y_1)
[/mm]
[mm] y_2'=-\exp(y_2)
[/mm]
würden ihren Dienst leisten, jedoch gilt hier
[mm] y_1(t)=-\log(-t+c_1)
[/mm]
[mm] y_2(t)=-\log(t+c_2)
[/mm]
mit positiven Konstanten [mm] $c_i$.
[/mm]
Wären nun beide auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, so wüsste ich, dass die Lösung der DGL von oben zwischen den Lösungen verlaufen müsste und somit den Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] erben würde. Aber sie sind eben nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert - blöd.
Was kann man hier nun machen? Kann man weiterhin die Information verwenden, dass die Nulllösung eine Lösung ist und somit die Funktion ihr Vorzeichen nicht ändern kann?
Weiterhin habe ich die Information, dass es sich um eine autonome Differentialgleichung handelt, noch nicht verwendet...
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Gruß, Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Edit: hier stand Unfug !
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:18 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hallo!
Danke für deine Antwort, aber ich habe hierzu noch eine Frage:
Angenommen, ich hätte die Differentialgleichung
[mm] $y'=f(x,y)=e^y$.
[/mm]
Dann ist auch hier $f$ stetig und genügt bezüglich $y$ einer Lipschitzbedingung, da stetig partiell differentierbar nach $y$.
Warum liefert diese Version des Satzes von Picard-Lindelöf für die vorherige Differentialgleichung die Existenz auf [mm] $\IR$, [/mm] wobei für diese Differentialgleichung die Existenz auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht folgen darf?
Und welche Version meinst du? Ich kenne nur die, dass die partielle Ableitung nach $y$ beschränkt sein soll, woraus die Existenz auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] folgt...
Gruß, Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Danke für deine Antwort, aber ich habe hierzu noch eine
> Frage:
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> Angenommen, ich hätte die Differentialgleichung
> [mm]y'=f(x,y)=e^y[/mm].
> Dann ist auch hier [mm]f[/mm] stetig und genügt bezüglich [mm]y[/mm] einer
> Lipschitzbedingung, da stetig partiell differentierbar nach
> [mm]y[/mm].
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> Warum liefert diese Version des Satzes von Picard-Lindelöf
> für die vorherige Differentialgleichung die Existenz auf
> [mm]\IR[/mm], wobei für diese Differentialgleichung die Existenz
> auf [mm]\IR[/mm] nicht folgen darf?
>
> Und welche Version meinst du? Ich kenne nur die, dass die
> partielle Ableitung nach [mm]y[/mm] beschränkt sein soll, woraus
> die Existenz auf ganz [mm]\IR[/mm] folgt...
>
> Gruß, Harris
hallo Harris,
meine obige Antwort war Unfug ! Tut mir leid. Ich werde über eine (hoffentlich) korrekte Antwort nachdenken.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Harris |
Eventuell führt ja die Erkenntnis zum Ziel, dass die Ableitung in [mm] $[i\pi,(i+1)\pi]$ [/mm] ein Maximum in [mm] $(i\pi,(i+1)\pi)$ [/mm] besitzt.
Das Problem bei Differentialgleichungen $x'=f(x)$, deren Lösungen eine vertikale Asymptote besitzen, ist ja meist, dass das Maximum von $f(x)$ in einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stets am Rand davon liegt.
Gruß, Harris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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