Axiome der Mengenlehre < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 08.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Axiom 4. (Paarmengen Axiom)
Seien A u. B Mengen, dann exestiert die Menge {A,B}: = {x | x=A oder x =B}
Soweit so gut :)
Bemerkung: A, B Mengen, A=B
{A, B} = {A} Was heißt das?! Warum gelten diese beiden gleichungen?
Sei φ die leere Menge
Axiom 4 => {φ, φ} = {φ}
Man kann dieses Spiel fortsetzen und so folgende Mengen konstruieren:
{{φ}}, {{{φ}}} [mm] \to [/mm] {φ, {φ}}
Aslo hier bei dem letzten versteh ich gar nichts mehr ich denke es folgt irgendwie aus meiner 1. Frage aber naja...
Axiom 5 (Vereinigungsaxiom)
Sei A eine Menge so ist: Ux : = {y | [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : y [mm] \in [/mm] x}
x [mm] \in [/mm] A
erneut eine Menge.
Was heisst dieses Ux mit dem x [mm] \in [/mm] A darunter überhaupt wie wird das ausgeschrieben?!
Gruss Georg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 08.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Benutze doch bitte demnaechst den Formeleditor, also insbesondere passe mit den geschweiften Klammern auf. Ansonsten geht beim zitieren alles kaputt und es tauchen ganz viele Fehlermeldungen auf wie in dieser Antwort (die alle nichts mit dem zu tun haben, was ich geschrieben hab).
> Axiom 4. (Paarmengen Axiom)
> Seien A u. B Mengen, dann exestiert die Menge {A,B}: = {x
> | x=A oder x =B}
>
> Soweit so gut :)
>
> Bemerkung: A, B Mengen, A=B
> {A, B} = {A} Was
> heißt das?! Warum gelten diese beiden
> gleichungen?
Das heisst, dass die Mengen [mm] $\{A, B \}$ [/mm] und [mm] $\{ A \}$ [/mm] gleich sind.
Und warum das gilt? Schau dir mal an, wann zwei Mengen gleich sind. Zwei Mengen $M, N$ sind gleich, wenn gilt [mm] $(\forall [/mm] x : (x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N)) [mm] \wedge (\forall [/mm] y : (y [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] M))$.
Aus $x [mm] \in \{ A, B \}$ [/mm] folgt jetzt $x = A$ oder $x = B$; im Fall $x = B$ gilt auch $x = A$. Und $A [mm] \in \{ A \}$. [/mm] Das zeigt, dass [mm] $(\forall [/mm] x : (x [mm] \in \{A , B \} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{ A \}))$ [/mm] wahr ist.
Aus $y [mm] \in \{ A \}$ [/mm] folgt $y = A$, und es gilt $y [mm] \in \{ A, B \}$. [/mm] Das zeigt, dass [mm] $(\forall [/mm] y : (y [mm] \in \{ A \} \Rightarrow [/mm] y [mm] \in \{ A, B \}))$ [/mm] wahr ist.
Also gilt [mm] $\{ A , B \} [/mm] = [mm] \{ A \}$.
[/mm]
> Sei φ die leere Menge
>
> Axiom 4 => {φ, φ} = {φ}
> Man kann dieses Spiel fortsetzen und so folgende Mengen
> konstruieren:
>
> {{φ}}, {{{φ}}} [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{φ, {φ}}
>
> Aslo hier bei dem letzten versteh ich gar nichts mehr
Was dieses $\to$ da bedeuten soll weiss ich nicht. Aber ansonsten sind es einfach zwei verschiedene Mengen.
> ich denke es folgt irgendwie aus meiner 1. Frage aber naja...
>
>
> Axiom 5 (Vereinigungsaxiom)
>
> Sei A eine Menge so ist: Ux : = {y | [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : y
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x}
> x [mm]\in[/mm] A
>
> erneut eine Menge.
>
> Was heisst dieses Ux mit dem x [mm]\in[/mm] A darunter überhaupt
> wie wird das ausgeschrieben?!
Das ist ein [mm] $\bigcup$, [/mm] also ein groesses Vereinigung-Zeichen. Was die Vereinigung von Mengen ist hast du sicher schonmal vorher gesehen, oder?
Das $x [mm] \in [/mm] A$ darunter bedeutet, dass vereinigt wird mit der Indexmenge $A$, wobei $x$ ueber alle Elemente aus $A$ laeuft. Das ist genauso wie beim Summenzeichen [mm] $\sigma$ [/mm] oder beim Produktzeichen [mm] $\prod$.
[/mm]
Ist z.B. $A = [mm] \{ x_1, x_2, x_3 \}$, [/mm] so bedeutet [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x$ gerade [mm] $x_1 \cup x_2 \cup x_3$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 08.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
> > Bemerkung: A, B Mengen, A=B
> > {A, B} = {A} Was
> > heißt das?! Warum gelten diese beiden
> > gleichungen?
>
> Das heisst, dass die Mengen [mm]\{A, B \}[/mm] und [mm]\{ A \}[/mm] gleich
> sind.
>
> Und warum das gilt? Schau dir mal an, wann zwei Mengen
> gleich sind. Zwei Mengen [mm]M, N[/mm] sind gleich, wenn gilt
> [mm](\forall x : (x \in M \Rightarrow x \in N)) \wedge (\forall y : (y \in N \Rightarrow y \in M))[/mm].
> Aus [mm]x \in \{ A, B \}[/mm] folgt jetzt [mm]x = A[/mm] oder [mm]x = B[/mm]; im Fall
> [mm]x = B[/mm] gilt auch [mm]x = A[/mm]. Und [mm]A \in \{ A \}[/mm]. Das zeigt, dass
> [mm](\forall x : (x \in \{A , B \} \Rightarrow x \in \{ A \}))[/mm]
> wahr ist.
Zum einen Haben wir vorher festgelegt, dass A=B ist?! Zum Anderen warum gilt im Fall x=B auch x=A und warum folgert man daraus A [mm] \in [/mm] A?? Und Bedeutet der Pfeil => bei dir folgt?! Wir hatten nur eine Schreibweise mit Doppelpunkt also gilt. Bsp. A=B [mm] \gdw (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge
[/mm]
[mm] (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B : x [mm] \in [/mm] A)
> Das [mm]x \in A[/mm] darunter bedeutet, dass vereinigt wird mit der
> Indexmenge [mm]A[/mm], wobei [mm]x[/mm] ueber alle Elemente aus [mm]A[/mm] laeuft.
Aber welche Menge wird denn mit der Index Menge A vereinigt?! Oder werden hier nur Teilmengen von A vereinigt?! Und was heisst ...wobei [mm]x[/mm] ueber alle Elemente aus [mm]A[/mm] laeuft?? Das verstehe ich überhaupt nicht. Das zeichen heisst, dass x ein Element der Menge A ist.
> Ist z.B. [mm]A = \{ x_1, x_2, x_3 \}[/mm], so bedeutet [mm]\bigcup_{x \in A} x[/mm]
> gerade [mm]x_1 \cup x_2 \cup x_3[/mm].
Kann man dann bei deinem Bsp sagen dass der Ausdruck im Endeffekt gleich A ist?! Denn wenn der Ausdruck in diesem Fall der Zusammenschluss aller Teilmengen von A ist, dann müsste er ja wohl A gleichen oder nicht?
Gruß Georg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mi 09.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Bemerkung: A, B Mengen, A=B
> > > {A, B} = {A}
> Was
> > > heißt das?! Warum gelten diese beiden
> > > gleichungen?
> >
> > Das heisst, dass die Mengen [mm]\{A, B \}[/mm] und [mm]\{ A \}[/mm] gleich
> > sind.
> >
> > Und warum das gilt? Schau dir mal an, wann zwei Mengen
> > gleich sind. Zwei Mengen [mm]M, N[/mm] sind gleich, wenn gilt
> > [mm](\forall x : (x \in M \Rightarrow x \in N)) \wedge (\forall y : (y \in N \Rightarrow y \in M))[/mm].
>
> > Aus [mm]x \in \{ A, B \}[/mm] folgt jetzt [mm]x = A[/mm] oder [mm]x = B[/mm]; im Fall
> > [mm]x = B[/mm] gilt auch [mm]x = A[/mm]. Und [mm]A \in \{ A \}[/mm]. Das zeigt, dass
> > [mm](\forall x : (x \in \{A , B \} \Rightarrow x \in \{ A \}))[/mm]
> > wahr ist.
>
>
> Zum einen Haben wir vorher festgelegt, dass A=B ist?!
Ja. Du hast doch selber geschrieben: Bemerkung: A, B Mengen, A=B
> Zum Anderen warum gilt im Fall x=B auch x=A
Na, weil $A = B$ ist, also auch $B = A$ und somit $x = B = A$, also $x = A$.
> und warum folgert
> man daraus A [mm]\in[/mm] A??
Man folgert $A [mm] \in \{ A \}$, [/mm] nicht $A [mm] \in [/mm] A$! Das sind zwei voellig verschiedene Aussagen!
> Und Bedeutet der Pfeil => bei dir
> folgt?!
Ja, das ist der ganz normale Implikationspfeil.
> Wir hatten nur eine Schreibweise mit Doppelpunkt
> also gilt. Bsp. A=B [mm]\gdw (\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A : x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\wedge[/mm]
> [mm](\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B : x [mm]\in[/mm] A)
Das ist eine Abkuerzung fuer das was ich geschrieben hab (das was ich geschrieben hab ist die Form wie sie gern von Logikern und anderen Axiomaten verwendet wird).
> > Das [mm]x \in A[/mm] darunter bedeutet, dass vereinigt wird mit der
> > Indexmenge [mm]A[/mm], wobei [mm]x[/mm] ueber alle Elemente aus [mm]A[/mm] laeuft.
>
> Aber welche Menge wird denn mit der Index Menge A
> vereinigt?!
Die Mengen, die Elemente von $A$ sind. $A$ ist eine Menge, die Mengen enthaelt.
Zum Beispiel $A = [mm] \{ \{ 1, 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4, 5, 6 \} \}$. [/mm] In dem Fall ist [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x = [mm] \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$. [/mm] Und das ist nicht $A$ selber.
> Oder werden hier nur Teilmengen von A vereinigt?!
Nein.
> Und was heisst ...wobei [mm]x[/mm] ueber alle Elemente aus [mm]A[/mm] laeuft??
Das heisst, das $x$ jedes Element aus $A$ als Wert annimmt. Im Fall von [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x$ heisst dies, dass du alle Elemente $x$ aus $A$ (die Elemente sind wieder Mengen!) vereinigst.
Zum Beispiel ist [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x = X [mm] \cup [/mm] Y$, wenn $A = [mm] \{ X, Y \}$ [/mm] ist.
> > Ist z.B. [mm]A = \{ x_1, x_2, x_3 \}[/mm], so bedeutet [mm]\bigcup_{x \in A} x[/mm]
> > gerade [mm]x_1 \cup x_2 \cup x_3[/mm].
>
> Kann man dann bei deinem Bsp sagen dass der Ausdruck im
> Endeffekt gleich A ist?!
Nein. [mm] $\{ x_1, x_2, x_3 \} [/mm] und [mm] $x_1 \cup x_2 \cup x_3$ [/mm] sind zwei voellig verschiedene Mengen!
Nimm etwa [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$, $x_2 [/mm] = [mm] \{ 3 \}$ [/mm] und [mm] $x_3 [/mm] = [mm] \{ 4, 5, 6 \}$. [/mm] Dann ist $A = [mm] \{ \{ 1, 2 \}, \{ 3 \}, \{ 4, 5, 6 \} \}$ [/mm] (siehe oben), aber [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x = [mm] \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Do 10.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Also nochmal bitte :)
Dieser Ausdruck:
[mm] \bigcup_{x \in A} [/mm] x = [mm] \{ y | \exists x \in A : y \in x \}
[/mm]
Ausgeschrieben wird es ja so: [mm] \bigcup_{x \in A} [/mm] x ist die Menge aller y für die gilt: es exestiert ein Element x der Menge A für das gilt y ist ein Element von x.
Nun ist sofern ich es Begriffen habe y die Menge aller Elemente x aus A.
In deinem Bsp nehme ich alle kleinsten Elemente der Teilmengen zu einem Ganzen zusammen.
Was ist wenn A= [mm] \{1, 2, \{2,3\}\} [/mm] gilt.
Ist dann [mm] \bigcup_{x \in A} [/mm] x = [mm] \{1, 2, 3\}?! [/mm]
Also wenn quasi die Menge aus Elementen und einem Element, das eine Menge ist besteht. Spalte ich dann quasi immer alles auf die kleinsten Bestandteile auf und füge es zusammen wobei ich alles Doppelte entferne?
Und um nochmal zu der Definition zurückzukommen: Warum exestiert laut defintion ein x Element der Menge A, dessen Element selbst die Menge y aller Elemente von x ist?! Das verstehe ich irgendwie nicht und finde ich auch nicht logisch, denn die Menge aller Elemente x der Menge A ist ja y, dann kann es doch kein x geben dessen Teilelement y ist. :P
Wenn ich da etwas völlig falsch verstanden habe, dann bitte nochmal für minderbemittelte erklären ;D
Gruß Georg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Fr 11.09.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Dieser Ausdruck:
>
> [mm]\bigcup_{x \in A}[/mm] x = [mm]\{ y | \exists x \in A : y \in x \}[/mm]
>
> Ausgeschrieben wird es ja so: [mm]\bigcup_{x \in A}[/mm] x ist die
> Menge aller y für die gilt: es exestiert ein Element x der
> Menge A für das gilt y ist ein Element von x.
>
> Nun ist sofern ich es Begriffen habe y die Menge aller
> Elemente x aus A.
> In deinem Bsp nehme ich alle kleinsten Elemente der
> Teilmengen zu einem Ganzen zusammen.
Sowas wie klein und kleinste gibt es in der Mengenlehre zunächst nicht.
> Was ist wenn A= [mm]\{1, 2, \{2,3\}\}[/mm] gilt.
Dann kann ich nach meiner Auffasung und nach Wiki [mm] \bigcup_{x \in A}x [/mm] nicht bilden, weil ich nur Mengen vereinigen kann. Der Ausdruck ist dann sinnlos, weil nicht definiert.
Die rechte Seite [mm] \{ y\ |\ \exists\ x \in A : y \in x \} [/mm] dagegen ist definiert, das ist die Menge [mm] \{2, 3\}.
[/mm]
> Ist dann [mm]\bigcup_{x \in A}[/mm] x = [mm]\{1, 2, 3\}?![/mm]
Nein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Fr 11.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> > Was ist wenn A= [mm]\{1, 2, \{2,3\}\}[/mm] gilt.
>
> Dann kann ich nach meiner Auffasung und nach Wiki
> [mm]\bigcup_{x \in A}x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht bilden, weil ich nur Mengen
> vereinigen kann. Der Ausdruck ist dann sinnlos, weil nicht
> definiert.
Das stimmt normalerweise schon, haengt aber auch etwas davon ab wie man $\IN$ konstruiert hat.
Dies macht man meist (wenn man nur mit den Mengenlehre-Axiomen anfaengt), indem man $0 := \emptyset$, $1 := \{ \emptyset \}$, $2 := \{ \emptyset, \{ \emptyset \}$, und allgemein den Nachfolger von $n$ als $n \cup \{ n \}$ definiert. Diese Konstruktion erfuellt dann die Peano-Axiome.
Allgemein geht man normalerweise davon aus, das alles Mengen sind. (Wenn man sich obige Konstrkution anschaut, beachtet wie man $\IZ$, $\IQ$, $\IR$, $\IC$ etc. aus $\IN$ konstruiert, beachtet dass $(a, b) = \{ a, \{ a, b \} \}$ ebenfalls eine Menge ist und Funktionen $f : A \to B$ Teilmengen von $A \times B$ sind, dann kann man das auch gut nachvollziehen.)
Allerdings geht man normalerweise davon aus das man nicht wirklich weiss, was fuer Mengen 1, 2, 3 etc. jetzt konkret sind, nur das sie halt verschiedene Mengen sind. Deswegen kann man ueber $1 \cup 2$ gar nichts aussagen, ausser das $1 \subseteq 1 \cup 2$ und $2 \subseteq 1 \cup 2$ gilt und mindestens eins eine echte Teilmenge ist.
Das sind allerdings Spitzfindigkeiten die eigentlich nicht in einen Vorkurs gehoeren (einen solchen scheint Georg zu besuchen). Generell wuerde ich die Mengenlehrenaxiomatik nicht in einen Vorkurs packen... Aber da hat wohl jeder seinen eigenen Geschmack...
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Was ist denn jetzt nun mit meinem Verständnis bzw. Unverständnis der Defintion?
Und ich habe den Vorkurs jetzt eine Woche lang besucht und die Inhalte der letzten 3 Tage gar nicht verstanden. In den Praxisübungen haben wir so nen unmotivierten Studenten, der alles nur kurz und knapp erklärt und eig auch keine Lust hat, wir sind immer nur eine von 2 Stunden bei ihm in der Übung.
Jetzt hat mir ein Bekannter gesagt, dass die das am Anfang extra so hard machen, um "die Spreu vom Weizen zu trennen", naja weiß auch nicht was ich nun glauben soll, denn mit der Flut an Inhalten komme ich alleine nicht zu recht. Ich habe mir das schon hard vorgestellt, aber ich dachte wenn ich das jeden Tag zuhause nacharbeite, dann müsste ich das doch verstehen, aber das ist nicht der Fall und deshlab bin ich jetzt verzweifelt...
Gruß Georg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mo 14.09.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Was ist denn jetzt nun mit meinem Verständnis bzw.
> Unverständnis der Defintion?
Also dann stell dich mal auf Felix' puristischen Standpunkt (Auch natürliche Zahlen sind Mengen.), und schreib deine Menge A entsprechend auf. Du kannst dann [mm] $\bigcup_{x \in A} [/mm] x$ problemlos bilden (mittels der rechten Seite [mm] $\{\ y\ |\ \exists\ x \in A\ :\ y \in x\ \}$), [/mm] das Ergebnis wird dich unter Umständen überraschen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Mo 14.09.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Felix!
> Das stimmt normalerweise schon, haengt aber auch etwas
> davon ab wie man [mm]\IN[/mm] konstruiert hat.
>
> Dies macht man meist (wenn man nur mit den
> Mengenlehre-Axiomen anfaengt), indem man [mm]0 := \emptyset[/mm], [mm]1 := \{ \emptyset \}[/mm],
> [mm]2 := \{ \emptyset, \{ \emptyset \}\}[/mm], und allgemein den
> Nachfolger von [mm]n[/mm] als [mm]n \cup \{ n \}[/mm] definiert. Diese
> Konstruktion erfuellt dann die Peano-Axiome.
Klar hast du recht, Felix, so habe ich es übrigens auch im feinsten Bourbaki-Stil gelernt.
> Allgemein geht man normalerweise davon aus, das alles
> Mengen sind.
Inzwischen ist jedoch der Versuch, die Mengenlehre in der Schule zu lehren, gemacht worden und gescheitert (ca. ab 1970). Außerdem habe ich überwiegend mit Schülern und angehenden LehrerInnen zu tun. Deswegen nehme ich in diesem Punkt lieber den Kronecker-Standpunkt ein: Die natürlichen Zahlen sind von Gott, alles andere ist Menschenwerk. Bei mir ist 0 deswegen auch keine natürliche Zahl, kein kleines Kind auf der ganzen Welt fängt mit 0 an zu zählen.
> Das sind allerdings Spitzfindigkeiten die eigentlich nicht
> in einen Vorkurs gehoeren (einen solchen scheint Georg zu
> besuchen). Generell wuerde ich die Mengenlehrenaxiomatik
> nicht in einen Vorkurs packen... Aber da hat wohl jeder
> seinen eigenen Geschmack...
An diesem Beispiel sieht man denn auch wieder, wie schwer es ist ist, Hilfestellung zu leisten, wenn die Aufgabe mit allen ihren Voraussetzungen und Annahmen nicht vollständig vorliegt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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