B(0) und wie dann B(t)? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab folgende Aufgabe die ich lösen soll:
Zeigen Sie: Ist B(t) allgemein der Bestand zum Zeitpunkt t und ändert sich dieser im Zeitintervall dt proportional zum momentanen Bestand, so gehorcht B(t) folgendem Gesetz:
B(t) = [mm] B_{0} [/mm] * [mm] e^{\alpha*t} [/mm]
[mm] B_{0}: [/mm] Anfangsbestand, [mm] \alpha [/mm] : prozentuale Änderung pro Zeiteinheit
Leider fehlt mir bei der Aufgabe ganz der Ansatz wie ich dieses Gesetzt beweisen soll?! Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Grüße Kiara
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Hey Kiara,
man könnte die erste Bedingung doch auch so formulieren, dass für die Änderung Deines Bestandes im Zeitintervall der Länge $h$ gelten soll:
[mm] $\bruch{B(t+h)-B(t)}{h} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * B(t)$ (Proportionalität).
In der Mathematik versteht man unter $dt$ eigentlich immer ein infinitesimal kleines Zeitintervall, d.h. wir interessieren uns sozusagen für die Änderungsrate in einem Zeitpunkt - das ist eine Interpretationsmöglichkeit der ersten Ableitung einer Funktion nach $t$. Wenn wir jetzt den Grenzwert $h [mm] \rightarrow [/mm] 0$ bilden (damit wird unser Zeitintervall ja gerade unendlich klein!) kommt auch tatsächlich heraus:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{B(t+h)-B(t)}{h} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * B(t)$
... und rechts steht die erste Ableitung, damit hast Du, dass gelten muss:
$B'(t) = [mm] \alpha [/mm] * B(t)$
Welche Funktion kennst Du, die diese Gleichung erfüllt? Wie kann man [mm] $\alpha$ [/mm] als Prozentsatz interpretieren (probier mal [mm] $\alpha [/mm] = 1/2$) und warum ist $B(0)$ der "Startwert"?
wenns noch Probleme gibt melde Dich!
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Welche Funktion erfüllt diese Gleichung? Ich komm da gerade nicht drauf. B'(t) = [mm] \alpha \cdot{} [/mm] B(t)
Den Rest habe ich verstanden danke!
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Hallo,
B(t) = [mm] e^{at} [/mm]
a [mm] \cdot [/mm] B(t) = ?
B'(t) = ?
Gruß Christian
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Also B(t)= e^(at) /ln ziehen
ln B(t) = a*t
wie kommst du denn auf a*B(t)?
Und warum soll ich die Ableitung von B(t) machen?
Kannst du mir das vielleicht kurz erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 01.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Christian wollte Dich mit der Nase drauf stoßen, dass z.B. die Funktion $B(t)= [mm] e^{at}$ [/mm] die Eigenschaft
$B'(t)=aB(t)$
hat.
Rechne das mal nach.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Do 03.06.2010 | | Autor: | KiaraMeyer |
Oh cool, jetzt habe ich die Aufgabe verstanden, vielen dank an alle :)
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