Bahnformel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Sa 18.03.2006 | | Autor: | ronald |
| Aufgabe | | Sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum über dem 3-elementigen Körper [mm] \IF_{3} [/mm] und G = GL(2, [mm] \IF_{3}) [/mm] die Gruppe der Automorphismen (d.h. bijektiven linearen Abbildungen) von V. Bestimmen Sie die Elementzahl von G mittels der Bahnformel. |
hallo zusammen,
die Bahnformel lautet:
[mm] |G|=|a^{G}|*|G_{a}|
[/mm]
mit [mm] |a^{G}| \hat= [/mm] Bahnlänge von a und [mm] |G_{a}| \hat= [/mm] Stabilisator von a.
Ist 9! die richtige Lösung?
Grüsse
Ronald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum über dem 3-elementigen
> Körper [mm]\IF_{3}[/mm] und G = GL(2, [mm]\IF_{3})[/mm] die Gruppe der
> Automorphismen (d.h. bijektiven linearen Abbildungen) von
> V. Bestimmen Sie die Elementzahl von G mittels der
> Bahnformel.
> hallo zusammen,
> die Bahnformel lautet:
> [mm]|G|=|a^{G}|*|G_{a}|[/mm]
> mit [mm]|a^{G}| \hat=[/mm] Bahnlänge von a und [mm]|G_{a}| \hat=[/mm]
> Stabilisator von a.
> Ist 9! die richtige Lösung?
Nein. Wie kommst du denn auf $9! = 362880$?
Wende doch mal die Bahnformel an auf irgendeinem Vektor $a [mm] \neq [/mm] 0$. Was kannst du ueber die Bahnlaenge sagen? Und was ueber den Stabilisator?
Am besten nimmst du an, dass der Vektorraum [mm] $\IF_3^2$ [/mm] ist. Dann kannst du invertierbare Matrizen zaehlen anstatt dich mit Automorphismen herumzuquaelen  (nicht das es von der Theorie her einen Unterschied macht, aber Matrizen haben den Vorteil das sie 'konkreter' scheinen :) )
Ueberleg dir doch mal, was eine invertierbare Matrix mit einem Vektor [mm] $\neq [/mm] 0$ so alles machen kann (Gibt es Vektoren auf welche er nicht abgebildet werden kann? Wenn ja, wieviele?) und was eine invertierbare Matrix erfuellen muss, damit sie den Vektor wieder auf sich selber abbildet.
(Die richtige Loesung liegt uebrigens zwischen 10 und 20.)
<edit>Das ist falsch, die richtige Loesung ist 48.</edit>
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Sa 18.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi Felix,
> Nein. Wie kommst du denn auf [mm]9! = 362880[/mm]?
>
ich habe mir das so gedacht. V hat doch diese 9 Elemente:
[mm] \vektor{0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0} [/mm] usw bis [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] oder?
Wenn das nicht richtig ist, dann liegt das Problem da.
Ansonsten habe ich mir irgendeinen a ausgesucht und denke, dass mit geeignetem Automorphismus a auf jeden Vektor des Vektorraums abgebildet werden kann. Deswegen ist die Bahnlänge von a 9, da es 9 Vektoren gibt. Und um den Stabilisator von a zu bestimmen, wende ich wieder die Bahnformel an und schaue mir ein weiteres Element aus V an und stelle fest, dass dieser mit geeignetem Automorphismus wieder auf jeden anderen abgebildet werden kann. (Richtig ? ) Aber anscheinend ist dieser Gedankengang "sehr" falsch, wenn die richtige Elementzahl zwischen 10 und 20 liegt.
Allerdings verstehe ich deinen Ansatz nicht.
> Am besten nimmst du an, dass der Vektorraum [mm]\IF_3^2[/mm] ist.
> Dann kannst du invertierbare Matrizen zaehlen anstatt dich
> mit Automorphismen herumzuquaelen (nicht das es von der
> Theorie her einen Unterschied macht, aber Matrizen haben
> den Vorteil das sie 'konkreter' scheinen :) )
Wieso schaue ich mir die invertierbaren Matrizen an?
>
> Ueberleg dir doch mal, was eine invertierbare Matrix mit
> einem Vektor [mm]\neq 0[/mm] so alles machen kann (Gibt es Vektoren
> auf welche er nicht abgebildet werden kann? Wenn ja,
> wieviele?) und was eine invertierbare Matrix erfuellen
> muss, damit sie den Vektor wieder auf sich selber
> abbildet.
>
Und zu dem Rest kann ich glaube ich erst dann weitere Fragen stellen, wenn ich deinen Ansatz verstanden habe.
LG
Ronald
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ronald!
> > Nein. Wie kommst du denn auf [mm]9! = 362880[/mm]?
> >
>
> ich habe mir das so gedacht. V hat doch diese 9 Elemente:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0}[/mm] usw bis [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm]
> oder?
>
> Wenn das nicht richtig ist, dann liegt das Problem da.
Es ist richtig, $V$ hat diese 9 Elemente wenn $V = [mm] \IF_3^2$ [/mm] ist. Ansonsten hat er andere 9 Elemente, aber es sind auf jeden Fall 9
> Ansonsten habe ich mir irgendeinen a ausgesucht und denke,
> dass mit geeignetem Automorphismus a auf jeden Vektor des
> Vektorraums abgebildet werden kann. Deswegen ist die
> Bahnlänge von a 9, da es 9 Vektoren gibt.
Fast. Ein Vektor kann nicht vorkommen, die anderen aber schon. Weisst du welcher und warum? (Lies erstmal den Rest durch, vielleicht bekommst du dann eine Idee.)
> Und um den
> Stabilisator von a zu bestimmen, wende ich wieder die
> Bahnformel an und schaue mir ein weiteres Element aus V an
> und stelle fest, dass dieser mit geeignetem Automorphismus
> wieder auf jeden anderen abgebildet werden kann. (Richtig ?
> )
Nein. Wenn der zweite Vektor etwa ein Vielfaches von $a$ ist, wird er wegen der Linearitaet ebenfalls festgehalten (wenn der Autom $a$ festhaelt)! Du musst also einen Vektor nehmen, der nicht im [mm] $\IF_3$-Spann [/mm] von $a$ liegt.
Und wenn du fuer den ein Bild ausgesucht hast, bist du fertig, da der Spann von zwei linear unabhaengigen Vektoren der ganze Raum ist! Du musst dran denken, dass eine lineare Abbildung durch Angabe der Bilder der Basisvektoren (davon gibts hier zwei) schon vollstaendig bestimmt ist! Wenn du also das Bild von $a$ festlegst, bleibt dir nur noch ein anderer Freiheitsgrad.
Und da die Abbildung invertierbar sein soll, muessen die Bilder der beiden Basisvektoren wieder eine Basis ergeben, also insb. linear unabhaengig sein!
> Aber anscheinend ist dieser Gedankengang "sehr" falsch,
> wenn die richtige Elementzahl zwischen 10 und 20 liegt.
> Allerdings verstehe ich deinen Ansatz nicht.
>
> > Am besten nimmst du an, dass der Vektorraum [mm]\IF_3^2[/mm] ist.
> > Dann kannst du invertierbare Matrizen zaehlen anstatt dich
> > mit Automorphismen herumzuquaelen (nicht das es von der
> > Theorie her einen Unterschied macht, aber Matrizen haben
> > den Vorteil das sie 'konkreter' scheinen :) )
>
> Wieso schaue ich mir die invertierbaren Matrizen an?
Weil sie genau den Automorphismen entsprechen! (Generell entsprechen Endomorphismus und Verkettung ja grad Matrizen und Matrizenmultiplikation, ueber die Darstellungsmatrix! Und ueber die Identifikation entsprechen die Automorphismen den invertierbaren Matrizen.)
(Die beiden Spalten der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix geben die Bilder der Standardbasisvektoren an.)
> > Ueberleg dir doch mal, was eine invertierbare Matrix mit
> > einem Vektor [mm]\neq 0[/mm] so alles machen kann (Gibt es Vektoren
> > auf welche er nicht abgebildet werden kann? Wenn ja,
> > wieviele?) und was eine invertierbare Matrix erfuellen
> > muss, damit sie den Vektor wieder auf sich selber
> > abbildet.
> >
> Und zu dem Rest kann ich glaube ich erst dann weitere
> Fragen stellen, wenn ich deinen Ansatz verstanden habe.
Ok, vielleicht kommst du mit den Infos aus diesem Post etwas weiter :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 18.03.2006 | | Autor: | ronald |
hi, Felix,
> Fast. Ein Vektor kann nicht vorkommen, die anderen aber
> schon. Weisst du welcher und warum? (Lies erstmal den Rest
> durch, vielleicht bekommst du dann eine Idee.)
ja, richtig der Nullvektor wird zwar von a erreicht werden, aber da es sich um Automorphismen handelt, müsste der Nullvektor auf einen Vektor [mm] \not= [/mm] 0 abgebildet werden, und das geht nicht. Das würde heissen: die Bahn von a ist 8 und da die richtige Lösung 10 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 20, tippe ich mal, dass der Stablisator 2 ist.
Dann würde es ja heissen, dass ein Vektor b, der nicht im spann von a liegt, nur auf sich selbst und einen anderen Vektor abgebildet werden kann. Aber wieso eigentlich? Sagen wir mal a ist [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und b [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] dann kann doch b ausser auf sich selbst auch auf [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ 2}, [/mm] also auf mehr als 2 Vektoren abgebidlet werden. Oder verstehe ich was falsch.
Wenn 8 * 2 = 16 das richtige Ergebnis sein sollte. Kann ich dann eine allgemeine Formel für $ V = [mm] \IF_m^n [/mm] $ aufstellen mit |G|= [mm] (m^{n}-1)*n
[/mm]
oder ist das total schwachsinnig?
LG
ronald
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:36 So 19.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Ronald,
> > Fast. Ein Vektor kann nicht vorkommen, die anderen aber
> > schon. Weisst du welcher und warum? (Lies erstmal den Rest
> > durch, vielleicht bekommst du dann eine Idee.)
>
> ja, richtig der Nullvektor wird zwar von a erreicht werden,
> aber da es sich um Automorphismen handelt, müsste der
> Nullvektor auf einen Vektor [mm]\not=[/mm] 0 abgebildet werden, und
> das geht nicht. Das würde heissen: die Bahn von a ist 8 und
Genau!
> da die richtige Lösung 10 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 20, tippe ich mal,
> dass der Stablisator 2 ist.
Tjo das waere richtig, aber ich bemerk grad das ich mich vertan hab. Die richtige Loesung liegt zwischen 40 und 50... (Nach deiner Schaetzmethode muss der Stabilisator also 5 oder 6 Elemente umfassen  )
> Dann würde es ja heissen, dass ein Vektor b, der nicht im
> spann von a liegt, nur auf sich selbst und einen anderen
> Vektor abgebildet werden kann. Aber wieso eigentlich? Sagen
> wir mal a ist [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und b [mm]\vektor{0 \\ 1},[/mm] dann
> kann doch b ausser auf sich selbst auch auf [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> oder [mm]\vektor{1 \\ 2},[/mm] also auf mehr als 2 Vektoren
> abgebidlet werden. Oder verstehe ich was falsch.
Du verstehst das schon richtig. Ich hab vorhin nen Faktor 3 vergessen...
Hast du denn ne Idee, wie die Anzahl der Vektoren ist, auf dem $b$ abgebildet werden kann?
> Wenn 8 * 2 = 16 das richtige Ergebnis sein sollte. Kann ich
> dann eine allgemeine Formel für [mm]V = \IF_m^n[/mm] aufstellen mit
> |G|= [mm](m^{n}-1)*n[/mm]
> oder ist das total schwachsinnig?
Da 16 falsch war, nein.
Eine allgemeine Formel fuer [mm] $|GL_n(\IF_m)|$ [/mm] ist uebrigens ein Produkt mit $n$ Faktoren. Wenn du keine Lust hast die selber rauszufinden sag Bescheid ;)
LG Felix
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