Bahnformel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine Gruppe G der Ordnung 55 operiere auf einer Menge M mit 39 Elementen.Zeigen sie,dass die Operation einen Fixpunkt hat(dh. einen Punkt mit 1-elementigen Orbit) |
Abend,
Zu dieser Aufgabe fallen mir als erstes die Bahnformeln ein.Da ja die Ordnung 55 ist,müsste für [mm] |G|=|G_{x}|*|B_{x}|=55 sein.G_{x} [/mm] ist ja die Ordnung des Stabilisators und [mm] B_{x} [/mm] die Länge der Bahn,nur wie sind diese Ordnungen und würde mich das in dieser Aufgabe weiter bringen?Könnt ihr mir weiter helfen?Würde mich freuen!
Lieben Gruß
|
|
| |
|
Hallo eva-marie,
die Bahnformel lautet ja:
[mm]|M| = \summe_{j}\bruch{|G|}{|Stab(x_j)|}[/mm]
Wobei [mm] Stab(x_j) [/mm] der Stabilisator zu [mm] x_j [/mm] ist.
Nun ist [mm] Stab(x_j) [/mm] ja Untergruppe von G, was gilt dann für [mm] |Stab(x_j)|?
[/mm]
Und damit für [mm] \bruch{|G|}{|Stab(x_j)|}?
[/mm]
Nun gilt |M| = 39 und |G| = 55. Was muss dann also für mindestens ein [mm] \bruch{|G|}{|Stab(x_j)|} [/mm] gelten?
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo,
Danke für die Antwort.Ja also |Stab [mm] {x_j} [/mm] | muss da es ja eine Untergruppe von G ist,entweder 1,5,11 oder 55 sein oder?55 geht ja nicht,da M nur 39 Elemente hat oder?Mit der Bahnformel müsste doch,sowas rauskommen?:
|M| = [mm] \summe_{j}\bruch{|G|}{|Stab(x_j)|}
[/mm]
39=+(55/5)+(55/5)+(55/5)+(55/11)+(55/55) aber wie meinst du das mit,was muss dann für ein [mm] \bruch{|G|}{|Stab(x_j)|} [/mm] gelten?Ich versteh noch nicht ganz worauf das hinaus führt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Mo 11.05.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Danke für die Antwort.Ja also |Stab [mm]{x_j}[/mm] | muss da es ja
> eine Untergruppe von G ist,entweder 1,5,11 oder 55 sein
> oder?55 geht ja nicht,da M nur 39 Elemente hat oder?Mit der
> Bahnformel müsste doch,sowas rauskommen?:
> |M| = [mm]\summe_{j}\bruch{|G|}{|Stab(x_j)|}[/mm]
> 39=+(55/5)+(55/5)+(55/5)+(55/11)+(55/55) aber wie meinst
> du das mit,was muss dann für ein [mm]\bruch{|G|}{|Stab(x_j)|}[/mm]
> gelten?Ich versteh noch nicht ganz worauf das hinaus
> führt.
Im wesentlichen bist du doch fertig. M zerfällt in disjunkte Bahnen, deren Länge ein Teiler der Ordnung der operierenden Gruppe ist. Also mußt du 39 als Summe von Vielfachen von 1, 5, 11 und 55 darstellen. Das geht aber nur so, wie du es hingeschrieben hast: 39 = 0x55 + 3x11 + 1x5 + 1x1. Also gibt es 3 Bahnen der Länge 11, eine der Länge 5 und eine der Länge 1, letztere hat als Element genau den Fixpunkt.
Korrektur nach Hinweis (s. u.):
Das geht so, wie du es hingeschrieben hast: 39 = 0x55 + 3x11 + 1x5 + 1x1, wobei es 3 Bahnen der Länge 11, eine der Länge 5 und eine der Länge 1 gibt, letztere hat als Element genau den Fixpunkt. Es gibt weitere Möglichkeiten, aber keine ohne Bahnen der Länge 1.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
also als Kleine Anmerkung noch (mag die Antwort jetzt nicht als falsch Kennzeichnen, denn im Wesentlichen stimmt sie ja).
> Das geht aber
> nur so, wie du es hingeschrieben hast: 39 = 0x55 + 3x11 +
> 1x5 + 1x1. Also gibt es 3 Bahnen der Länge 11, eine der
> Länge 5 und eine der Länge 1, letztere hat als Element
> genau den Fixpunkt.
Es könnte durchaus auch mehr als einen Fixpunkt geben, denn die 39 könnte man auch darstellen als 2x11 + 1x5 + 12x1.... dann gäbe es mehr als nur einen Fixpunkt.
Das Wesentliche ist, dass man die 1 benötigt, um die 39 durch die 11,5 und 1 zu erzeugen..... es muss aber nicht notwendigerweise nur eine Eins sein.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mi 20.05.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
danke für den Hinweis, natürlich hast du recht, ich habe da geschlampt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
