Balkenbiegung < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 21.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Ein Balken ist auf einer Seite eingespannt und auf der anderen Seite wird er durch einen elastischen Stab der Steifigkeit k abgestüzt.
a) Bestimmen Sie die Funktion der Biegelinie w(x). |
Hallo, mal eine Frage zur Balkenbiegung. Folgender Balken:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben: [mm] q_{0},l,EI,k=\bruch{EA}{l_{2}}, EI_{w_{max}}=\bruch{1}{8}q_{0}l^{4}
[/mm]
Was ich bislang weiß: [mm] EIw^{IV}=q_{0} \Rightarrow EIw=\bruch{q_{0}}{24}x^{4}+\bruch{C1}{6}x^{3}+\bruch{C2}{2}x^{2}+C3x+C4
[/mm]
Folgende Bedingungen:
w(0)=0
w'(0)=0
M(l)=0, da Pendelstab/Gelenk
Daraus folgt: $C3=C4=0$
Doch wie ist die vierte Bedingung? Ich weiß, das man bei einem elastischen Stab, den Stab durch eine Ersatzkraft ersetzt.
Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
an der Stelle x = l muss gelten:
w(l) = [mm] \pm \Delta l_{2}
[/mm]
sowie
Q(l) = [mm] \pm [/mm] N
wobei Q die Querkraft des Balkens und N die Normalkraft des Stabes sind.
Das Vorzeichnen [mm] (\pm) [/mm] ergibt sich je nach Lage des Koordinatensystems.
Schöne Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 21.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Kannst du das $ [mm] \pm \Delta l_{2} [/mm] $ noch erläutern? Das die Querkraft dort, wo der Stab ist, dessen Kraft entspricht, ist verständlich.
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Der Stab auf der rechten Seite mit Länge [mm] l_{2} [/mm] ist ein Dehnstab (bzw. besser gesagt: im vorliegenden Fall wird er gestaucht.) Er wirkt wie eine Feder.
Dadurch kommt es zu einer Längenänderung [mm] \Delta l_{2}.
[/mm]
Die Normalkraft des Stabes berechnet sich zu: N = [mm] k*\Delta l_{2}
[/mm]
Weitere Erklärungen dazu gibt's ![[]](/images/popup.gif) hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 21.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke! Ich weiß jedoch nicht, wie ich das jetzt mit meiner Aufgabe verbinde.
Ich habe die Flächenlast vier mal integriert. Durch zwei Bedingungen habe ich C3 und C4 entfallen lassen können.
Muss ich jetzt einfach $w(l)= [mm] \pm \Delta l_{2} [/mm] $ setzen? Was ist [mm] \pm \Delta l_{2}? [/mm] Ich habe gelesen, das [mm] \pm \Delta l_{2}=\bruch{Fl}{EA} [/mm] ist. Stimmt das?
Dann wäre N=F. Wie mache ich weiter?
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> Danke! Ich weiß jedoch nicht, wie ich das jetzt mit meiner
> Aufgabe verbinde.
>
> Ich habe die Flächenlast vier mal integriert. Durch zwei
> Bedingungen habe ich C3 und C4 entfallen lassen können.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist soweit richtig. Damit ergibt sich dann ja: [mm] EIw=\bruch{q_{0}}{24}x^{4}+\bruch{C1}{6}x^{3}+\bruch{C2}{2}x^{2}
[/mm]
> Muss ich jetzt einfach [mm]w(l)= \pm \Delta l_{2}[/mm] setzen?
Ja, musst du. Nach der Konvention, die ich kenne und anwenden würde, muss es heißen: [mm]w(l)= - \Delta l_{2}[/mm]
Wenn du deine Koordinaten anders definiert hast, kann dort auch ein "+" stehen, was nicht weiter tragisch ist.
> Was ist [mm] \pm \Delta l_{2}?
[/mm]
[mm] \Delta l_{2} [/mm] ist die Längenänderung des Stabes mit Länge [mm] l_{2}. [/mm] Da der Stab gestaucht wird, wählt man gewöhnlich [mm] \Delta l_{2} [/mm] < 0.
> Ich habe gelesen, das [mm]\pm \Delta l_{2}=\bruch{Fl}{EA}[/mm]
> ist. Stimmt das?
Stimmt fast.
Richtig ist: [mm] \Delta l_{2}=\bruch{Fl_{2}}{EA} [/mm] (Vorzeichen wieder für deinen Fall prüfen!)
> Dann wäre N=F. Wie mache ich weiter?
Auch das stimmt (sofern die Vorzeichen stimmen.) Ferner gilt:
N = F = Q(l)
wobei Q(x) die Querkraft des Balkens an der Stelle x ist.
Tipp: Du hast ja [mm] EIw^{IV} [/mm] vier Mal integriert, um w(x) zu erhalten. Eines dieser Zwischenergebnisse ist genau die gesuchte Querkraft Q(x). (Das solltest du in deinen Unterlagen finden.)
Somit hat man vier Gleichungen
(1) w(l) = - [mm] \Delta l_{2}
[/mm]
(2) Q(l) = N = F
(3) M(l) = 0
(4) [mm] \Delta l_{2}=\bruch{Fl_{2}}{EA}
[/mm]
mit vier Unbekannten: C1, C2, [mm] \Delta l_{2} [/mm] und F
Dieses Gleichungssystem musst du lösen, um C1 und C2 zu erhalten.
Viel Erfolg!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:00 Di 21.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke, sehr verständlich!
Nochmal zu den Vorzeichen. Ich habe jetzt die Querkraft nach oben und die Normalkraft im Stab nach oben definiert. Heißt:
$w(l)= [mm] \Delta l_{2} [/mm] $
$Q(l)=N=-F $
$M(l)=0 $
[mm] $\Delta l_{2}=-\bruch{Fl_{2}}{EA} [/mm] $
Stimmt das so mit den Vorzeichen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Mi 22.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo,
wie du sicherlich weißt, kann man sich bei den Vorzeichen leicht "verhauen" - noch dazu ohne Freikörperbild.
Bevor ich dir also etwas Falsche sage, nur soviel: Die Vorzeichen sehen auf den ersten Blick durchaus plausibel aus.
Und noch ein Hinweis: Die Richtung der Querkraft Q(x) definierst du in der Regel nicht nach Belieben, denn die hängt davon an, in welcher Richtung w(x) positiv ist. Ich kenne die Konvention, dass bei Balken-Biegung die positive z-Achse "nach unten" zeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ich komme auf folgende Ergebnisse:
[mm] $C1=F-q_{0}l$
[/mm]
[mm] $C2=\bruch{q_{0}}{2}l^{2}-Fl$
[/mm]
$ [mm] \Delta l_{2}=\bruch{q_{0}l^{4}}{8}-\bruch{Fl^{3}}{3} [/mm] $
Doch wie komme ich damit auf F?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ciotic!
Du hast bislang den Hinweis mit [mm]E*I*w_{\max}[/mm] nicht genutzt.
Bestimme zunächst die Stelle [mm]x_0[/mm] dieser maximalen Durchbiegung, denn hier muss ja gelten [mm]E*I*w'(x_0) \ = \ E*I*\varphi(x_0) \ = \ ... \ = \ 0[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Wie berechne ich denn den Ort der maximalen Durchbiegung?
Gefühlsmäßig würde ich sagen, bei l/2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ciotic!
> Wie berechne ich denn den Ort der maximalen Durchbiegung?
Das habe ich doch in meiner letzten Antwort geschrieben.
> Gefühlsmäßig würde ich sagen, bei l/2.
Das stimmt nur bei symmetrischen System mit symmetrischer Belastung. Der Wert wird etwas größer als [mm]\tfrac{\ell}{2}[/mm] sein.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:29 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ich scheine auf dem Schlauch zu stehen.
Setze ich jetzt einfach [mm] x_{0} [/mm] ein?
[mm] $EIw'(x_{0})=0=\bruch{q_{0}x_{0}^{3}}{6}+\bruch{Fx_{0}^{2}}{2}-\bruch{q_{0}lx_{0}^{2}}{2}+\bruch{q_{0}l^{2}x_{0}}{2}-Flx_{0}
[/mm]
Gilt $ [mm] E\cdot{}I\cdot{}w'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] E\cdot{}I\cdot{}\varphi(x_0) [/mm] \ = \ ... \ = \ 0 $, weil am Punkt der maximalen Durchbiegung kein Neigungswinkel mehr vorhanden ist? Also quasi ein Wendepunkt?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Ciotic!
> Ich scheine auf dem Schlauch zu stehen.
>
> Setze ich jetzt einfach [mm]x_{0}[/mm] ein?
So meinte ich das.
> [mm]EIw'(x_{0})=0=\bruch{q_{0}x_{0}^{3}}{6}+\bruch{Fx_{0}^{2}}{2}-\bruch{q_{0}lx_{0}^{2}}{2}+\bruch{q_{0}l^{2}x_{0}}{2}-Flx_{0}[/mm]
Hm, jetzt muss ich selber nochmals nachdenken, wie man das am besten nutzt ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Gilt [mm]E\cdot{}I\cdot{}w'(x_0) \ = \ E\cdot{}I\cdot{}\varphi(x_0) \ = \ ... \ = \ 0 [/mm], weil am Punkt der maximalen
> Durchbiegung kein Neigungswinkel mehr vorhanden ist?
> Also quasi ein Wendepunkt?
Nein, an der Stelle von [mm]w_{\max}[/mm] liegt die maximale Durchbiegung vor; sprich: die Biegelinie hat hier ein (relatives) Maximum.
Daher muss die Ableitung [mm]w'_[/mm] (und das ist in dem Fall [mm]w' \ = \ \varphi[/mm] ) an genau dieser Stelle den Wert 0 haben.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:50 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ok, die Erklärung ist verständlich. Ich kann ja mal die Lösung posten. Unser Assistent ist leider nicht sehr gesprächig, daher habe ich nur die Endlösung:
[mm] EIw=\bruch{q_{0}x^{4}}{24}-\bruch{1}{6}\bruch{q_{0}l(5\bruch{k}{EI}l^{3}+24)}{24+8\bruch{k}{EI}l^{3}}x^{3}+\bruch{1}{2}q_{0}l^{2}\bruch{\bruch{k}{EI}l^{3}+12}{24+8\bruch{k}{EI}l^{3}}x^{2}
[/mm]
Vielleicht kann ja damit jemand was anfangen.
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 26.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 30.08.2012 | | Autor: | Ciotic |
Hat keiner mehr eine Idee?
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