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| Aufgabe | Für auf dem Intervall [mm] [0,\bruch{1}{2}] [/mm] stetige Funktionen f betrachten wir die Abbildung [mm] Kf(x):=1+\integral_{0}^{\pi}{f(t) dx}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{1}{2}.
[/mm]
Offensichtlich ordnet K jeder Funktion f wieder eine Funktion, nämlich Kf, zu. Zeigen Sie:
(i) K bildet den Banachraum der stetigen Funktionen auf [mm] [0,\bruch{1}{2}] [/mm] (versehen mit der Maximumnorm) in sich ab.
(ii) K ist eine Kontraktion. Bestimmen Sie die Kontraktionskonstante.
(iii) Berechnen Sie den Fixpunkt der Abbildung K durch eine geeignete Iteration. Wählen Sie als Startvektor die Funktion f(x) [mm] \equiv [/mm] 0.
Hinweis: Sehen Sie sich an, in welchem Verhältnis die Ableitung des Fixpunktes zu sich selbst steht.
(iv) Wählen Sie jetzt als Startvektor die Funktion f(x)=sinx und geben Sie die Anzahl der Interationen an, welche einen Fehler [mm] \le 10^{-3} [/mm] gewährleistet. |
Hallo!
Ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe.
Kann mir vielleicht jemand Tipps geben, wie ich die lösen kann?
Wäre echt super nett...
Lg, Coffein18
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Sa 02.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Für auf dem Intervall [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm] stetige Funktionen f
> betrachten wir die Abbildung
> [mm]Kf(x):=1+\integral_{0}^{\pi}{f(t) dx},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \bruch{1}{2}.[/mm]
Sicher, das da so steht? Eher ein dt als ein dx, eher ein x als ein [m]\pi[/m], oder?
> Offensichtlich ordnet K jeder Funktion f wieder eine
> Funktion, nämlich Kf, zu. Zeigen Sie:
> (i) K bildet den Banachraum der stetigen Funktionen auf
> [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm] (versehen mit der Maximumnorm) in sich
> ab.
Klar, die Funktion ist wieder stetig - sogar stetig differenzierbar!
> (ii) K ist eine Kontraktion. Bestimmen Sie die
> Kontraktionskonstante.
Zu zeigen ist [m]||Kf-Kg||< c ||f-g||[/m] mit c kleiner 1. Dieses c ist auch zu bestimmen. Dann nimm dir doch zwei Funktionen f unf g und schau dir mal für alle x [m]Kf(x)-Kg(x)[/m] an - gegen was kannst du das abschätzen? Kannst du zum Maximum übergehen.
> (iii) Berechnen Sie den Fixpunkt der Abbildung K durch
> eine geeignete Iteration. Wählen Sie als Startvektor die
> Funktion f(x) [mm]\equiv[/mm] 0.
Ja, setz doch mal ein und berechne ein paar Iterationen. So sollst du das ja machen. Ich würde das eher mal über das Ableiten sehen ... leite doch mal [m]f(x)=Kf(x)[/m] nach x ab, wenn du nicht weiter kommst.
> Hinweis: Sehen Sie sich an, in welchem Verhältnis die
> Ableitung des Fixpunktes zu sich selbst steht.
> (iv) Wählen Sie jetzt als Startvektor die Funktion
> f(x)=sinx und geben Sie die Anzahl der Interationen an,
> welche einen Fehler [mm]\le 10^{-3}[/mm] gewährleistet.
Folgt aus der Fehlerabschätzung zum Banachschen Fixpunktsatz. Im Zweifel grob Beträge nach oben abschätzen, du musst hier nicht gut sein, blos gewährlesiten! Ich weiß das Ergebnis hier übrigens nicht, aber das solltest du hinkriegen.
SEcki
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