Banachscher Fixpktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mi 14.01.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Zeige mit hilfe des Banachschen Fixpktsatz, dass es in [mm] K:=[0,\bruch{\pi}{2}]\times[0,1] [/mm] genau eine Lösung [mm] (x^{\*},y^{\*}) [/mm] des nichtlinearen Gleichungssystem
(I) [mm] y^3-3x=-3
[/mm]
(II) [mm] \bruch{3}{4}sin(x)=y
[/mm]
gibt. |
Hallo zusammen,
ich habe erstmal die (I)nach x aufgelöst und erhalte dann [mm] x=1+\bruch{1}{3}y^2
[/mm]
[mm] \rightarrow F(x,y)=\vektor{1+\bruch{1}{3}y^2
\\ \bruch{3}{4}sin(x)} \Rightarrow F'(x,y)=\pmat{ 0& \bruch{2}{3}y \\ \bruch{3}{4}cos(x) & 0 }
[/mm]
man muss nun die Fixpunktvoraussetzungen überprüfen,d.h.
(i) K abgeschlossen (klar)
(ii) F selbstabbildent
[mm] ||F(x,y)||^2_2=1+\bruch{2}{3}y^2+\bruch{1}{9}y^4+\bruch{9}{16}sin(x)^2 \le 1+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{9}{16}
[/mm]
aber [mm] 1+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{9}{16} [/mm] > 1
damit ist F nicht selbstabbildent, aber es kann doch eigentlich nicht sein, oder?
wenn ich weitermache und die Kontaktivität von F bestimme dann erhalte ich mit Maximumsnorm
[mm] ||F'(x,y)||_\infty=max\{\bruch{2}{3}y^2,\bruch{3}{4}cos(x)\}\le \bruch{3}{4}:=L
[/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige mit hilfe des Banachschen Fixpktsatz, dass es in
> [mm]K:=[0,\bruch{\pi}{2}]\times[0,1][/mm] genau eine Lösung
> [mm](x^{\*},y^{\*})[/mm] des nichtlinearen Gleichungssystem
>
> (I) [mm]y^3-3x=-3[/mm]
> (II) [mm]\bruch{3}{4}sin(x)=y[/mm]
>
> gibt.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe erstmal die (I)nach x aufgelöst und erhalte dann
> [mm]x=1+\bruch{1}{3}y^2[/mm]
>
> [mm]\rightarrow F(x,y)=\vektor{1+\bruch{1}{3}y^2
\\ \bruch{3}{4}sin(x)} \Rightarrow F'(x,y)=\pmat{ 0& \bruch{2}{3}y \\ \bruch{3}{4}cos(x) & 0 }[/mm]
>
> man muss nun die Fixpunktvoraussetzungen überprüfen,d.h.
> (i) K abgeschlossen (klar)
> (ii) F selbstabbildent
>
> [mm]||F(x,y)||^2_2=1+\bruch{2}{3}y^2+\bruch{1}{9}y^4+\bruch{9}{16}sin(x)^2 \le 1+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{9}{16}[/mm]
>
> aber [mm]1+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{9}+\bruch{9}{16}[/mm] > 1
Wozu Du obiges machst, ist mir nicht klar !
Damit F eine Selbstabbildung von K ist , musst Du zeigen: ist (x,y) [mm] \in [/mm] K, so ist F(x,y) [mm] \in [/mm] K. Zeige also für (x,y) [mm] \in [/mm] K:
[mm] $1+\bruch{1}{3}y^2 \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}]$ [/mm] und [mm] $\bruch{3}{4}sin(x) \in [/mm] [0,1]$.
>
> damit ist F nicht selbstabbildent, aber es kann doch
> eigentlich nicht sein, oder?
>
> wenn ich weitermache und die Kontaktivität von F bestimme
> dann erhalte ich mit Maximumsnorm
>
> [mm]||F'(x,y)||_\infty=max\{\bruch{2}{3}y^2,\bruch{3}{4}cos(x)\}\le \bruch{3}{4}:=L[/mm]
Beträge nicht vergessen :
[mm]||F'(x,y)||_\infty=max\{\bruch{2}{3}y^2,\bruch{3}{4}|cos(x)|\}\le \bruch{3}{4}:=L[/mm]
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Mittelwertungleichung !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Do 15.01.2015 | | Autor: | knowhow |
habe ich nicht in Teil (ii) nicht geszeigt dass F (nicht) selbstabbildend, was falsch ist. wahrscheinlich lag es daran dass ich es als gesamtes betrachtet habe
heißt das, dass ich anstatt [mm] F(x,y)=\vektor{1+\bruch{1}{3}y^2 \\ \bruch{3}{4}sin(x)} [/mm] die fkten einzeln betrachtet sprich [mm] f_1=1+\bruch{1}{3}y^2 [/mm] und [mm] f_2=\bruch{3}{4}sin(x)?
[/mm]
dann habe ich folg gemacht:
[mm] ||f_1||_2^2=(1+\bruch{1}{3}y^2)^2\le 1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}
[/mm]
aber [mm] 1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}> [/mm] 1
es kommt dasselbe heraus wie ich schon im vorherigen beitrag berechnet habe.
Wo liegt mein denkfehler? kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> habe ich nicht in Teil (ii) nicht geszeigt dass F (nicht)
> selbstabbildend, was falsch ist. wahrscheinlich lag es
> daran dass ich es als gesamtes betrachtet habe
>
> heißt das, dass ich anstatt
> [mm]F(x,y)=\vektor{1+\bruch{1}{3}y^2 \\ \bruch{3}{4}sin(x)}[/mm] die
> fkten einzeln betrachtet sprich [mm]f_1=1+\bruch{1}{3}y^2[/mm] und
> [mm]f_2=\bruch{3}{4}sin(x)?[/mm]
>
> dann habe ich folg gemacht:
> [mm]||f_1||_2^2=(1+\bruch{1}{3}y^2)^2\le 1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}[/mm]
>
> aber [mm]1+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{9}>[/mm] 1
ich hab keine Ahnung, was und wozu Du obiges treibst. Klär mich mal auf.
Ich hab Dir schon gesagt, was zu tun ist:
Damit F eine Selbstabbildung von K ist , musst Du zeigen: ist (x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K, so ist F(x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K. Zeige also für (x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K:
$ [mm] 1+\bruch{1}{3}y^2 \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] $ und $ [mm] \bruch{3}{4}sin(x) \in [/mm] [0,1] $.
FRED
>
> es kommt dasselbe heraus wie ich schon im vorherigen
> beitrag berechnet habe.
>
> Wo liegt mein denkfehler? kann mir jemand auf die Sprünge
> helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 15.01.2015 | | Autor: | knowhow |
jetzt versteh ich was du meinst, sorry (habe den wald vor lauter bäume nicht gesehen). danke
also habe ich erstmal für [mm] f_1(y)=1+\bruch{1}{3}y^2 \Rightarrow f_1(0)=1 [/mm] und [mm] f_1(1)=\bruch{4}{3} [/mm] somit ist [mm] f_1\in[0,1]
[/mm]
und dann für [mm] f_2(x)=\bruch{3}{4}sin(x) \Rightarrow f_2(0)=0 [/mm] und [mm] f_2(\bruch{\pi}{2})=\bruch{3}{4} [/mm]
[mm] \Rightarrow f_2 \in [0,\pi/2]
[/mm]
damit ist F(x,y) selbstabbildend.
Wie mache ich weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> jetzt versteh ich was du meinst, sorry (habe den wald vor
> lauter bäume nicht gesehen). danke
>
> also habe ich erstmal für [mm]f_1(y)=1+\bruch{1}{3}y^2 \Rightarrow f_1(0)=1[/mm]
> und [mm]f_1(1)=\bruch{4}{3}[/mm] somit ist [mm]f_1\in[0,1][/mm]
> und dann für [mm]f_2(x)=\bruch{3}{4}sin(x) \Rightarrow f_2(0)=0[/mm]
> und [mm]f_2(\bruch{\pi}{2})=\bruch{3}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f_2 \in [0,\pi/2][/mm]
Unfug !
Nochmal: das sollst Du zeigen:
für (x,y) $ [mm] \in [/mm] $ K:
$ [mm] 1+\bruch{1}{3}y^2 \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] $ und $ [mm] \bruch{3}{4}sin(x) \in [/mm] [0,1] $.
FRED
>
> damit ist F(x,y) selbstabbildend.
>
> Wie mache ich weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 15.01.2015 | | Autor: | knowhow |
dann nochmal:
da für gilt [mm] y\in[0,1] [/mm] d.h y kann als "max" wert annehmen 1 annhemen somit ist
[mm] 1+\bruch{1}{3}=\bruch{3}{4} [/mm] und das liegt definitiv in [mm] [0,\pi/2] [/mm]
dasselbe schaue ich auch für den randpkt 0 [mm] \Rightarrowf_1(0)=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow f_1 \in [0,\pi/2]
[/mm]
dasselbe auch für [mm] f_2 [/mm]
ist das jetzt richtig? intervalle tauschen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> dann nochmal:
>
> da für gilt [mm]y\in[0,1][/mm] d.h y kann als "max" wert annehmen 1
> annhemen somit ist
> [mm]1+\bruch{1}{3}=\bruch{3}{4}[/mm] und das liegt definitiv in
> [mm][0,\pi/2][/mm]
> dasselbe schaue ich auch für den randpkt 0
> [mm]\Rightarrowf_1(0)=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_1 \in [0,\pi/2][/mm]
>
> dasselbe auch für [mm]f_2[/mm]
>
> ist das jetzt richtig? intervalle tauschen
Ja
FRED
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