Baryzentrische Koordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
Durch P = [mm] \alphaA [/mm] + [mm] \betaB [/mm] + [mm] \gammaC [/mm] ; [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR, \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 1
ist jeder Punkte P [mm] \in \IR^2 [/mm] eindeutig bestimmt. Dabei sind A, B, C [mm] \in \IR^2 [/mm] Eckpunkte eines nicht degenerierten Dreiecks |
Also von der Idee her habe ich ja durch das Dreieck, ein affines Koordinatensystem gegeben. Daraus folgt natürlich dass ich jeden Punkt erreichen kann. Aber ich denke nicht dass das als Beweis gilt, oder?
Irgrendjmd eine Idee wie man da sonst rangehen könnte?
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> Beweise:
> Durch [mm]P = \alpha A + \beta B + \gamma C ; \quad\alpha, \beta, \gamma \in \IR,\quad \alpha + \beta + \gamma = 1[/mm]
> ist jeder Punkte [mm]P \in \IR^2[/mm] eindeutig bestimmt. Dabei
> sind [mm]A, B, C \in \IR^2[/mm] Eckpunkte eines nicht degenerierten
> Dreiecks
> Also von der Idee her habe ich ja durch das Dreieck, ein
> affines Koordinatensystem gegeben. Daraus folgt natürlich
> dass ich jeden Punkt erreichen kann. Aber ich denke nicht
> dass das als Beweis gilt, oder?
Kaum. Du musst ja nicht die (eindeutige) Darstellbarkeit in diesem affinen Koordinatensystem, sondern die eindeutige Darstellbarkeit mit baryzentrischen Koordinaten zeigen. "Baryzentrisch" spielt ja auf Physik an: Wenn Du eine Einheitsmasse in Anteilen [mm] $\alpha, \beta$ [/mm] bzw. [mm] $\gamma$ [/mm] in den Ecken $A, B$ bzw. $C$ des Dreiecks $ABC$ verteilst, dann kommt doch der Schwerpunkt dieser Massenverteilung an einer ganz bestimmten Stelle des Dreiecks $ABC$, eben im Punkt [mm] $P=\alpha A+\beta B+\gamma [/mm] C$ zu liegen (und nicht etwa ausserhalb...).
> Irgrendjmd eine Idee wie man da sonst rangehen könnte?
Nimm einmal an, der Punkt $P$ liege im Dreieck $ABC$ (eventuell auf dessen Rand). Stelle dann $X$ als gewichtetes Mittel [mm] $P=\lambda A+\mu [/mm] Q$ von $A$ und dem Schnittpunkt $Q$ der Geraden durch $A$ und $P$ mit der Seite $a$ des Dreiecks $ABC$ dar, wobei [mm] $\lambda,\mu\geq [/mm] 0$ und [mm] $\lambda+\mu=1$ [/mm] (dies kann leicht mit Hilfe der Parameterdarstellung der Geraden durch $A$ und $Q$ mit Richtungsvektor [mm] $\vec{AQ}$ [/mm] gezeigt werden). Ein kleines Problem ergibt sich allerdings, wenn man den Spezialfall $A=P$ betrachtet: weil in diesem Falle [mm] $\vec{AQ}=\vec{o}$ [/mm] ist. In diesem Falle sind eben [mm] $\alpha=1, \beta=\gamma=0$ [/mm] die baryzentrischen Koordinaten von $P$ (im Falle [mm] $A\neq [/mm] P$ können diese speziellen baryzentrischen Koordinaten nicht auftreten).
Stelle dann auch noch $Q$, im gleichen Stile, als gewichtetes Mittel von $B$ und $C$ dar: ergibt, nach "Ausmultiplizieren" und Sammeln von Vielfachen von $A$, $B$ bzw. $C$, die gewünschte baryzentrische Darstellung von $P$.
Die Eindeutigkeit dieser baryzentrischen Darstellung ergibt sich so nebenbei...
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> "Baryzentrisch" spielt ja auf Physik an: Wenn Du eine
> Einheitsmasse in Anteilen [mm]\alpha, \beta[/mm] bzw. [mm]\gamma[/mm] in den
> Ecken [mm]A, B[/mm] bzw. [mm]C[/mm] des Dreiecks [mm]ABC[/mm] verteilst, dann kommt
> doch der Schwerpunkt dieser Massenverteilung an einer ganz
> bestimmten Stelle des Dreiecks [mm]ABC[/mm], eben im Punkt [mm]P=\alpha A+\beta B+\gamma C[/mm]
> zu liegen (und nicht etwa ausserhalb...).
Falls verlangt wird, dass die "Massen" [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] positiv sein sollen,
dann liegt der "Schwerpunkt" natürlich im Inneren des Dreiecks.
Hier gibt es aber keine entsprechende Einschränkung !
LG al-Chwarizmi
(im Übrigen sind deine Überlegungen und die ursprüngliche
von NightmareVirus in Ordnung, soweit ich erkennen kann)
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:54 So 13.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> > "Baryzentrisch" spielt ja auf Physik an: Wenn Du eine
> > Einheitsmasse in Anteilen [mm]\alpha, \beta[/mm] bzw. [mm]\gamma[/mm] in den
> > Ecken [mm]A, B[/mm] bzw. [mm]C[/mm] des Dreiecks [mm]ABC[/mm] verteilst, dann kommt
> > doch der Schwerpunkt dieser Massenverteilung an einer ganz
> > bestimmten Stelle des Dreiecks [mm]ABC[/mm], eben im Punkt [mm]P=\alpha A+\beta B+\gamma C[/mm]
> > zu liegen (und nicht etwa ausserhalb...).
>
> Falls verlangt wird, dass die "Massen" [mm]\alpha, \beta, \gamma[/mm]
> positiv sein sollen,
> dann liegt der "Schwerpunkt" natürlich im Inneren des
> Dreiecks.
> Hier gibt es aber keine entsprechende Einschränkung !
Ah, Du hast ganz recht: ich habe wieder einmal die Aufgabenstellung zu flüchtig gelesen. Also würde man (um dem Namen "baryzentrisch" die nötige Ehre zu erweisen) auch negative Gewichte zulassen. Aber ich denke, die selbe Grundidee für den Beweis liesse sich anwenden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab gerade "baryzentrische Koordinaten" gegoogelt und bin bei diesem Artikel hier gelandet. Vielleicht könnt ihr mir noch ein paar Fragen dazu beantworten. Ich hab ein Kapitel zur bivariaten Splinetheorie angefangen zu lesen und hier hängen geblieben:
Sei T = [mm] \Delta(v_1,v_2,v_3) \subset \IR^2 [/mm] ein Dreieck. Dann existieren eindeutig bestimte baryzentrische Koordinaten [mm] \phi_1, \phi_2, \phi_3, [/mm] welche [mm] \sum_{i=1}^3 \phi_i [/mm] =1, sowie die Interpolationseigenschaft [mm] \phi_i(v_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij} [/mm] (i,j=1,...3,) erfüllen.
Somit lässt sich jedes z [mm] \in \IR^2 [/mm] in der Form z= [mm] \sum_{i=1}^3 \phi_i(z) \cdot v_i [/mm] schreiben.
Ich versteh nicht ganz, diese Koordinaten bestehen doch aus 3 Zahlen [mm] (\alpha, \beta, \gamma), [/mm] bzw [mm] (\phi_1,\phi_2,\phi_3), [/mm] die addiert 1 ergeben, oder?
Was hat es aber mit der Interpolationseigenschaft auf sich, wie kann ich [mm] \phi_i(v_j) [/mm] bilden? Sind die [mm] \phi's [/mm] dann doch keine Zahlen, sondern Funktionen...?! *confused*
Und warum kann man mit diesen Koordinaten ein Dreieck eindeutig darstellen?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 15.09.2008 | | Autor: | amoxys |
Hallo Riley,
richtig, $ [mm] \phi_i(v) [/mm] $ ist die baryzentrische Koordinate des Vektors $ v $ bezüglich der Ecke $ [mm] v_i [/mm] $ des Dreiecks $ T = [mm] \Delta(v_1,v_2,v_3) [/mm] $. Die Summe der Koordinaten $ [mm] \phi_1(v) [/mm] $, $ [mm] \phi_2(v) [/mm] $ und $ [mm] \phi_3(v) [/mm] $ ist 1, für jeden beliebigen Vektor $ v $. Deshalb sind die $ [mm] \phi [/mm] $s Funktionen, da ja jeder Vektor andere baryzentrische Koordinaten hat. Außerdem sind diese Funktionen für jedes Dreieck anders.
Ob man damit ein Dreieck eindeutig darstellen kann, bin ich mir gerade nicht sicher. Allerdings erhält man eindeutige Koordinaten für jeden Vektor.
> wie kann ich [mm]\phi_i(v_j)[/mm] bilden?
$ [mm] \phi_i(v_j) [/mm] $ ist, wie du schon geschrieben hast, immer 1, wenn $ i = j $, ansonsten 0. Das liegt daran, dass $ [mm] v_j [/mm] $ der Vektor für die j-te Ecke des Dreiecks ist.
Um die Koordinaten eines beliebigen Vektors $ v $ zu transformieren, löst man z.B. folgende Gleichung:
$ [mm] \pmat{ v_1 & v_2 & v_3 \\ 1 & 1 & 1 }\vektor{\phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3}=\vektor{v \\ 1} [/mm] $
Hier sind ja nur die $ [mm] \phi [/mm] $s unbekannt, und es können also konkrete Zahlen gefunden werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort! D.h. ein Vektor hat bezüglich jeder Ecke dann eine barzy.Koordinate, kann man das so sagen?
Hm, ich hab mal die Skizze die ich dazu habe schnell eingescannt. Wo finde ich denn da den Vektor v? Oder sind da immer nur die einzelnen Koordinaten dargestellt bzgl der jeweiligen Ecke? Irgendwie verwirrt mich das total... Was ist da genau dargestellt ? Skizze
Viele Grüße & vielen Dank für die Hilfe
Riley
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hm, ich hab mal die Skizze die ich dazu habe schnell
> eingescannt. Wo finde ich denn da den Vektor v? Oder sind
> da immer nur die einzelnen Koordinaten dargestellt bzgl der
> jeweiligen Ecke? Irgendwie verwirrt mich das total... Was
> ist da genau dargestellt ? Skizze
Die drei Eckpunkte des Dreiecks bekommst du, indem du eine der drei Koordinaten 1 setzt und die anderen beiden 0. Die Zeichnungen verstehe ich im Moment auch nicht.
Ich finde diese Charakterisierung recht anschaulich: Wenn [mm] $\phi_1$, $\phi_2$ [/mm] und [mm] $\phi_3$ [/mm] die relativen Massen (also jeweilige Masse geteilt durch die Gesamtmasse) in den Punkten [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] sind, so ist der durch diese baryzentrischen Koordinaten dargestellte Punkt der Schwerpunkt des Systems.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 16.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
danke für deine Antwort! Die Skizze versteh ich glaub ich inzwischen! 
Die [mm] \phi_j [/mm] stellen ja jeweils eine Ebene dar und besitzen diese 0-1-Eigenschaft. D.h. im ersten Bild ist [mm] \phi_1(v_1) [/mm] = 1 und bei den anderen beiden Ecken ist [mm] \phi_1(v_2) [/mm] = [mm] \phi_1(v_3) [/mm] = 0.
Gilt deshalb dann auch die Eigenschaft, dass [mm] \sum_{i=1}^3 \phi_i [/mm] = 1, weil ja je nachdem welches [mm] v_j [/mm] man einsetzt
[mm] \phi_1(v_1) [/mm] + [mm] \phi_2(v_1) [/mm] + [mm] \phi_3(v_1) [/mm] = 1, da ja immer nur eines gleich eins ist und die anderen beiden Null. Kommt so hin, oder?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Di 16.09.2008 | | Autor: | amoxys |
> Hm, ich hab mal die Skizze die ich dazu habe schnell
> eingescannt. Wo finde ich denn da den Vektor v? Oder sind
> da immer nur die einzelnen Koordinaten dargestellt bzgl der
> jeweiligen Ecke? Irgendwie verwirrt mich das total... Was
> ist da genau dargestellt ?
Richtig, den Vektor z (bzw. v, wie ich ihn genannt habe, sry) findet man da nicht.
In den drei Skizzen werden die drei Funktionen dargestellt, die einen beliebigen Vektor z auf die drei Koordinaten abbilden. Die dünnen Linien begrenzen das Dreieck (also alle Vektoren z, die ausschließlich nicht-negative baryz. Koordinaten haben). Und die dicken Linien sollen die Funktionswerte (also die jeweilige baryzentrische Koordinate) darstellen.
Man sieht also zum Beispiel in der ersten Skizze, dass für jeden Vektor zwischen $ [mm] v_2 [/mm] $ und $ [mm] v_3 [/mm] $ $ [mm] \phi_1 [/mm] = 0 $ ist. Also muss $ [mm] \phi_2 [/mm] + [mm] \phi_3 [/mm] = 1 $ sein. In der zweiten und dritten Skizze sieht man dann, dass, je nachdem wo man sich auf der Verbindungslinie befindet, $ [mm] \phi_2 [/mm] $ und $ [mm] \phi_3 [/mm] $ andere Werte haben. Sie ergänzen sich aber immer zu 1.
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