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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mo 27.11.2006 | | Autor: | DiscoRue |
| Aufgabe | | Sei k ein endlich körper mit #k=q Elementen, wie viele verschiedene Basen hat der Vektorraum [mm] K^n [/mm] für nN. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würd sagen : [mm] q^n-1 [/mm] aber wie zeigt man das??
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> Sei k ein endlich körper mit #k=q Elementen, wie viele
> verschiedene Basen hat der Vektorraum [mm]K^n[/mm] für nN.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist hier übrigens üblich und erwünscht, daß die Posts mit einer Begrüßung beginnen und mit einem Gruß enden. Kannst Du nicht wissen, aber als Tip für die Zukunft...
> Ich würd sagen : [mm]q^n-1[/mm] aber wie zeigt man das??
Das wirst du so nicht zeigen können, weil es nicht stimmt, aber [mm] q^n-1 [/mm] können wir trotzdem gleich gebrauchen.
Kennst Du denn die Dimension des [mm] K^n [/mm] ? Kennst Du EINE Basis? Jede andere Basis hat genausoviele Elemente.
So, nun geht's los. Wir beginnen den Aufbau einer Basis, startend mit einem Vektor [mm] v_1 \in K^n.
[/mm]
Wieviele Möglichkeiten haben wir für den ersten unserer Basisvektoren? Wir können fast jeden Vektor des [mm] K^n [/mm] hierfür verwenden. Nur ??? nicht.
Also haben wir für [mm] {v_1 }: {q^n-1} [/mm] Möglichkeiten.
Diesem Vektor wollen wir nun den nächsten, [mm] v_2, [/mm] zur Seite stellen.
Kommen alle Vektoren des [mm] K^n [/mm] hierfür infrage? Nein, natürlich nur die, die von [mm] v_1 [/mm] linear unabhängig sind.
Welche sind das? Die nicht in [mm] U_1:= [/mm] aufgespannten Untervektorraum liegen.
Wieviele Vektoren stehen also zur Auswahl? [mm] |K|-|U_1| [/mm] Vektoren.
Wie mächtig ist [mm] U_1? |U_1| [/mm] =q.
Also haben wir für [mm] {v_2 }: {q^n-q} [/mm] Möglichkeiten.
[mm] v_1, v_2 [/mm] wollen wir nun den nächsten, [mm] v_3, [/mm] zur Seite stellen.
Kommen alle Vektoren des [mm] K^n [/mm] hierfür infrage? Nein, natürlich nur die, die von [mm] v_1, v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Welche sind das? Die nicht in [mm] U_2:= [/mm] aufgespannten Untervektorraum liegen.
Wieviele Vektoren stehen also zur Auswahl? [mm] |K|-|U_2| [/mm] Vektoren.
Wie mächtig ist [mm] U_2? |U_2| [/mm] = ???
Also haben wir für [mm] v_3 [/mm] ??? Möglichkeiten.
usw.
Gruß v. Angela
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