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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo zusammen,
zuerst möchte ich allen hier im Forum ein fröhliches Weihnachtsfest wünschen, und mich schonmal für die zahlreiche Unterstüzung in der Vergangenheit bedanken.
So nun aber wieder zurück ans Eingemachte :
Überlegungen/Fragen:
zu 1)
reicht es dort folgendes zu zeigen:
1. Die Basiselemente aus A lassen sich als linearkombination der Elemente aus B darsellen.
2. Die Elemente aus B sind linear unabhängig.
reicht das um z.zgn. dass b auch eine Basis von V ist, oder muss ich noch zeigen das die Elemente aus B auch erzeugendensystem von V sind?Oder hab ich das damit schon getan???Was muss ich tun??
zu 2)
Ich habe rechnerisch die beiden Basistransformationsmatrizen bestimmt, möchte aber nicht meine Rechnungen abgeben, also meine Frage:
reicht es folgendes zu tun?:
Beh.: Die eine Basistrasfomationsmatrix A nach B ist "diese" und die andere von B nach A ist "diese"
beweis: "Matrix von A nach B" mal "Matrix von B nach A" = Einheitsmatrix
Reicht das? Oder muss ich da noch mehr zeigen?
zu 3)
geh ich da richtig in der Annahme, dass die Funktion wie folgt abbildet:
Sei [mm] (c+bx+ax^2) [/mm] ein Polynom aus V, dann ist
[mm] F((c+bx+ax^2)) [/mm] = x [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] + [mm] (c+bx+ax^2) [/mm] = [mm] c+2bx+3ax^2
[/mm]
zu 4)
Ich weiß:
F Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] F surjektiv und F injektiv
reicht es da einfach zu zeigen dass einmal F surjektiv ist und einmal F injektiv ist, bzw, direkt zu zeigen dass F bijektiv?
Aber damit hätte ich doch nur eine Richtung der Äquivalenz gezeigt, oder??Wie siehts mit der anderen aus,kann mir da jemand vielleicht helfen wie ich das vernünftig auszuschreiben habe??
Hoffe ihr könnt mir anhand meiner Überlegungen weiterhelfen!!!
viele Grüße und noch schöne Feiertage, der mathedepp_No.1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> zu 1)
>
> reicht es dort folgendes zu zeigen:
> 1. Die Basiselemente aus A lassen sich als
> linearkombination der Elemente aus B darsellen.
Hallo,
wenn Du das gezeigt hast, weißt Du, daß Du mit Deinen drei Elementen den Raum V erzeugen kannst.
Im Prinzip bräuchtest Du nun überhaupt nichts mehr zu tun als daraufhinzuweisen, daß der Raum V die Dimension 3 hat(, denn die vorgegebene Basis hat drei Elemente).
> 2. Die Elemente aus B sind linear unabhängig.
Aber Du kannst auch die lineare Unabhängigkeit zeigen.
>
> zu 2)
>
> Ich habe rechnerisch die beiden
> Basistransformationsmatrizen bestimmt, möchte aber nicht
> meine Rechnungen abgeben, also meine Frage:
>
> reicht es folgendes zu tun?:
>
> Beh.: Die eine Basistrasfomationsmatrix A nach B ist
> "diese" und die andere von B nach A ist "diese"
>
> beweis: "Matrix von A nach B" mal "Matrix von B nach A" =
> Einheitsmatrix
>
> Reicht das? Oder muss ich da noch mehr zeigen?
Ich weiß nicht: ich verstehe das nicht.
Vielleicht meinst Du das: wenn Du die eine Basistransformationsmatrix ermittelt hat, ist die andere die dazu inverse Matrix.
>
> zu 3)
>
> geh ich da richtig in der Annahme, dass die Funktion wie
> folgt abbildet:
>
> Sei [mm](c+bx+ax^2)[/mm] ein Polynom aus V, dann ist
>
> [mm]F((c+bx+ax^2))[/mm] = x [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] + [mm](c+bx+ax^2)[/mm] =
> [mm]c+2bx+3ax^2[/mm]
Nein.
Es ist [mm] F((c+bx+ax^2))= x\bruch{d}{dx}(c+bx+ax^2) -(c+bx+ax^2)=x(\bruch{d}{dx}c+\bruch{d}{dx}(bx)-\bruch{d}{dx}(ax^2)-(c+bx+ax^2)=...
[/mm]
>
> zu 4)
>
> Ich weiß:
>
> F Isomorphismus [mm]\gdw[/mm] F surjektiv und F injektiv
>
> reicht es da einfach zu zeigen dass einmal F surjektiv ist
> und einmal F injektiv ist, bzw, direkt zu zeigen dass F
> bijektiv?
Ja. Da in Aufgabe 3. steht, daß F linear ist, darfst Du das als gegeben hinnehmen. Mit injektiv und surjektiv hast Du gezeigt, daß es ein Isomorphismus ist.
>
> Aber damit hätte ich doch nur eine Richtung der Äquivalenz
> gezeigt, oder??
Ich weiß nicht, was Du damit meinst...
Wie gesagt: eine bijektive lineare Abbildung ist ein Isomorphismus.
> viele Grüße und noch schöne Feiertage
Gleichfalls!
Gruß v. Angela
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> > zu 2)
> >
> > Ich habe rechnerisch die beiden
> > Basistransformationsmatrizen bestimmt, möchte aber nicht
> > meine Rechnungen abgeben, also meine Frage:
> >
> > reicht es folgendes zu tun?:
> >
> > Beh.: Die eine Basistrasfomationsmatrix A nach B ist
> > "diese" und die andere von B nach A ist "diese"
> >
> > beweis: "Matrix von A nach B" mal "Matrix von B nach A" =
> > Einheitsmatrix
> >
> > Reicht das? Oder muss ich da noch mehr zeigen?
>
> Ich weiß nicht: ich verstehe das nicht.
>
> Vielleicht meinst Du das: wenn Du die eine
> Basistransformationsmatrix ermittelt hat, ist die andere
> die dazu inverse Matrix.
hallo angela, ja genau das meine ich!!! reicht das dann dieses zu zeigen, weil wenn ich ja meine rechnungen zur Ermittlungen der 2 Matrizen zu Papier bringe, schreib ich mir ja einen Wolf
Würde dass denn dann reichen zu zgn., dass die eine invers ist zur anderen???
Viele Grüße...
der mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 25.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, es reicht.
(also die Matrix von B nach A kann man ja einfach so hinschreiben und die rücktransformation ist ja die inverse dazu, also reicht es zu zeigen, dass die zweite Matrix, die man aufschreibt, wirklich die Inverse zur ersten ist.)
(Solltest du dich allerdings verrechnet haben, bekommst du wahrscheinlich wesentlich weniger Teilpunkte, weil derjenige, der es kontrollieren soll, nicht weiß, was du gemacht versucht/hast.)
viele Grüße + frohes Fest
DaMenge
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Hallo angela,
hab mich jetzt an den beweisen:
1. F ist surjektiv
2. F ist injektiv
bzgl der letzten Teilaufgabe versucht, und wollte jetzt fragen öb ich das richtig gemacht habe?? Muss dazu sagen dass es in der Abb. F in Teilaufgabe 3 : [mm] f\mapsto [/mm] x [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (f) + f heißen muss.
Also:
zu1)
Sei g:= [mm] c+2bx+3ax^2 [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR
[/mm]
Beh:
[mm] \exists [/mm] f:= [mm] c+bx+ax^2, [/mm] sodass F(f)=g
Bew.:
F(f)= x [mm] \bruch{d}{dx} (c+bx+ax^2) +(c+bx+ax^2) [/mm] =...= [mm] c+2bx+3ax^2 [/mm] = g
[mm] \Rightarrow [/mm] F ist surjektiv
zu 2)
sei [mm] f_1 [/mm] := [mm] c+bx+ax^2 [/mm] , [mm] f_2 [/mm] := [mm] d+ex+hx^2 [/mm] mit a,b,c,d,e,h [mm] \in \IR
[/mm]
So ist:
[mm] F(f_1) [/mm] = F [mm] (f_2) \Rightarrow c+2bx+3ax^2 [/mm] = [mm] d+2ex+3hx^2
[/mm]
...(ausgerechnet)
[mm] \gdw [/mm] c-d [mm] +x(2b-2e)+x^2(3a-3h) [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] c-d=0 [mm] \wedge [/mm] 2b-2e=0 [mm] \wedge [/mm] 3a-3h=0
[mm] \gdw [/mm] c=d, b=e, a=h
[mm] \Rightarrow f_1 [/mm] = [mm] f_2 \Rightarrow [/mm] F ist injektiv
Ist das so richtig, oder fehlt noch was???
Bitte um Feedback!
Viele Liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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> Hallo angela,
>
> hab mich jetzt an den beweisen:
>
> 1. F ist surjektiv
> 2. F ist injektiv
>
> bzgl der letzten Teilaufgabe versucht, und wollte jetzt
> fragen öb ich das richtig gemacht habe?? Muss dazu sagen
> dass es in der Abb. F in Teilaufgabe 3 : [mm]f\mapsto[/mm] x
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (f) + f heißen muss.
>
> Also:
> zu1)
> Sei g:= [mm]c+2bx+3ax^2[/mm] mit a,b,c [mm]\in \IR[/mm]
>
> Beh:
> [mm]\exists[/mm] f:= [mm]c+bx+ax^2,[/mm] sodass F(f)=g
>
> Bew.:
> F(f)= x [mm]\bruch{d}{dx} (c+bx+ax^2) +(c+bx+ax^2)[/mm] =...=
> [mm]c+2bx+3ax^2[/mm] = g
> [mm]\Rightarrow[/mm] F ist surjektiv
Hallo,
der Beweis für die Surjektivität ist so nicht richtig.
Der Grundgedanke stimmt aber: es ist zu zeigen, daß man zu jedem beliebigen g [mm] \in [/mm] V ein f [mm] \in [/mm] V findet mit F(f)=g.
Starte so: sei g [mm] \in [/mm] V mit [mm] g(x)=ax^2+bx+c. [/mm] (also mit irgendeinem ganz beliebigen Polynom vom Höchstgrad 2)
Und nun gibst Du einfach ein f an, welches durch F auf g abgebildet wird.
(Finden kannst Du es zuvor "geheim" auf dem Schmierzettel: für [mm] f(x)=Ax^2+Bx+C [/mm] muß ja gelten
F( [mm] Ax^2+Bx+C)=3Ax^2+3Bx+C=ax^2+bx+c. [/mm] Wie Du A,B,C wählem mußt, siehst Du jetzt ja leicht)
>
> zu 2)
>
> sei [mm]f_1[/mm] := [mm]c+bx+ax^2[/mm] , [mm]f_2[/mm] := [mm]d+ex+hx^2[/mm] mit a,b,c,d,e,h [mm]\in \IR[/mm]
>
> So ist:
>
> [mm]F(f_1)[/mm] = F [mm](f_2) \Rightarrow c+2bx+3ax^2[/mm] = [mm]d+2ex+3hx^2[/mm]
> ...(ausgerechnet)
>
> [mm]\gdw[/mm] c-d [mm]+x(2b-2e)+x^2(3a-3h)[/mm] = 0
> [mm]\gdw[/mm] c-d=0 [mm]\wedge[/mm] 2b-2e=0
> [mm]\wedge[/mm] 3a-3h=0
> [mm]\gdw[/mm] c=d, b=e, a=h
> [mm]\Rightarrow f_1[/mm] = [mm]f_2 \Rightarrow[/mm]
> F ist injektiv
>
Das ist richtig.
Eine Bemerkung noch: die lineare Abbildung F bildet ja V in sich selbst ab. Wir haben es also mit einem Endomorphismus zu tun.
Ziemlich sicher hattet Ihr den Satz, daß für Endomorphismen surjektiv, injektiv und bijektiv äquivalent sind. Die eine Eigenschaft zieht hier also zwangsläufig die andere nach sich.
Für Deine Aufgabe bedeutet das: wenn Du gezeigt hast, daß F eine Injektion ist, folgt "Isomorphismus" ohne weiteres Rechnen direkt aus dem genannten Satz.
Du kannst aber genausogut beide Eigenschaften getrennt nachweisen - man muß halt etwas mehr schreiben.
Gruß v. Angela
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