www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basen eines R-Moduls
Basen eines R-Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basen eines R-Moduls: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Fr 25.07.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Satz:
Es sei R ein nichttrivialer kommutativer Ring und M ein endlich erzeugter freier R-Modul. Dann haben je zwei Basen von M über R die gleiche Anzahl von Elementen.

Beweis:
Es seien [mm] v_{1},v_{2},...,v_{n} [/mm] und [mm] w_{1},w_{2},...,w_{m} [/mm] zwei Basen von M. Da R kommutativ, gibt es ein maximales Ideal I in R. Nach Algebra 1 ist R/I ein Körper. Dann sind sowohl [mm] v_{1}+IM,v_{2}+IM,...,v_{n}+IM [/mm] als auch [mm] w_{1}+IM,w_{2}+IM,...,w_{m}+IM [/mm] Basen des Vektorraums M/IM über R/I. Also gilt n=m

Hallo, kann leider den Beweis dieses Satzes nicht komplett nachvollziehen.
Hier wurde aus dem R-Modul M ein Vektorraum M/IM über R/I gemacht, um Aussagen über die Basen herzuleiten. Nur ist für mich die Frage, ist denn jetzt der R-Modul M isomorph zum R/I-Modul M/IM und somit jeder Modul isomorph zu einem K-Vektorraum?

LG


        
Bezug
Basen eines R-Moduls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Fr 25.07.2014
Autor: korbinian

Hallo



>  Hier wurde aus dem R-Modul M ein Vektorraum M/IM über R/I
> gemacht, um Aussagen über die Basen herzuleiten.

> Nur ist
> für mich die Frage, ist denn jetzt der R-Modul M isomorph
> zum R/I-Modul M/IM und somit jeder Modul isomorph zu einem
> K-Vektorraum?

Nein; das wird doch auch nicht behauptet.
Der zitierte Satz liefert einen Vektorraum und vor allem, ausgehend von einer Basis des Moduls, eine Basis des Vektorraums.
Da wir mit 2 (möglicherweise verschieden langen) Basen des Moduls starten, erhalten wir auch 2 Basen des Vektorraums. Bei Vektorräumen wissen wir aber, dass 2 Basen die gleiche Länge haben. Also müssen auch die 2 Basen des Moduls gleich lang gewesen sein. QED.
Gruß
korbinian



Bezug
                
Bezug
Basen eines R-Moduls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Fr 25.07.2014
Autor: derriemann

Ach Mensch, stimmt. Danke!

Bezug
        
Bezug
Basen eines R-Moduls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Fr 25.07.2014
Autor: UniversellesObjekt

Übrigens wird nirgends Endlichkeit verwendet.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]